?2021-2022學年陜西省延安市富縣九年級（上）期中數(shù)學試卷
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分.每小題只有一個選項是符合題意的，請將正確答案的序號填在題前的答題欄中）
1．（3分）剪紙藝術(shù)是第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，下列圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．（3分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+6的最大值是（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6
3．（3分）已知x＝3是關(guān)于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一個根，則實數(shù)b的值為（　?。?br /> A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)50°得到△AB'C'，則∠C'AB的度數(shù)為（　?。?br />
A．80° B．70° C．90° D．100°
5．（3分）已知點M（m，﹣1）與點N（3，n）關(guān)于原點對稱，則m+n的值為（　?。?br /> A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個根是菱形的兩條對角線長，則這個菱形的面積為（　　）
A．12 B．24 C．10 D．8
7．（3分）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣4的圖象先向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度得到的圖象對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式為y＝x2+ax+b，則ab的值為（　?。?br /> A．﹣22 B．22 C．88 D．﹣88
8．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（﹣2，3），拋物線與x軸的一個交點在點（﹣4，0）和點（﹣3，0）之間，其部分圖象如圖所示，以下結(jié)論：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是拋物線上的兩點，則y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正確的是（　?。?br />
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9．（3分）把方程x2+4x+1＝0用配方法化為（x+m）2＝n的形式，則n的值是 　 ?。?br /> 10．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程﹣mx2﹣6x+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是 　 ?。?br /> 11．（3分）已知點M（2+m，m﹣1）關(guān)于原點的對稱點在第二象限，則m的取值范圍是　 ?。?br /> 12．（3分）我們定義兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個函數(shù)的“和諧值”，拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝x﹣2的“和諧值”為 　 ?。?br /> 13．（3分）如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，將△BEF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，得到△GEH，當點H落在CD邊上時，F(xiàn)，H兩點之間的距離為 　 ?。?br />
三、解答題（共13小題，計81分，解答應(yīng)寫出過程）
14．（5分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
15．（5分）如圖，△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，且點C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，并指出旋轉(zhuǎn)中心．

16．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0，求證：不論m取何實數(shù)，該方程總有兩個實數(shù)根．
17．（5分）如圖，Rt△OAB的斜邊OA在y軸上，∠AOB＝30°，OB＝，將Rt△AOB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，求點A的對應(yīng)點A′的坐標．

18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，將其化為y＝a（x﹣h）2＝+k的形式，并在所給的平面直角坐標系中畫出它的圖象．

19．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點坐標分別為A（1，﹣4），
B（5，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△A1B1C1繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得到的△A2B2C2，且C2的坐標為 　 ?。?br />
20．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣（2m﹣1）＝0有實數(shù)根，且m為非正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．
21．（6分）如圖，依靠一面長18m的墻，用34m長的籬笆圍成一個矩形場地ABCD，AB邊上留有2m寬的小門EF（不用籬笆圍）．當矩形場地面積為160m2時，求AD的長．

22．（7分）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州歷史文化．如圖②，“東方之門”的內(nèi)側(cè)輪廊是由兩條拋物線組成的，已知其底部寬度均為80m，高度分別為300m和225m，則在內(nèi)側(cè)拋物線頂部處的外側(cè)拋物線的水平寬度AB為多少米？

23．（7分）如圖，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE，點B的對應(yīng)點為點D，點C的對應(yīng)點E落在BC邊上，連接BD．
（1）求證：DE⊥BC；
（2）若AC＝3，BC＝7，求線段BD的長．

24．（8分）2022年杭州亞運會，即第19屆亞洲運動會，將于2022年9月10日至25日，在中國杭州市舉行．某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進了一批以亞運會為主題，且具有中國風范、杭州韻味的文化衫進行銷售．文化衫的進價為每件30元，當銷售單價定為70元時，每天可售出20件，每銷售一件需繳納網(wǎng)絡(luò)平臺管理費2元．為了擴大銷售，增加盈利，決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1元，則每天可多售出2件（銷售單價不低于進價），若設(shè)這款文化衫的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（件）．
（1）求每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當銷售單價定為多少元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
25．（8分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣1，0），B（2，3）兩點，與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△AMC是直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

26．（10分）如圖①，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D，E在斜邊BC上，∠DAE＝45°，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACF，連接EF．
（1）求證：△ADE≌△AFE；
（2）如圖②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BD＝4，CE＝6，求DE的長．


2021-2022學年陜西省延安市富縣九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分.每小題只有一個選項是符合題意的，請將正確答案的序號填在題前的答題欄中）
1．（3分）剪紙藝術(shù)是第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，下列圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此解答即可．
【解答】解：A．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
故選：C．
2．（3分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+6的最大值是（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6
【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點特點可知，當x＝﹣1時，函數(shù)有最大值．
【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+6，當x＝﹣1時，函數(shù)有最大值6，
故選：D．
3．（3分）已知x＝3是關(guān)于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一個根，則實數(shù)b的值為（　?。?br /> A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝3代入方程得到關(guān)于b的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x＝3是關(guān)于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一個根，
∴9﹣3b﹣6＝0，
∴b＝1．
故選：B．
4．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)50°得到△AB'C'，則∠C'AB的度數(shù)為（　?。?br />
A．80° B．70° C．90° D．100°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得∠CAC′＝50°，再根據(jù)角之間的和差關(guān)系可得答案．
【解答】解：∵將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)50°，
∴∠CAC′＝50°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠C′AB＝50°+30°＝80°，
故選：A．
5．（3分）已知點M（m，﹣1）與點N（3，n）關(guān)于原點對稱，則m+n的值為（　?。?br /> A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y），進而求出即可．
【解答】解：∵點M（m，﹣1）與點N（3，n）關(guān)于原點對稱，
∴m＝﹣3，n＝1，
故m+n＝﹣3+1＝﹣2．
故選：C．
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個根是菱形的兩條對角線長，則這個菱形的面積為（　　）
A．12 B．24 C．10 D．8
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，再根據(jù)對角線乘積的一半求出菱形面積即可．
【解答】解：設(shè)a，b是方程x2﹣14x+48＝0的兩個根，
∴ab＝48，
則這個菱形的面積為ab＝24．
故選：B．
7．（3分）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣4的圖象先向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度得到的圖象對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式為y＝x2+ax+b，則ab的值為（　?。?br /> A．﹣22 B．22 C．88 D．﹣88
【分析】首先將原函數(shù)解析式寫成頂點式，再根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答，得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴將拋物線y＝（x﹣2）2﹣8先向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度得到：y＝（x﹣2﹣2）2﹣8+3，即y＝x2﹣8x+11，
∴a＝﹣8，b＝11，
故ab＝﹣8×11＝﹣88．
故選：D．
8．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（﹣2，3），拋物線與x軸的一個交點在點（﹣4，0）和點（﹣3，0）之間，其部分圖象如圖所示，以下結(jié)論：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是拋物線上的兩點，則y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正確的是（　?。?br />
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標，與y軸的交點以及二次函數(shù)增減性逐項進行判斷即可．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，
因此①正確；
∵拋物線的對稱軸為x＝﹣2，圖象與x軸的一個交點在點（﹣4，0）和點（﹣3，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣1，0）和點（0，0）之間，
∴當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，
因此②不正確；
∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，
∴（﹣4，y1）到對稱軸的水平距離小于（1，y2）到對稱軸的水平距離，且拋物線開口向下，
∴y1＞y2，故③正確；
∵拋物線的頂點坐標為（﹣2，3），
∴＝3，
∴b2+12a＝4ac，
∵4a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∴b2+3b＝4ac，故④正確；
∴正確的有：①③④，
故選：A．
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9．（3分）把方程x2+4x+1＝0用配方法化為（x+m）2＝n的形式，則n的值是 　3　．
【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2+4x+1＝0，
∴x2+4x＝﹣1，
則x2+4x+4＝﹣1+4，即（x+2）2＝3，
∴m＝2，n＝3，
故答案為：3．
10．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程﹣mx2﹣6x+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是 　m＞﹣3且m≠0?。?br /> 【分析】由二次項系數(shù)非零結(jié)合根的判別式Δ＞0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程﹣mx2﹣6x+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得：m＞﹣3且m≠0．
故答案為：m＞﹣3且m≠0．
11．（3分）已知點M（2+m，m﹣1）關(guān)于原點的對稱點在第二象限，則m的取值范圍是　﹣2＜m＜1?。?br /> 【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點，進而利用第二象限點的坐標特點得出答案．
【解答】解：點M（2+m，m﹣1）關(guān)于原點的對稱點為：（﹣2﹣m，1﹣m），
∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限，
∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0，
解得：﹣2＜m＜1．
故答案為：﹣2＜m＜1．
12．（3分）我們定義兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個函數(shù)的“和諧值”，拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝x﹣2的“和諧值”為 　?。?br /> 【分析】通過x2﹣2x+3﹣（x﹣2）求解．
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴拋物線在直線上方，
設(shè)“和諧值”為h，
∵x2﹣2x+3﹣（x﹣2）＝（x﹣）2+，
∴該函數(shù)最小值為，
故答案為：．
13．（3分）如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，將△BEF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，得到△GEH，當點H落在CD邊上時，F(xiàn)，H兩點之間的距離為 　2?。?br />
【分析】連接FH，由正方形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出EF＝EH，證明Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），得出∠EFB＝∠HEC，證出∠FEH＝90°，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：連接FH，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵AF＝2，BF＝4，
∴AB＝6，
∵BE＝2，
∴CE＝4，
∴BF＝CE，
∵將△BEF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，得到△GEH，
∴EF＝EH，
在Rt△EBF和Rt△HCE中，
，
∴Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），
∴∠EFB＝∠HEC，
∵∠EFB+∠BEF＝90°，
∴∠BEF+∠CEH＝90°，
∴∠FEH＝90°，
∵BF＝4，BE＝2，
∴EF＝＝＝2，
∴FH＝EF＝2．
三、解答題（共13小題，計81分，解答應(yīng)寫出過程）
14．（5分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：移項得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
開方得x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
15．（5分）如圖，△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，且點C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，并指出旋轉(zhuǎn)中心．

【分析】先利用三角形內(nèi)角和計算出∠BAC＝133°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得出旋轉(zhuǎn)中心．
【解答】解：∵∠B＝21°，∠ACB＝26°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣21°﹣26°＝133°，即∠BAD＝133°，
∴旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為133°，
由圖可知旋轉(zhuǎn)中心為點A．
16．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0，求證：不論m取何實數(shù)，該方程總有兩個實數(shù)根．
【分析】根據(jù)根的判別式Δ＝b2﹣4ac的符號來證明結(jié)論成立．
【解答】證明：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+3）]2﹣4（2m+2）
＝m2﹣2m+1
＝（m﹣1）2≥0，
∴不論m取何值時，方程總有兩個實數(shù)根．
17．（5分）如圖，Rt△OAB的斜邊OA在y軸上，∠AOB＝30°，OB＝，將Rt△AOB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，求點A的對應(yīng)點A′的坐標．

【分析】解直角三角形求出OA＝2，可得A（0，2），再利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠B＝90°，OB＝，∠AOB＝30°，
∴AO＝＝2，
∴A（0，2），
∴將Rt△AOB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A的對應(yīng)點A′的坐標為（2，0）．
18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，將其化為y＝a（x﹣h）2＝+k的形式，并在所給的平面直角坐標系中畫出它的圖象．

【分析】用配方法配方成頂點式，然后列表，描點連線畫出函數(shù)圖象．
【解答】解：y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣4+3
＝（x﹣2）2﹣1；
（2）列表；
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
3
0
﹣1
0
3
……
描點、連線作出函數(shù)的圖象如圖：
．
19．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點坐標分別為A（1，﹣4），
B（5，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△A1B1C1繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得到的△A2B2C2，且C2的坐標為 ?。ī?，﹣4）　．

【分析】（1）利用中心對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A1，B1，C1的對應(yīng)點A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求，C2的坐標為（﹣1，﹣4）．
故答案為：（﹣1，﹣4）．

20．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣（2m﹣1）＝0有實數(shù)根，且m為非正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．
【分析】直接利用根的判別式得出m的取值范圍，求得m＝0，進而解方程得出答案．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣（2m﹣1）＝0有實數(shù)根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4[﹣（2m﹣1）]≥0，
解得：m≥0，
∵m為非正整數(shù)，
∴m＝0，
∴原方程可化為x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
21．（6分）如圖，依靠一面長18m的墻，用34m長的籬笆圍成一個矩形場地ABCD，AB邊上留有2m寬的小門EF（不用籬笆圍）．當矩形場地面積為160m2時，求AD的長．

【分析】設(shè)AD＝BC＝xm，則AB＝（34+2﹣2x）m，根據(jù)矩形場地面積為160m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合墻長18m，即可得出AD的長為1m．
【解答】解：設(shè)AD＝BC＝xm，則AB＝（34+2﹣2x）m，
依題意得：x（34+2﹣2x）＝160，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝8，x2＝10．
當x＝8時，34+2﹣2x＝34+2﹣2×8＝20＞18，不合題意，舍去；
當x＝10時，34+2﹣2x＝34+2﹣2×10＝16＜18，符合題意．
答：AD的長為1m．
22．（7分）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州歷史文化．如圖②，“東方之門”的內(nèi)側(cè)輪廊是由兩條拋物線組成的，已知其底部寬度均為80m，高度分別為300m和225m，則在內(nèi)側(cè)拋物線頂部處的外側(cè)拋物線的水平寬度AB為多少米？

【分析】以底部所在的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，用待定系數(shù)法求得外側(cè)拋物線的解析式，則可知點A、B 的橫坐標，從而可得AB的長．
【解答】解：以底部所在的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖：

∴C（﹣40，0），D（40，0），
設(shè)外側(cè)拋物線的解析式為y＝a（x+40）（x﹣40），將（0，300）代入，得：
300＝a（0+40）（0﹣40），
解得：a＝﹣，
∴外側(cè)拋物線的解析式為y＝﹣x2+300，
將y＝225代入得﹣x2+300＝225，
解得：x＝±20，
∴A（﹣20，225），B（20，225），
∴AB＝40，
答：在內(nèi)側(cè)拋物線頂部處的外側(cè)拋物線的水平寬度AB的長為40m．
23．（7分）如圖，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE，點B的對應(yīng)點為點D，點C的對應(yīng)點E落在BC邊上，連接BD．
（1）求證：DE⊥BC；
（2）若AC＝3，BC＝7，求線段BD的長．

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，可得∠ACE＝∠AEC＝45°＝∠AED，可得結(jié)論；
（2）由直角三角形的性質(zhì)可求EC＝6，可求BE＝1，由勾股定理可求BD的長．
【解答】解：（1）∵將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°＝∠AED，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥BC；
（2）∵AE＝AC＝3，∠EAC＝90°，
∴EC＝6，
∴BE＝BC﹣EC＝1，
∵將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴DE＝BC＝7，
∴DB＝＝＝5．
24．（8分）2022年杭州亞運會，即第19屆亞洲運動會，將于2022年9月10日至25日，在中國杭州市舉行．某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進了一批以亞運會為主題，且具有中國風范、杭州韻味的文化衫進行銷售．文化衫的進價為每件30元，當銷售單價定為70元時，每天可售出20件，每銷售一件需繳納網(wǎng)絡(luò)平臺管理費2元．為了擴大銷售，增加盈利，決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1元，則每天可多售出2件（銷售單價不低于進價），若設(shè)這款文化衫的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（件）．
（1）求每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當銷售單價定為多少元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
【分析】（1）根據(jù)“銷售單價每降低1元，則每天可多售出2件”列函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)總利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值．
【解答】解：（1）由題意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理得：y＝﹣2x+160，
∴每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+160（30≤x＜70）；
（2）設(shè)銷售所得利潤為w，由題意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，
∵﹣2＜0，
∴當x＝56時，w取最大值為1152，
∴當銷售單價為56元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為1152元．
25．（8分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣1，0），B（2，3）兩點，與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△AMC是直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）將（﹣1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求解．
（2）通過解析式求出點C坐標，設(shè)點M坐標為（1，m），用含m代數(shù)式分別表示出AM2，CM2，AC2，根據(jù)勾股定理分類討論A，M，C為直角頂點，進而求解．
【解答】解：（1）將（﹣1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，理由如下：
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴點C坐標為（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線對稱軸為直線x＝1，
設(shè)點M坐標為（1，m），
∴AC2＝12+32＝10，CM2＝12+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，AM2＝m2+22＝m2+4，
①當∠AMC為90°時，
AM2+CM2＝AC2，即m2+4+m2﹣6m+10＝10，
解得m＝1或m＝2，
∴點M坐標為（1，1）或（1，2）．

②當∠ACM＝90°時，
AC2+CM2＝AM2，即10+m2﹣6m+10＝m2+4，
解得m＝，
∴點M坐標為（1，），
③當∠MAC＝90°時，
AM2+AC2＝CM2，即m2+4+10＝m2﹣6m+10，
解得m＝﹣．
∴M坐標為（1，﹣）．
綜上所述，點M坐標為（1，1）或（1，2）或（1，）或（1，﹣）．
26．（10分）如圖①，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D，E在斜邊BC上，∠DAE＝45°，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACF，連接EF．
（1）求證：△ADE≌△AFE；
（2）如圖②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BD＝4，CE＝6，求DE的長．

【分析】（1）先判斷出AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，再判斷出∠FAE＝∠DAE，即可得出結(jié)論；
（2）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△ACF，連接EF，同（1）的方法判斷出DE＝EF，再判斷出∠ECF＝60°，過點F作FH⊥BC于H，在Rt△CHF中，求出CH＝2，F(xiàn)H＝2，在Rt△EHF中，用勾股定理求出EF，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACF，
∴△ABD≌△ACF，
∴AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，
由旋轉(zhuǎn)知，∠DAF＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝45°＝∠DAE，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（SAS）；
（2）解：如右圖，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△ACF，連接EF，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF＝4，AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，
由旋轉(zhuǎn)知，∠DAF＝120°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝60°＝∠DAE，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE＝EF，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
由旋轉(zhuǎn)知，∠ACF＝∠B＝30°，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝60°，
過點F作FH⊥BC于H，
在Rt△CHF中，CF＝4，∠CFH＝90°﹣∠ECF＝30°，
∴CH＝2，F(xiàn)H＝2，
在Rt△EHF中，EH＝EC﹣CH＝6﹣2＝4，
根據(jù)勾股定理得，EF＝＝＝2，
∴DE＝2．



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