專題15 推理與證明一、選擇題部分1.(2021?貴州畢節(jié)三模?文T9．)如圖，有甲、乙、丙三個盤子和放在甲盤子中的四塊大小不相同的餅，按下列規(guī)則把餅從甲盤全部移到乙盤中：①每次只能移動一塊餅；②較大的餅不能放在較小的餅上面，則最少需要移動的次數(shù)為（　?。?/span>A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C．【解析】假設(shè)甲盤中有n塊餅，從甲盤移動到乙盤至少需要an次，則a1＝1，當(dāng)n≥2時，可先將較大的餅不動，將剩余的n﹣1塊餅先移動到丙盤中，至少需要移動an﹣1次，再將最大的餅移動到乙盤，需要移動1次，最后將丙盤中所有的丙移動到乙盤中，至少需要移動an﹣1次，由上可知，an＝2an﹣1+1，且a1＝1，所以a2＝2a1+1＝3，a3＝2a2+1＝7，a4＝2a3+1＝15，則最少需要移動的次數(shù)為15次．2.(2021?貴州畢節(jié)三模?文T5．)“干支紀年法”是中國歷法上自古以來使用的紀年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀年法，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60個組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡．2021年是“干支紀年法”中的辛丑年，那么2015年是“干支紀年法”中的（　?。?/span>A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．乙未年【答案】D．【解析】由題意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”，2021年是“干支紀年法”中的辛丑年，則2020年為庚子，2019年為己亥，2018年為戊戌，2017年為丁酉，2016年為丙申，2015年為乙未．3.(2021?江西九江二模?理T9．)古希臘畢達哥拉斯學(xué)派認為數(shù)是萬物的本源，因此極為重視數(shù)的理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙?；蛐∈?，并將它們排列成各種形狀進行研究．形數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點陣所對應(yīng)的點數(shù)，是畢哥拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一．如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個數(shù)，若三角形數(shù)組成數(shù)列{an}，四邊形數(shù)組成數(shù)列{bn}，記cn＝，則數(shù)列{cn}的前10項和為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】D．【解析】由題意可得，，，所以，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，所以，所以．4.(2021?山東濰坊二模?T6．)關(guān)于函數(shù)f（x）＝，其中a，b∈R，給出下列四個結(jié)論：甲：6是該函數(shù)的零點；乙：4是該函數(shù)的零點；丙：該函數(shù)的零點之積為0；?。悍匠?/span>f（x）＝有兩個根．若上述四個結(jié)論中有且只有一個結(jié)論錯誤，則該錯誤結(jié)論是（　?。?/span>A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B．【解析】當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）＝2x﹣a為增函數(shù)，當(dāng)x∈[2，+∞）時，f（x）＝b﹣x為減函數(shù)，故6和4只有一個是函數(shù)的零點，即甲乙中有一個結(jié)論錯誤，一個結(jié)論正確，而丙、丁均正確．由兩零點之積為0，則必有一個零點為0，則f（0）＝20﹣a＝0，得a＝1，若甲正確，則f（6）＝0，即b﹣6＝0，b＝6，可得f（x）＝，由f（x）＝，可得或，解得x＝或x＝，方程f（x）＝有兩個根，故丁正確．故甲正確，乙錯誤．二、填空題部分5.(2021?山西調(diào)研二模?文T14)某校團委為高三學(xué)生籌備十八歲成人禮策劃了三種活動方案，分別記作A、B、C，為使活動開展得更加生動有意義，現(xiàn)隨機調(diào)查甲、乙、丙三位同學(xué)對三種活動方案的喜歡程度.甲說：“我不喜歡方案A，但喜歡的活動方案比乙多.”乙說：“我不喜歡方案”丙說：“我們?nèi)硕枷矚g同一種方案”.由此可以判斷乙喜歡的活動方案是______ .【答案】C．【解析】從丙的說法中推測乙肯定有喜歡的方案，
從甲的說法中推測甲喜歡2種方案，不喜歡方案A，那么可以確定是B和C，
再從乙的說法中可知，乙只喜歡一種方案，是方案C，
故答案為：
根據(jù)三個人所說內(nèi)容，可以推斷出乙只喜歡一種方案，又丙說：“我們?nèi)硕枷矚g同一種方案”，所以可以判斷乙喜歡的活動方案．
本題主要考查了簡單的合情推理，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題．
6.(2021?山東聊城三模?T13.)數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他寫的《算盤全書》提出的，該數(shù)列的特點是：從第三起，每一項都等于它前面兩項的和．在該數(shù)列的前2021項中，奇數(shù)的個數(shù)為________．【答案】1348．【考點】進行簡單的合情推理【解析】【解答】由斐波那契數(shù)列的特點知：從第一項起，每3個數(shù)中前兩個為奇數(shù)后一個偶數(shù)，∵的整數(shù)部分為673，余數(shù)為2，∴該數(shù)列的前2021項中共有673個偶數(shù)，奇數(shù)的個數(shù)為 .故答案為：1348
【分析】由斐波那契數(shù)列的特點經(jīng)過推理即可求得．三、解答題部分7.(2021?高考全國甲卷?理T18) 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【解析】選①②作條件證明③時，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列.選①②作條件證明③：設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，所以.選①③作條件證明②：因為，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為，所以，解得或；當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當(dāng)時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.8.(2021?江蘇鹽城三模?T18)請在①；②；③這3個條件中選擇1個條件，補全下面的命題使其成為真命題，并證明這個命題(選擇多個條件并分別證明的按前1個評分)．命題：已知數(shù)列滿足an＋1＝an2，若，則當(dāng)n≥2時，an≥2n恒成立．【考點】數(shù)列的通項公式求解與不等式的證明【解析】選②．證明：由an＋1＝an2，且，所以an＞0，所以lgan＋1＝lgan，lgan＝lg2，an＝，……5分當(dāng)n≥2時，只需證明≥n，令bn＝，則bn＋1－bn＝－＝＜0，……10分所以bn≤b2＝1，所以≥n成立．綜上所述，當(dāng)a1＝2且n≥2時，an≥2n成立．……12分注：選②為假命題，不得分，選③參照給分．9.(2021?河南開封三模?理T17)已知數(shù)列{an}滿足a1＝﹣2，an+1＝2an+4．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{an}的通項公式并加以證明；（3）求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn．【解析】（1）由已知，易得a2＝0，a3＝4，a4＝12．（2）猜想．因為an+1＝2an+4，所以an+1+4＝2（an+4），，則{an+4}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以＝．（3）當(dāng)n＝1時，a1＝﹣2＜0，S1＝|a1|＝2；當(dāng)n≥2時，an≥0，所以＝，又n＝1時滿足上式．所以，當(dāng)n∈N*時，．10.(2021?浙江杭州二模?理T20．)已知數(shù)列{an}，{bn}，滿足an＝2n﹣2，b2k﹣1＝ak（k∈N*），b2k﹣1，b2k，b2k+1成等差數(shù)列．（1）證明：{b2k}是等比數(shù)列；（2）數(shù)列{cn}滿足cn＝，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求Sn．【解答】證明：（1）由數(shù)列{an}，{bn}，滿足an＝2n﹣2，b2k﹣1＝ak（k∈N*），所以，由于b2k﹣1，b2k，b2k+1成等差數(shù)列．故，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列：{b2k}是以為首項，公比為2的等比數(shù)列；（2）由于：{b2k}是以為首項，公比為2的等比數(shù)列；所以，則＝2n﹣3，所以＝＝（n≥1），則+…+，＝．11.(2021?浙江麗水湖州衢州二模?T20．)已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝2，a2+a3是a3與a4的等差中項．?dāng)?shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn+＝2an﹣2．求證：（Ⅰ）數(shù)列{an﹣bn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）…+≤2（1﹣）．【解答】證明：（Ⅰ）數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝2，a2+a3是a3與a4的等差中項，由已知a3+a4＝2（a2+a3），整理得a4﹣a3﹣2a2＝0．設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或﹣1（負值舍去）故．由Sn+＝2an﹣2．①當(dāng)n＝1時，解得b1＝1，當(dāng)n≥2時，②，①﹣②得：，解得．所以an﹣bn＝n，故（an﹣bn）﹣（an﹣1﹣bn﹣1）＝1（常數(shù)），故數(shù)列{an﹣bn}是等差數(shù)列．（Ⅱ）由于，數(shù)列{an﹣bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則：an﹣bn＝1+（n﹣1）＝n，所以，根據(jù)不等式＝，所以＝2﹣，由于，所以…+≤2（1﹣）成立． 

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