一　三角函數(shù)與解三角形(A)1.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,已知C=2A,cos A=,·=.(1)求cos B的值;(2)求b的值.             2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求△ABC的面積.                    3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且cos A=,tan(B-A)=.(1)求tan B的值;(2)若c=13,求△ABC的面積.               4.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且acos B+bsin A=c.(1)求角A的大小;(2)若a=,△ABC的面積為,求b+c的值.                     一　三角函數(shù)與解三角形(B)1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.                2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,已知 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B≠.(1)求證:c=2b;(2)若△ABC的面積S=5b2-a2,求tan A的值.                   3.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A;(2)若a=4,求b2+c2的取值范圍.                 4.已知△ABC中,AC=4,BC=4,∠ABC =.(1)求角A和△ABC的面積;(2)若CD為AB上的中線,求CD2.                    參考答案A卷1.解:(1)因?yàn)镃=2A,cos A=,所以cos C=cos 2A=2cos2A-1=2×2-1=.因?yàn)?<A<π,0<C<π,所以sin A==,sin C==.所以cos B=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C)=-(cos Acos C-sin Asin C)=.(2)因?yàn)?/span>·=,所以accos B=,所以ac=24,因?yàn)?/span>=,所以a=c.由解得所以b2=a2+c2-2accos B=42+62-2×24×=25.所以b=5.2.解:(1)由題意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin(2A-)=sin(2B-),由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由a<c,得A<C,從而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.所以△ABC的面積為S=acsin B=.3.解:(1)在△ABC中,由cos A=,得A為銳角,所以sin A=,所以tan A==,所以tan B=tan[(B-A)+A]===3.(2)在三角形ABC中,由tan B=3,得sin B=,cos B=,由sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,由正弦定理=,得b===15,所以△ABC的面積S=bcsin A=×15×13×=78.4.解:(1)在△ABC中,acos B+bsin A=c,由正弦定理得sin Acos B+sin Bsin A=sin C,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Bsin A=cos Asin B,又sin B≠0,所以sin A=cos A,又A∈(0,π),所以tan A=1,A=.(2)由S△ABC=bcsin A=bc=,解得bc=2-,又a2=b2+c2-2bccos A,所以2=b2+c2-bc=(b+c)2-(2+)bc,所以(b+c)2=2+(2+)bc=2+(2+)(2-)=4,所以b+c=2.參考答案B卷1.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.①又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②由①②和C∈(0,π)得sin B=cos B,又B∈(0,π),所以B=.(2)△ABC的面積S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c2≥2ac,故ac≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立.因此△ABC面積的最大值為+1.2.(1)證明:△ABC中,由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展開化簡(jiǎn)得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因?yàn)锽≠,所以cos B≠0,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)解:因?yàn)?/span>△ABC的面積為S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,①又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入①得b2sin A=4b2cos A,所以tan A=4.3.解:(1)根據(jù)正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,則=,即cos A=,由于0<A<π,所以A=.(2)根據(jù)余弦定理,a2=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc,所以b2+c2=16+bc≤16+,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào),則有b2+c2≤32,又b2+c2=16+bc>16,所以b2+c2的取值范圍是(16,32].4.解:(1)由=,得sin∠BAC=,又BC<AC,則∠BAC<,解得∠BAC=.所以∠ACB=,所以△ABC的面積S=×4×4×sin=4(+1).(2)設(shè)AB=x,則在△ABC中,由余弦定理得32=x2+16-8xcos,即x2-4x-16=0,解得x=2+2(舍負(fù)),所以BD=+.在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos=16-4.  

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