課后素養(yǎng)落實(六)　平面向量基本定理(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD的交點，有下列向量組：①與；②與；③與；④與．其中可作為這個平行四邊形所在平面內(nèi)其他所有向量的基底的是(　　)A．①④  B．②③  C．①③  D．②④C　[如圖所示，與為不共線向量，可以作為基底．與為不共線向量，可以作為基底．與，與均為共線向量，不能作為基底．]2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c＝6e1－2e2的關(guān)系是(　　)A．不共線   B．共線C．相等   D．不確定B　[a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b與c共線．]3．若e1，e2是表示平面所有向量的一組基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作為一組基底，則k的值為(　　)A．－2  B．－4  C．－6  D．－8D　[易知a∥b，故設(shè)3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，∴∴k＝－8．]4．設(shè)e1，e2是不共線向量，e1＋2e2與me1＋ne2共線，則＝(　　)A．  B．2  C．  D．4B　[由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，∴＝2．]5．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝＋λ，則λ＝(　　)A．  B．  C．  D．A　[∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．又∵＝＋λ，∴λ＝．]二、填空題6．如圖，在正方形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則在以a，b為基底時，可表示為________，在以a，c為基底時，可表示為________．a＋b　2a＋c　[由平行四邊形法則可知，＝＋＝a＋b，以a，c為基底時，＝＋＝＋＝c＋a，＝＋＝a＋c＋a＝2a＋c．]7．已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實數(shù)λ的取值范圍為________．(－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4．]8．如圖，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，三邊BC，CA，AB的中點依次為D，E，F，則＋＋＝________．0　[原式＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0．]三、解答題9．如圖，在?ABCD中，＝a，＝b，E，F分別是AB，BC的中點，G點使＝，試以a，b為基底表示向量與．[解]　＝＋＝＋＝＋＝a＋b．＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b．10．設(shè)e1，e2為兩個不共線的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，試用b，c為基底表示向量a．[解]　設(shè)a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，則－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴∴∴a＝－b＋c．11．(多選題)等邊三角形ABC中，＝，＝2，AD與BE交于點F，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．＝(＋)   B．＝＋C．＝   D．＝＋AC　[如圖，∵＝，∴D為BC的中點，∴＝(＋)，∴A正確；∵＝2，∴＝＝(－)，∴＝＋＝＋(－)＝＋，∴B錯誤；設(shè)＝λ＝＋＝＋，∵B，F，E三點共線，∴＋＝1，解得λ＝，∴＝，∴C正確；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋，∴D錯誤．]12．點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足＝＋，則△ABM與△ABC的面積之比為(　　)A．  B．  C．  D．B　[如圖，分別在，上取點E，F，使＝，＝，在上取點G，使＝，則EG∥AC，FG∥AE，∴＝＋＝，∴M與G重合，∴＝＝．]13．如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為________．　[設(shè)＝λ，＝－＝m＋－＝m－，λ＝λ(－)＝λ－，∴∴m＝λ＝．]14．如圖所示，OM∥AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運動，且＝x＋y，則x的取值范圍是________；當x＝－時，y的取值范圍是________．(－∞，0)　　[設(shè)＝a＋b(a，b為正實數(shù)，0<b<1)，＝λ(λ>0)，則＝aλ＋b＝aλ(－)＋b＝－aλ＋(aλ＋b)．由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．因為＝x＋y，所以0<x＋y<1，當x＝－時，有0<－＋y<1，解得y∈．]15．已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點．若PQ過△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求證：＋＝3．[證明]　因為M是AB邊的中點，所以＝(＋)＝(a＋b)．因為G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三點共線，得∥，所以有且只有一個實數(shù)λ，使＝λ．而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ．又因為a，b不共線，所以消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3． 

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9.2 向量運算

版本： 蘇教版 (2019)

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