題型一 圓錐曲線中的定點(diǎn)問題
圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一般是指與解析幾何有關(guān)的直線或圓過定點(diǎn)的問題(其他曲線過定點(diǎn)太復(fù)雜，高中階段一般不涉及)，其實(shí)質(zhì)是：當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓變化時(shí)，這些直線或圓相交于一點(diǎn)，即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)．這類問題的求解一般可分為以下三步：
一選：選擇變量，定點(diǎn)問題中的定點(diǎn)，隨某一個(gè)量的變化而固定，可選擇這個(gè)量為變量(有時(shí)可選擇兩個(gè)變量，如點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、截距等，然后利用其他輔助條件消去其中之一)．
二求：求出定點(diǎn)所滿足的方程，即把需要證明為定點(diǎn)的問題表示成關(guān)于上述變量的方程．
三定點(diǎn)：對(duì)上述方程進(jìn)行必要的化簡，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)．
[典例] 已知A，B分別為橢圓E：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，eq \(AG,\s\up7(―→))·eq \(GB,\s\up7(―→))＝8.P為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.
(1)求E的方程；
(2)證明：直線CD過定點(diǎn)．
[方法技巧]
求解圓錐曲線中定點(diǎn)問題的2種方法
(1)特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)與變量無關(guān)．
(2)直接推理法：①選擇一個(gè)參數(shù)建立方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常數(shù)k當(dāng)成變量，將變量x，y當(dāng)成常數(shù)，將原方程轉(zhuǎn)化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式；②根據(jù)曲線(包含直線)過定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒有關(guān)系(即方程對(duì)參數(shù)的任意值都成立)，得到方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f?x，y?＝0，,g?x，y?＝0；))③以②中方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是曲線所過的定點(diǎn)，若定點(diǎn)具備一定的限制條件，可以特殊解決．
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(\r(3),2)，點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\f(1,2)))在橢圓上，A，B分別為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M(t,2)(t≠0)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線MA，MB與橢圓C的另一交點(diǎn)分別為P，Q，證明：直線PQ過定點(diǎn)．
2．已知雙曲線C：eq \f(x2,4)－y2＝1.
(1)求雙曲線C的離心率；
(2)若直線l：y＝kx＋m與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B均異于左、右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點(diǎn)D，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型二 圓錐曲線中的定值問題
圓錐曲線中的定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中，探究某些幾何量?斜率、距離、面積、比值等?與變量?斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等?無關(guān)的問題.其求解步驟一般為：
一選：選擇變量，一般為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率等,
二化：把要求解的定值表示成含上述變量的式子，并利用其他輔助條件來減少變量的個(gè)數(shù)，使其只含有一個(gè)變量?或者有多個(gè)變量，但是能整體約分也可以?,
三定值：化簡式子得到定值.由題目的結(jié)論可知要證明為定值的量必與變量的值無關(guān)，故求出的式子必能化為一個(gè)常數(shù)，所以只需對(duì)上述式子進(jìn)行必要的化簡即可得到定值.
[典例] 已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(\r(2),2)，且過點(diǎn)A(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．
[方法技巧]
圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及2大解法
(1)特點(diǎn)：待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值．
(2)兩大解法：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
②引進(jìn)變量法：其解題流程為
[針對(duì)訓(xùn)練]
設(shè)橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若eq \(AF,\s\up7(―→))＝2eq \(FB,\s\up7(―→))，求l的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)P，若M是△PAB的外心，證明：eq \f(|AB|,|MF|)為定值．
題型三 構(gòu)造目標(biāo)不等式解決范圍問題
欲求變量的取值范圍，可設(shè)法構(gòu)造含有變量的不等式?組?，通過解不等式?組?來達(dá)到目的.
[典例] 已知點(diǎn)A，B分別為橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P(0，－2)，直線BP交E于點(diǎn)Q，eq \(PQ,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)eq \(QB,\s\up7(―→))，且△ABP是等腰直角三角形．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與E相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外時(shí)，求直線l斜率的取值范圍．
[方法技巧]
圓錐曲線中范圍問題的5個(gè)解題策略
(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．
[針對(duì)訓(xùn)練]
已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(a，2eq \r(5))在拋物線C上．
(1)若|MF|＝6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線x＋y＝t與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,0)，且滿足NA⊥NB，原點(diǎn)O到直線AB的距離不小于eq \r(2)，求p的取值范圍．
題型四 構(gòu)造函數(shù)模型解決最值問題
若題目中的條件和要求的結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建函數(shù)模型求最值，一般情況下，常構(gòu)建的函數(shù)模型有：?1?二次型函數(shù)；?2?雙曲線型函數(shù)；?3?多項(xiàng)式型函數(shù).
[典例] 已知點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為－eq \f(1,2).記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點(diǎn)G.
①證明：△PQG是直角三角形；
②求△PQG面積的最大值．
[方法技巧]
求解圓錐曲線中最值問題的2種方法
圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：
(1)利用幾何法：通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；
(2)利用代數(shù)法：把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．
[針對(duì)訓(xùn)練]
如圖，已知拋物線x2＝y(tǒng).點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(9,4)))，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)0)的長軸A1A2的長為4，過橢圓的右焦點(diǎn)F作斜率為k(k≠0)的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，直線BA1，BA2的斜率之積為－eq \f(3,4).
(1)求橢圓P的方程；
(2)已知直線l：x＝4，直線A1B，A1C分別與l相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)E為線段MN的中點(diǎn)，求證：BC⊥EF.
[方法技巧]
圓錐曲線證明問題的類型及求解策略
(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等)．
(2)解決證明問題時(shí)，主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明．
[針對(duì)訓(xùn)練]
如圖，菱形ABCD的面積為8eq \r(2).eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))＝－4，斜率為k的直線l交y軸于點(diǎn)P，且eq \(OP,\s\up7(―→))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))，以線段BD為長軸，AC為短軸的橢圓與直線l相交于M，N兩點(diǎn)(M與A在x軸同側(cè))．
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：AN與CM的交點(diǎn)在定直線y＝1上．
題型六 圓錐曲線中的存在性問題
存在性問題一般分為探究條件和探究結(jié)論兩種類型，若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在.若探究結(jié)論，則應(yīng)先寫出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.
[典例] 已知曲線C上動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F(－eq \r(2)，0)的距離和它到定直線l1：x＝－2eq \r(2)的距離的比是常數(shù)eq \f(\r(2),2)，若過P(0,1)的動(dòng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)．
(1)說明曲線C的形狀，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得eq \f(|QA|,|QB|)＝eq \f(|PA|,|PB|)恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
[方法技巧]
圓錐曲線中存在性問題的求解方法
(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．
(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法．
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．已知拋物線y2＝4x，過點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，－4))的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)P恰為AB的中點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；
(2)拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以弦AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．雙曲線C：x2－y2＝2右支上的弦AB過右焦點(diǎn)F.
(1)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)是否存在以AB為直徑，且過原點(diǎn)O的圓？若存在，求出直線AB的斜率k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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