數(shù) 學 試 卷
2021.11.9
一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．)
1．已知集合eq A＝{x|y＝\r(,2－x)}，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，則A∩B等于( )
A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x≥2}
2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2z＋ eq \(z,\s\up6(-))＝3＋6i，則z等于( )
A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i
3．“a∈[0，1]”是“?x∈R，eq x\s\up6(2)－ax＋1＞0”成立的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有這樣一道題：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的eq \f(1,7)是較小的兩份之和．則最小的一份為( )
A．eq \f(5,3) B．eq \f(10,3) C．eq \f(5,6) D．eq \f(11,6)
5．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)eq y＝2\s\up6(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，且當x＞0時，g(x)＝f(x)＋x，則g(－4)＝( )
A．－18 B．－12 C．－8 D．－6
6．已知α∈(－π，0)，且3cs2α＋4csα＋1＝0，則tanα等于( )
A．eq \f(\r(,2),4) B．eq 2\r(,2) C．eq －2\r(,2) D．eq －\f(\r(,2),4)
7．已知向量EQ \\ac(\S\UP7(→),OA)＝(1，3)，向量EQ \\ac(\S\UP7(→),OB)＝(3，t)，eq |\\ac(\S\UP7(→),AB)|＝2，則cs等于( )
A．eq －\f(\r(,10),10) B．eq \f(\r(,10),10) C．eq \f(3\r(,10),10) D．eq －\f(3\r(,10),10)
8．已知函數(shù)eq f(x)＝e\s\up6(x－2)＋e\s\up6(－x＋2)＋asin(\f(πx,3)－\f(π,6))有且只有一個零點，則實數(shù)a的值為( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．)
9．已知實數(shù)x，y滿足ax＜ay(0＜a＜1)，則下列關(guān)系式恒成立的有( )
A．eq x\s\up6(3)＞y\s\up6(3) B．eq \f(1,x)＜\f(1,y) C．ln(x－y＋1)＞0 D．sinx＞siny
10．已知函數(shù)f(x)＝EQ \B\lc\{(\a\al(\l(x\S(2)＋2，x＜0),\l(e\S(x)，x≥0)))，滿足對任意的x∈R，f(x)≥ax恒成立，則實數(shù)a的取值可以是( )
A．eq －2\r(,2) B．eq －\r(,2) C．eq \r(,2) D．eq 2\r(,2)
11．任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進行上述運算，經(jīng)過有限次步驟，必進人循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”)．如果對于正整數(shù)m，經(jīng)過n步變換，第一次到達1，就稱為n步“雹程”．如取m＝3，由上述運算法則得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過7個步驟變成1，得n＝7．則下列命題正確的有( )
A．若n＝2，則m只能是4
B．當m＝17時，n＝12
C．隨著m的增大，n也增大
D．若n＝7，則m的取值集合為{3，20，21，128}．
12．已知函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|csx|，下列敘述正確的有( )
A．函數(shù)y＝f(x)的周期為2π
B．函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)
C．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq [\f(3π,4)，\f(5π,4)]上單調(diào)遞減
D．eq ?x\s\d(1)，x\s\d(2)∈R.|f(x\s\d(1))－f(x\s\d(2))|≤\r(,2)
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共計20分．)
13．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且eq lna\s\d(n＋1)＝2S\s\d(n)＋2(n∈N*)，則eq a\s\d(1)＝ ．
14．已知函數(shù)y＝f(x)滿足eq f(x)＝f′(\f(π,4))sinx－csx，則eq f′(\f(π,4))＝ ．
15．已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，角A為直角，點P為平面ABC上的一點，則eq \\ac(\S\UP7(→),PB)·\\ac(\S\UP7(→),PC)的最小值為 ．
16．函數(shù)eq f(x)＝x\s\up6(2)－ax－1的零點個數(shù)為 ；當x∈[0，3]時，|f(x)|≤5恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)
17．(10分)在①、②兩個條件中任取一個填入下面的橫線上，并完成解答．
①在(0，2π)上有且僅有4個零點；
②在(0，2π)上有且僅有2個極大值點和2個極小值點．
設(shè)函數(shù)eq f(x)＝sin(\f(ωx,2)＋\f(π,3))(ω∈N*)，且滿足 ．
(1)求ω的值；
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq \f(π,3)個單位得到函數(shù)g(x)的圖像，求g(x)在(0，2π)上的單調(diào)遞減區(qū)間．
18．(12分)我們知道，函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)．
(1)請寫出一個圖象關(guān)于點(－1，0)成中心對稱的函數(shù)解析式；
(2)利用題目中的推廣結(jié)論，求函數(shù)eq f(x)＝x\s\up6(3)－3x\s\up6(2)＋4圖象的對稱中心．
19．(12分)在銳角三角形ABC中，已知eq tan2A＝\f(sinA,csA－1)．
(1)求角A的值；
(2)若eq a＝2\r(,3)，求b＋c的取值范圍．
20．(12分)在△ABC中，已知eq AB＝2，AC＝\r(,11)，cs∠BAC＝\f(5\r(,11),22)，D為BC的中點，E為AB邊上的一個動點，AD與CE交于點O．設(shè)eq \\ac(\S\UP7(→),AE)＝x\\ac(\S\UP7(→),AB)．
(1)若eq x＝\f(1,4)，求eq \f(CO,OE)的值；
(2)求eq \\ac(\S\UP7(→),AO)·\\ac(\S\UP7(→),CE)的最小值．
21．(12分)已知正項數(shù)列{an}的前項積為Tn，且滿足an＝eq \f(T\s\d(n),3T\s\d(n)－1)(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列eq {T\s\d(n)－\f(1,2)}為等比數(shù)列；
(2)若eq a\s\d(1)＋a\s\d(2)＋…＋a\s\d(n)＞10，求n的最小值．
22．(12分)已知函數(shù)eq f(x)＝e\s\up6(x－m)－lnx(m≥0)．
(1)當m＝0時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)若函數(shù)f(x)的最小值為eq \f(1,e)－1，求實數(shù)m的值．

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