數(shù)學(xué)學(xué)科 試題
考生須知：
本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字；
所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；
考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（每題5分，共40分）
1．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是（ ）
A．B． C． D．
2．已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．B． C． D．
3．為迎接2022年杭州亞運(yùn)會(huì)，亞委會(huì)采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法從某高校報(bào)名的200名學(xué)生志愿者中抽取30人組成亞運(yùn)志愿小組，若30人中共有男生12人，則這200名學(xué)生志愿者中男生可能有（ ）人
A．18B．12 C．120 D．80
4．若向量，則（ ）
A． B． C．∥ D．
5．將棱長為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為（ ）
A． B． C． D．
6．設(shè)是兩個(gè)不同平面，是兩條直線，下列命題中正確的是（ ）
A．如果，，，那么∥
B．如果，，∥，那么
C．如果∥，，，那么∥
D．如果∥，與所成的角和與所成的角相等，那么∥
7．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件
C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件
8．在等腰梯形中，∥是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．
二、多選題（每題5分，少選得2分，多選或錯(cuò)選得0分，共20分）
9．給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（ ）
A．平均數(shù)為3B．標(biāo)準(zhǔn)差為
C．眾數(shù)為2和3D．85%分位數(shù)為4.5
10．拋擲三枚硬幣，設(shè)事件“第枚硬幣正面朝上”，．則（ ）
A．與互斥B．與相互獨(dú)立
C．D．
11．以下結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．的最小值為
C．若則
D．若則 （第12題圖）
12．如圖，三棱柱的各棱長均為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，為銳角，且側(cè)面底面，下列四個(gè)結(jié)
論正確的是（ ）
A．°B．
C．直線與平面所成的角為°D．
第II卷（非選擇題）
三、填空題（每題5分，共20分）
13．甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為則密碼被成功破譯的概率_________．
14．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.
15．若不等式對于一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
16．如圖，矩形中，，平面，若在線段上至少存在一個(gè)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是________.
（第16題圖）
C
D
E
B
P
A
四、解答題（第17題為10分，其余均為15分，共70分）
17．如圖：已知四棱錐中，平面，
四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，
求證：
（1）//平面；
（2）平面.
（第17題圖）
18．袋中有9個(gè)大小相同顏色不全相同的小球，分別為黑球?黃球?綠球，從中任意取一球，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，試求：
（1）袋中黑球?黃球?綠球的個(gè)數(shù)分別是多少？
（2）從所有黑球、黃球中任取兩個(gè)球，黑球與黃球各得一個(gè)得概率是多少？
（3）從中任取兩個(gè)球，得到的兩個(gè)球顏色不相同的概率是多少？
19．已知的內(nèi)角所對的邊分別是，且.
（1）求角的大??；
（2）若且的面積，求
20. 已知定義在上的函數(shù).
（1）求的值，并判斷的奇偶性（要有過程）；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21．在三棱柱中，，，，平面，是的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（第21題圖）


參考答案
單選題
8．C
【詳解】
解：如圖，以為原點(diǎn)，射線為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則由題意可得，設(shè)，其，
則，
所以，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值， 故選：C
多選題
13．ACD【詳解】
如圖，過作，為垂足，連結(jié)，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系
對于A選項(xiàng)，側(cè)棱與底面所成角為，為銳角，
且側(cè)面底面，，又三棱柱的各棱長相等，可知四邊形為菱形，，
故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，易知
，故B選項(xiàng)不正確；
對于C選項(xiàng)，由題意可知即為與平面所成的角，
，，故C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，，
因此，故D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
三、填空題
13． 14．2 15． 16．
四、解答題
17．（1）證明見解析（2）證明見解析
【分析】
（1）連BD，與AC交于O，利用三角形的中位線，可得線線平行，從而可得線面平行；
（2）先證明，，從而可證BC⊥平面PCD
【詳解】
（1）連，與交于，連接
∵是正方形，∴是的中點(diǎn)，
∵是的中點(diǎn)，∴
又∵平面，平面
∴平面； 5分
（2）∵平面，平面∴
∵是正方形，∴又∵
∴平面 5分
18．（1）黑球?黃球?綠球的分別有3、2、4個(gè)； 5分（對1個(gè)2分，對2個(gè)5分）
（2）0.6 5分
（3）. 5分
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理結(jié)合輔助角公式得出角A的大小；
（2）利用面積公式以及余弦定理，解出的值．
【詳解】
（1）因?yàn)?，由正弦定理得?br> 2分
所以
得 5分
因
故 7分
（2） 9分
得
12分
所以 15分
20．（1）， 為奇函數(shù)， 7分
（2）由，得，
因?yàn)椋裕?br>所以．
令，則，此時(shí)不等式可化為，
記，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，和均為減函數(shù)，
所以為減函數(shù)，故，
因?yàn)楹愠闪?，所以? 15分
21．（1）證明見解析；（2）.
【詳解】
（1）由平面，平面，得， 2分
又，，故平面， 4分
平面，故平面平面. 6分
（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，， 8分
又，，
故，，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，則， ， 11分
設(shè)直線與平面所成的角為，
故， 15分
即直線與平面所成角的正弦值為.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
D
A
C
A
C
題號
9
10
11
12
答案
AC
BCD
AC
ACD

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