2020-2021年福建省廈門市湖里區(qū)雙十中學第一次中考模擬數(shù)學試卷（含答案）-試卷下載-教習網(wǎng)

?2021廈門雙十中學初三下數(shù)學第一次診斷卷
一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）
1．（4分）﹣的倒數(shù)為（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．﹣1
2．（4分）二元一次方程組的解是（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．（4分）下列各式計算正確的是（　　）
A．﹣＝ B．（a3b）2＝a6b2
C．﹣＝ D．a(chǎn)9÷a3＝a3
4．（4分）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，則再次擲出這枚硬幣，正面朝下的概率是（　?。?br /> A．1 B． C． D．
5．（4分）如果存在一條線把一個圖形分割成兩個部分，使其中一個部分沿某個方向平移后能與另一個部分重合，那么我們把這個圖形叫做平移重合圖形．下列圖形中，平移重合圖形是（　?。?br /> A．平行四邊形 B．等腰梯形 C．正六邊形 D．圓
6．（4分）如圖，過直線l1外一點P作它的平行線l2，其作圖依據(jù)是（　　）

A．兩直線平行，同位角相等
B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等
C．同位角相等，兩直線平行
D．內(nèi)錯角相等，兩直線平行
7．（4分）已知a，b，c都是實數(shù)，則關于三個不等式：a＞b，a＞b+c，c＜0的邏輯關系的表述，下列正確的是（　　）
A．因為a＞b+c，所以a＞b，c＜0
B．因為a＞b+c，c＜0，所以a＞b
C．因為a＞b，a＞b+c，所以c＜0
D．因為a＞b，c＜0，所以a＞b+c
8．（4分）某市開發(fā)區(qū)在一項工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，工程領導小組根據(jù)甲、乙兩隊的投標書測算，共有三種施工方案：①甲隊單獨完成這項工程，剛好如期完工；②乙隊單獨完成此項工程要比規(guī)定工期多用5天；③，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完工．某同學設規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出了方程：，則方案③中被墨水污染的部分應該是（　　）
A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的
9．（4分）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB＝2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（　?。?br />
A． B． C．2 D．2
10．（4分）若點A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，且y1＞y2，則a的取值范圍是（　?。?br /> A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜﹣1或a＞1
二．填空題（共6小題，滿分20分）
11．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cosA的值是　　．

12．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延長BA至點D，則∠CAD的大小為　　．

13．（4分）已知，一次函數(shù)y＝x+5的圖象經(jīng)過點P（a，b）和Q（c，d），則a（c﹣d）﹣b（c﹣d）的值為　　．
14．（4分）如圖，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．則的值為　 ?。?br />
15．（4分）觀察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7．請利用它們所蘊含的規(guī)律，求關于x的方程x+＝2n+5（n為正整數(shù)）的根，你的答案是　　．
16．計算：（15y2﹣5y）÷5y＝　 ?。?br /> 三．解答題（共9小題，滿分86分）
17．（12分）（1）計算：（π﹣2020）0﹣+4sin45°﹣（）﹣1．
（2）解不等式組：，并把不等式組的解集表示在如圖的數(shù)軸上．

18．（8分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°+1．
19．（8分）如圖，四邊形ABCD中，點E在邊AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE，求證：∠CAD＝∠D．

20．（8分）如圖，已知四邊形ABCD是矩形．
（1）請用直尺和圓規(guī)在邊AD上作點E，使得EB＝EC．（保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的長．

21．（8分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，關于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有兩個相等實根，且3c＝a+3b
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）求sinA+sinB的值．
22．（8分）對任意一個兩位數(shù)m，如果m等于兩個正整數(shù)的平方和，那么稱這個兩位數(shù)m為“平方和數(shù)”，若m＝a2+b2（a、b為正整數(shù)），記A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一個“平方和數(shù)”，則A（29）＝2×5＝10．
（1）判斷25是否是“平方和數(shù)”，若是，請計算A（25）的值；若不是，請說明理由；
（2）若k是一個“平方和數(shù)”，且A（k）＝，求k的值．
23．（11分）“世界那么大，我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡，騎自行車旅行越來越受到人們的喜愛，各種品牌的山地自行車相繼投放市場．順風車行經(jīng)營的A型車去年6月份銷售總額為3.2萬元，今年經(jīng)過改造升級后A型車每輛銷售價比去年增加400元，若今年6月份與去年6月份賣出的A型車數(shù)量相同，則今年6月份A型車銷售總額將比去年6月份銷售總額增加25%．
（1）求今年6月份A型車每輛銷售價多少元（用列方程的方法解答）；
（2）該車行計劃7月份新進一批A型車和B型車共50輛，且B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，應如何進貨才能使這批車獲利最多？
A、B兩種型號車的進貨和銷售價格如表：

A型車
B型車
進貨價格（元/輛）
1100
1400
銷售價格（元/輛）
今年的銷售價格
2400
24．（11分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點E在對角線BD上，△ABE的外接圓交BC于點F．連接AF交BD于點G．
（1）求證：AF＝AE；
（2）若FH是該圓的切線，交線段CD于點H，且FH＝FG，求BF的長．

25．（12分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，頂點為C，且△ABC為等腰直角三角形．
（1）當A（﹣1，0），B（3，0）時，求a的值；
（2）當b＝﹣2a，a＜0時．
①求該二次函數(shù)的解析式（用只含a的式子表示）；
②在﹣1≤x≤3范圍內(nèi)任取三個自變量x1，x2，x3，所對應的三個函數(shù)值分別為y1，y2，y3，若以為y1，y2，y3為長度的三條線段能圍成三角形，求a的取值范圍．

2021廈門雙十中學初三下數(shù)學第一次診斷卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）
1．（4分）﹣的倒數(shù)為（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：∵（﹣）×（﹣2）＝1，
∴﹣的倒數(shù)是﹣2．
故選：C．
2．（4分）二元一次方程組的解是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：，
①+②得，3x＝3，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，1+y＝2，
解得y＝1，
所以，方程組的解是．
故選：B．
3．（4分）下列各式計算正確的是（　?。?br /> A．﹣＝ B．（a3b）2＝a6b2
C．﹣＝ D．a(chǎn)9÷a3＝a3
【解答】解：A、﹣，無法計算，故此選項錯誤；
B、（a3b）2＝a6b2，故此選項正確；
C、﹣＝，故此選項錯誤；
D、a9÷a3＝a6，故此選項錯誤．
故選：B．
4．（4分）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，則再次擲出這枚硬幣，正面朝下的概率是（　?。?br /> A．1 B． C． D．
【解答】解：∵擲質(zhì)地均勻硬幣的試驗，每次正面向上和向下的概率相同，
∴再次擲出這枚硬幣，正面朝下的概率是．
故選：D．
5．（4分）如果存在一條線把一個圖形分割成兩個部分，使其中一個部分沿某個方向平移后能與另一個部分重合，那么我們把這個圖形叫做平移重合圖形．下列圖形中，平移重合圖形是（　　）
A．平行四邊形 B．等腰梯形 C．正六邊形 D．圓
【解答】解：如圖，平行四邊形ABCD中，取BC，AD的中點E，F(xiàn)，連接EF．

∵四邊形ABEF向右平移可以與四邊形EFDC重合，
∴平行四邊形ABCD是平移重合圖形，
故選：A．
6．（4分）如圖，過直線l1外一點P作它的平行線l2，其作圖依據(jù)是（　　）

A．兩直線平行，同位角相等
B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等
C．同位角相等，兩直線平行
D．內(nèi)錯角相等，兩直線平行
【解答】解：由圖可知，
直線l1和直線l2之間的內(nèi)錯角相等，則可以判定這兩條直線平行，
故選：D．
7．（4分）已知a，b，c都是實數(shù)，則關于三個不等式：a＞b，a＞b+c，c＜0的邏輯關系的表述，下列正確的是（　?。?br /> A．因為a＞b+c，所以a＞b，c＜0
B．因為a＞b+c，c＜0，所以a＞b
C．因為a＞b，a＞b+c，所以c＜0
D．因為a＞b，c＜0，所以a＞b+c
【解答】解：A、例如a＝5，b＝1，c＝2，滿足條件a＞b+c，但是不滿足結論c＜0，故本選項錯誤；
B、例如a＝5，b＝8，c＝﹣6，滿足條件a＞b+c，c＜0，但是不滿足結論a＞b，故本選項錯誤；
C、例如a＝5，b＝1，c＝2，滿足條件a＞b，a＞b+c，但是不滿足結論c＜0，故本選項錯誤；
D、∵c＜0，∴a+c＜a，即a＞a+c，
∵a＞b，∴a+c＞b+c，
∴a＞b+c，故本選項正確．
故選：D．
8．（4分）某市開發(fā)區(qū)在一項工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，工程領導小組根據(jù)甲、乙兩隊的投標書測算，共有三種施工方案：①甲隊單獨完成這項工程，剛好如期完工；②乙隊單獨完成此項工程要比規(guī)定工期多用5天；③，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完工．某同學設規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出了方程：，則方案③中被墨水污染的部分應該是（　　）
A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的
【解答】解：∵某同學設規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出了方程：，
∴甲工作了4天，乙工作了x天，
即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完工，
∴可知在③應填入的內(nèi)容為：甲乙合作了4天，
故選：A．
9．（4分）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB＝2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（　?。?br />
A． B． C．2 D．2
【解答】解：過A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，
∴△ABC的面積為＝，
S扇形BAC＝＝π，
∴萊洛三角形的面積S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，
故選：D．
10．（4分）若點A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，且y1＞y2，則a的取值范圍是（　?。?br /> A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜﹣1或a＞1
【解答】解：∵k＜0，
∴在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，
①當點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
此不等式無解；
②當點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的兩支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故選：B．
二．填空題（共6小題，滿分20分）
11．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cosA的值是　　．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴cosA＝＝．
故答案為．
12．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延長BA至點D，則∠CAD的大小為　70°?。?br />
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠CAD＝∠B+∠C＝70°，
故答案為：70°．
13．（4分）已知，一次函數(shù)y＝x+5的圖象經(jīng)過點P（a，b）和Q（c，d），則a（c﹣d）﹣b（c﹣d）的值為　25?。?br /> 【解答】解：∵一次函數(shù)y＝x+5的圖象經(jīng)過點P（a，b）和Q（c，d），
∴點P（a，b）和Q（c，d）滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝x+5，
∴b＝a+5，d＝c+5，
∴a﹣b＝﹣5，c﹣d＝﹣5，
∴a（c﹣d）﹣b（c﹣d）＝（a﹣b）（c﹣d）＝（﹣5）×（﹣5）＝25．
故答案是：25．
14．（4分）如圖，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．則的值為　2?。?br />
【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴AB?DE＝16，
∵AB+DE＝10，
∴AB＝2，DE＝8，
∴，
故答案為：2．
15．（4分）觀察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7．請利用它們所蘊含的規(guī)律，求關于x的方程x+＝2n+5（n為正整數(shù)）的根，你的答案是　x＝n+4或x＝n+5　．
【解答】解：x+＝3，解得：x＝2或x＝1；
x+＝5，解得：x＝2或x＝3；
x+＝7，解得：x＝3或x＝4，
得到規(guī)律x+＝m+n的解為：x＝m或x＝n，
所求方程整理得：x﹣4+＝2n+1，
根據(jù)規(guī)律得：x﹣4＝n或x﹣4＝n+1，
解得：x＝n+4或x＝n+5．
故答案為：x＝n+4或x＝n+5
16．計算：（15y2﹣5y）÷5y＝　3y﹣1　．
【解答】解：原式＝15y2÷5y﹣5y÷5y
＝3y﹣1，
故答案為：3y﹣1．
三．解答題（共9小題，滿分86分）
17．（12分）（1）計算：（π﹣2020）0﹣+4sin45°﹣（）﹣1．
（2）解不等式組：，并把不等式組的解集表示在如圖的數(shù)軸上．

【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4×﹣2
＝1﹣2+2﹣2
＝﹣1；

（2），
解不等式①，得x≤2．
解不等式②，得x＞﹣3．
所以該不等式組的解集是﹣3＜x≤2．
表示在數(shù)軸上為：
．
18．（8分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°+1．
【解答】解：原式＝?＝，
∵a＝2sin60°+1，
∴a＝+1，
∴原式＝＝﹣．
19．（8分）如圖，四邊形ABCD中，點E在邊AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE，求證：∠CAD＝∠D．

【解答】證明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠D．
20．（8分）如圖，已知四邊形ABCD是矩形．
（1）請用直尺和圓規(guī)在邊AD上作點E，使得EB＝EC．（保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的長．

【解答】解：（1）如圖所示，點E即為所求；

（2）連接EB，EC，
由（1）知EB＝EC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝DE＝AD＝3，
在Rt△ABE中，EB＝＝＝5．
21．（8分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，關于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有兩個相等實根，且3c＝a+3b
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）求sinA+sinB的值．
【解答】解：（1）方程整理為（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，
根據(jù)題意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC為直角三角形；

（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b
∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，
∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，
∴4c＝5b，即b＝c，
∴a＝3c﹣3b＝c
∵sinA＝，sinB＝，
∴sinA+sinB＝＝＝．
22．（8分）對任意一個兩位數(shù)m，如果m等于兩個正整數(shù)的平方和，那么稱這個兩位數(shù)m為“平方和數(shù)”，若m＝a2+b2（a、b為正整數(shù)），記A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一個“平方和數(shù)”，則A（29）＝2×5＝10．
（1）判斷25是否是“平方和數(shù)”，若是，請計算A（25）的值；若不是，請說明理由；
（2）若k是一個“平方和數(shù)”，且A（k）＝，求k的值．
【解答】解：（1）25是“平方和數(shù)”．
∵25＝32+42，
∴A（25）＝3×4＝12；

（2）設k＝a2+b2，則A（k）＝ab，
∵A（k）＝，
∴ab＝，
∴2ab＝a2+b2﹣4，
∴a2﹣2ab+b2＝4，
∴（a﹣b）2＝4，
∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，
∵a、b為正整數(shù)，k為兩位數(shù)，
∴當a＝1，b＝3或a＝3，b＝1時，k＝10；
當a＝2，b＝4或a＝4，b＝2時，k＝20；
當a＝3，b＝5或a＝5，b＝3時，k＝34；
當a＝4，b＝6或a＝6，b＝4時，k＝52；
當a＝5，b＝7或a＝7，b＝5時，k＝74；
綜上，k的值為：10或20或34或52或74．
23．（11分）“世界那么大，我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡，騎自行車旅行越來越受到人們的喜愛，各種品牌的山地自行車相繼投放市場．順風車行經(jīng)營的A型車去年6月份銷售總額為3.2萬元，今年經(jīng)過改造升級后A型車每輛銷售價比去年增加400元，若今年6月份與去年6月份賣出的A型車數(shù)量相同，則今年6月份A型車銷售總額將比去年6月份銷售總額增加25%．
（1）求今年6月份A型車每輛銷售價多少元（用列方程的方法解答）；
（2）該車行計劃7月份新進一批A型車和B型車共50輛，且B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，應如何進貨才能使這批車獲利最多？
A、B兩種型號車的進貨和銷售價格如表：

A型車
B型車
進貨價格（元/輛）
1100
1400
銷售價格（元/輛）
今年的銷售價格
2400
【解答】解：（1）設去年A型車每輛x元，那么今年每輛（x+400）元，
根據(jù)題意得，
解之得x＝1600，
經(jīng)檢驗，x＝1600是方程的解．
答：今年A型車每輛2000元．
（2）設今年7月份進A型車m輛，則B型車（50﹣m）輛，獲得的總利潤為y元，
根據(jù)題意得50﹣m≤2m
解之得m≥，
∵50﹣m≥0，
∴m≤50，
∴16≤m≤50
∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，
∴y隨m 的增大而減小，
∴當m＝17時，可以獲得最大利潤．
答：進貨方案是A型車17輛，B型車33輛．
24．（11分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點E在對角線BD上，△ABE的外接圓交BC于點F．連接AF交BD于點G．
（1）求證：AF＝AE；
（2）若FH是該圓的切線，交線段CD于點H，且FH＝FG，求BF的長．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝90°，
∴＝，AF為直徑，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴AF＝AE；
（2）解：∵FH是該圓的切線，
∴AF⊥FH，
∴∠3+∠4＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠5＝∠4，
∴Rt△ABF∽Rt△FCH，
∴＝，
∵FH＝GF，
∴＝，
∵AD∥BF，
∴△ADG∽△FGB，
∴＝，
即＝+1，
∴＝+1，
而FC＝4﹣BF，
∴＝+1，
整理得BF2+4BF﹣16＝0，
解得BF＝﹣2+2或BF＝﹣2﹣2（舍去），
即BF的長為2﹣2．

25．（12分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，頂點為C，且△ABC為等腰直角三角形．
（1）當A（﹣1，0），B（3，0）時，求a的值；
（2）當b＝﹣2a，a＜0時．
①求該二次函數(shù)的解析式（用只含a的式子表示）；
②在﹣1≤x≤3范圍內(nèi)任取三個自變量x1，x2，x3，所對應的三個函數(shù)值分別為y1，y2，y3，若以為y1，y2，y3為長度的三條線段能圍成三角形，求a的取值范圍．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴拋物線對稱軸為直線x＝1，AB＝4，
設對稱軸交AC于點H，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CH＝2，
∴當拋物線開口向上時，點C坐標為（1，﹣2），
設y＝a（x﹣1）2﹣2，
把B（3，0）代入，可得a＝，
∴當拋物線開口向下時，點C坐標為（1，2），
設y＝a（x﹣1）2+2，
把B（3，0）代入，可得a＝﹣
∴a的值為或﹣；

（2）①當b＝﹣2a時，y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a
∴點C（1，c﹣a），
∴點B（1+c﹣a，0），
∴a（c﹣a）2+c﹣a＝0，
∴（c﹣a）（ac﹣a2+1）＝0，
∵c﹣a≠0，
∴ac﹣a2+1＝0，
∴c＝a﹣，
∴y＝a（x﹣1）2﹣，
②∵﹣1≤x≤3，a＜0，
∴當x＝﹣1或3時，y有最小值為4a﹣，
當x＝1時，y有最大值﹣，
若以y1，y2，y3為長度的三條線段能圍成三角形，
則2（4a﹣）＞﹣，
整理的8a2﹣1＜0，
∴﹣＜a＜0．

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