2021年廣西來(lái)賓市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．）1. 下列實(shí)數(shù)是無(wú)理數(shù)的是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的三種形式求解即可．【詳解】解：1，0，-5是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握無(wú)理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)．2. 下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（  ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由中心對(duì)稱圖形的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的概念，關(guān)鍵是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．3. 2020年2月至5月，由廣西教育廳主辦，南寧市教育局承辦的廣西中小學(xué)“空中課堂”是同期全國(guó)服務(wù)中小學(xué)學(xué)科最齊、學(xué)段最全、上線最早的線上學(xué)習(xí)課程，深受廣大師生歡迎.其中某節(jié)數(shù)學(xué)課的點(diǎn)擊觀看次數(shù)約次，則數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4. 下列運(yùn)算正確的是（　　）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故答案選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．5. 以下調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查的是（  ）A. 檢測(cè)長(zhǎng)征運(yùn)載火箭的零部件質(zhì)量情況 B. 了解全國(guó)中小學(xué)生課外閱讀情況C. 調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力 D. 檢測(cè)某城市的空氣質(zhì)量【答案】A【解析】【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似解答即可．【詳解】A.檢測(cè)長(zhǎng)征運(yùn)載火箭的零部件質(zhì)量情況,必須全面調(diào)查才能得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)；    B了解全國(guó)中小學(xué)生課外閱讀情況，量比較大，用抽樣調(diào)查；C.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力，具有破壞性，用抽樣調(diào)查；    D.檢測(cè)某城市的空氣質(zhì)量，不可能全面調(diào)查，用抽樣調(diào)查.【點(diǎn)睛】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對(duì)象的特征靈活選用，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．6. 一元二次方程的根的情況是（  ）A. 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C. 無(wú)實(shí)數(shù)根 D. 無(wú)法確定【答案】B【解析】【分析】求出其根的判別式，然后根據(jù)根的判別式的正負(fù)情況即可作出判斷．【詳解】∵，，，
∴，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程（）的根的判別式：當(dāng)＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．7. 如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的度數(shù)為（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCA，進(jìn)而求得∠ACD，由作圖痕跡可知CE為∠ACD的平分線，利用角平分線定義求解即可．【詳解】∵在中，，∴，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作圖痕跡可知CE為∠ACD的平分線，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義和作法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的尺規(guī)作圖法是解答的關(guān)鍵．8. 一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都隨機(jī)選擇一條路徑，則它獲得食物的概率是（  ）
 A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)的選擇一條路徑，觀察圖可得：它有6種路徑，且獲得食物的有2種路徑，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】∵一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)的選擇一條路徑，∴它有6種路徑，∵獲得食物的有2種路徑，∴獲得食物的概率是：，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9. 如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線的比等于相似比即可求得．【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形，∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．設(shè)AN=x，則EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20
所以，AN=20．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形以及相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．10. 甲、乙兩地相距，提速前動(dòng)車的速度為，提速后動(dòng)車的速度是提速前的倍，提速后行車時(shí)間比提速前減少，則可列方程為（  ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】行駛路程都是600千米；提速前后行駛時(shí)間分別是：；因?yàn)樘崴俸笮熊嚂r(shí)間比提速前減少，所以，提速前的時(shí)間-提速后的時(shí)間=．【詳解】根據(jù)提速前的時(shí)間-提速后的時(shí)間=，可得即故選：A【點(diǎn)睛】應(yīng)用題中一般有三個(gè)量，求一個(gè)量，明顯的有一個(gè)量，一定是根據(jù)另一量來(lái)列等量關(guān)系的．本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11. 《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫(讀，門檻的意思)一尺，不合二寸，問(wèn)門廣幾何？題目大意是：如圖1、2(圖2為圖1的平面示意圖)，推開雙門，雙門間隙的距離為寸，點(diǎn)和點(diǎn)距離門檻都為尺(尺寸)，則的長(zhǎng)是（  ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸【答案】C【解析】【分析】畫出直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)OA=OB=AD=BC=，過(guò)D作DE⊥AB于E，
則DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故門的寬度（兩扇門的和）AB為101寸．
故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．12. 如圖，點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)分別作軸的平行線交雙曲線于點(diǎn)．若，則的值為（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，根據(jù)AC=BD即可得到a，b的關(guān)系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子從而求解．【詳解】∵點(diǎn)A、B在直線上，點(diǎn)C、D在雙曲線上，∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，∴BD=，AC=，∵AC=BD，∴，兩邊同時(shí)平方，得，整理得：，由勾股定理知：，，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，正確利用AC=BD得到的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）13. 如圖，在數(shù)軸上表示的x的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“小于向左，大于向右及邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)”求解可得．【詳解】解：在數(shù)軸上表示的x的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．14. 計(jì)算：____．【答案】【解析】【詳解】15. 某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績(jī)記錄如下：射擊次數(shù)“射中環(huán)以上”的次數(shù)“射中環(huán)以上”頻率(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中9環(huán)以上”的概率是_______(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)．【答案】0.8【解析】【分析】根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果穩(wěn)定在0.8左右即可得出結(jié)論．【詳解】∵從頻率的波動(dòng)情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.8附近，
∴這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中9環(huán)以上”的概率大約是0.8．
故答案為：0.8．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．16. 如圖，某校禮堂的座位分為四個(gè)區(qū)域，前區(qū)共有排， 其中第排共有個(gè)座位(含左、右區(qū)域)，往后每排增加兩個(gè)座位，前區(qū)最后一排與后區(qū)各排的座位數(shù)相同，后區(qū)一共有排，則該禮堂的座位總數(shù)是_____．【答案】556個(gè)【解析】【分析】先計(jì)算前區(qū)共有多少個(gè)座位和前區(qū)最后一排有多少個(gè)座位，再計(jì)算后區(qū)一共有多少個(gè)座位即可得解．【詳解】∵前區(qū)共有排， 其中第排共有個(gè)座位(含左、右區(qū)域)，往后每排增加兩個(gè)座位，∴前區(qū)共有座位數(shù)為：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+??+(20+7×2)=8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2=216(個(gè))；∵前區(qū)最后一排的座位數(shù)為：20+7×2=34，∴后區(qū)的座位數(shù)為：34×10=340（個(gè)）因此，該禮堂的座位總數(shù)是216+340=556（個(gè)）故答案為：556個(gè)．【點(diǎn)睛】此題考查了找規(guī)律，根據(jù)題干得出每一排座位的個(gè)數(shù)排列規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．17. 以原點(diǎn)為中心，把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出N點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：M點(diǎn)橫坐標(biāo)等于N點(diǎn)縱坐標(biāo)的值，M點(diǎn)縱坐標(biāo)的值等于N點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，又∵M（3，4），∴N（-4，3），故答案為：（-4，3）．【點(diǎn)睛】此題考查有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ，結(jié)合坐標(biāo)軸和旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)確定坐標(biāo)即可．18. 如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且與交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意證得，推出∠BPE =60，∠BPD =120，得到C、B、P、D四點(diǎn)共圓，知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】連接BD，∵菱形中，，∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，∴△ABD和△CBD都為等邊三角形，∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，∵DF=AE，∴，∴∠DBF=∠ADE，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60，∴∠BPD=180-∠BPE=120，∵∠C=60，∴∠C+∠BPD =180，∴C、B、P、D四點(diǎn)共圓，即⊙O是的外接圓，∴當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，∴∠BOD =2∠BCD =120，作OG⊥BD于G，根據(jù)垂徑定理得：BG=GD=BD=，∠BOG =∠BOD =60，∵，即，∴，從而點(diǎn)的路徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)準(zhǔn)確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）19. 計(jì)算：．【答案】-5【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．20. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】先用異分母加法法則計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，化簡(jiǎn)化把x的值代入求值．【詳解】，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．21. 如圖，點(diǎn)在一條直線上，．（1）求證：；（2）連接，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】（1）先證明，再利用SSS證明；（2）根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形是平行四邊形即可．【詳解】證明：即證明：四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22. 小手拉大手，共創(chuàng)文明城.某校為了了解家長(zhǎng)對(duì)南寧市創(chuàng)建全國(guó)文明城市相關(guān)知識(shí)的知曉情況，通過(guò)發(fā)放問(wèn)卷進(jìn)行測(cè)評(píng)，從中隨機(jī)抽取份答卷，并統(tǒng)計(jì)成績(jī)(成績(jī)得分用表示，單位：分)，收集數(shù)據(jù)如下：整理數(shù)據(jù)：分析數(shù)據(jù)：平均分中位數(shù)眾數(shù)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）直接寫出上述表格中的值；（2）該校有名家長(zhǎng)參加了此次問(wèn)卷測(cè)評(píng)活動(dòng)，請(qǐng)估計(jì)成績(jī)不低于分的人數(shù)是多少？（3）請(qǐng)從中位數(shù)和眾數(shù)中選擇一個(gè)量， 結(jié)合本題解釋它的意義．【答案】（1）5；91；100  （2）1040人  （3）中位數(shù)：在統(tǒng)計(jì)的問(wèn)卷的成績(jī)中，最中間的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)是91分；眾數(shù)：在統(tǒng)計(jì)的問(wèn)卷的成績(jī)中，得分的人數(shù)最多【解析】【分析】（1）用總?cè)藬?shù)減去已知人數(shù)即可得到a值；將這20個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，第10和11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為人數(shù)；（2）先求出樣本中不低于90分的人數(shù)所占樣本的百分比，再乘以1600即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的意義進(jìn)行回答即可．【詳解】（1）a=20-3-4-8=5；將這組數(shù)據(jù)按大小順序排列為：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，其中第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)分別是90，92，所以，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)b=；100出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以，眾數(shù)c是100；（2），  (人)（3）中位數(shù)：在統(tǒng)計(jì)的問(wèn)卷的成績(jī)中，最中間的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)是91分；眾數(shù)：在統(tǒng)計(jì)的問(wèn)卷的成績(jī)中，得分的人數(shù)最多.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的正確應(yīng)用，熟練掌握定義和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．23. 如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向，距離小島的點(diǎn)處，它沿著點(diǎn)的南偏東的方向航行．（1）漁船航行多遠(yuǎn)距離小島最近(結(jié)果保留根號(hào))？（2）漁船到達(dá)距離小島最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行到點(diǎn)處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少(結(jié)果保留根號(hào))？【答案】（1）；（2）南偏東；【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則AD為所求，根據(jù)已知條件得到∠BAD=45°即可解答；（2）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值得到∠C=30°，∠DBC=60°，從而求出BC的長(zhǎng)度，再求出∠DBE的度數(shù)，即可得到∠EBC的度數(shù)．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，∵垂線段最短，上的點(diǎn)距離點(diǎn)最近，即為所求，由題意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，∴，∴漁船航行時(shí)，距離小島最近．（2）在中，，∠DBC=60°，∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴，.答：從處沿南偏東出發(fā)，最短行程.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問(wèn)題，結(jié)合航海中的實(shí)際問(wèn)題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．24. 倡導(dǎo)垃圾分類，共享綠色生活.為了對(duì)回收的垃圾進(jìn)行更精準(zhǔn)的分類，某機(jī)器人公司研發(fā)出型和型兩款垃圾分揀機(jī)器人，已知臺(tái)型機(jī)器人和臺(tái)型機(jī)器人同時(shí)工作共分揀垃圾噸，臺(tái)型機(jī)器人和臺(tái)型機(jī)器人同時(shí)工作共分揀垃圾噸．（1）1臺(tái)型機(jī)器人和臺(tái)型機(jī)器人每小時(shí)各分揀垃圾多少噸？（2）某垃圾處理廠計(jì)劃向機(jī)器人公司購(gòu)進(jìn)一批型和型垃圾分揀機(jī)器人，這批機(jī)器人每小時(shí)一共能分揀垃圾噸.設(shè)購(gòu)買型機(jī)器人臺(tái)，型機(jī)器人臺(tái)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示；（3）機(jī)器人公司的報(bào)價(jià)如下表：型號(hào)原價(jià)購(gòu)買數(shù)量少于臺(tái)購(gòu)買數(shù)量不少于臺(tái)型萬(wàn)元/臺(tái)原價(jià)購(gòu)買打九折型萬(wàn)元/臺(tái)原價(jià)購(gòu)買打八折在的條件下，設(shè)購(gòu)買總費(fèi)用為萬(wàn)元，問(wèn)如何購(gòu)買使得總費(fèi)用最少？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）0.4噸；0.2噸；（2）；（3）購(gòu)買A型35臺(tái)，B型30臺(tái)費(fèi)用最少，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)臺(tái)每小時(shí)分揀噸，臺(tái)每小時(shí)分揀噸，依題意得：，解方程組可得；（2）根據(jù)“每小時(shí)一共能分揀垃圾噸”可得，從而求解；（3）根據(jù)題可得函數(shù)：，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】解：設(shè)臺(tái)每小時(shí)分揀噸，臺(tái)每小時(shí)分揀噸，依題意得：解得依題意得： ∴b=-2a+100（3）結(jié)合（2），當(dāng)10≤a<30時(shí)，b=100-2a∴40＜b≤80,此時(shí)，當(dāng)a≥30且100-2a≥30時(shí)，30≤a≤35此時(shí)，30≤a≤45,100-2a<30時(shí)，35<a≤45此時(shí)，即：因?yàn)?/span>與是一次函數(shù)的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，取，函數(shù)值最小是：當(dāng)時(shí)，取，函數(shù)值最小是：當(dāng)時(shí)，取，函數(shù)值最小是：當(dāng)時(shí)，b=100-2a=30綜上，購(gòu)買A型35臺(tái)，B型30臺(tái)費(fèi)用最少答：購(gòu)買A型35臺(tái)，B型30臺(tái)費(fèi)用最少【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)應(yīng)用，理解題意，列出方程組和一次函數(shù)是關(guān)鍵，要注意熟記一次函數(shù)的性質(zhì).25. 如圖，在中，以為直徑的交于點(diǎn)連接且連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與相切于點(diǎn)．（1）求證：是的切線：（2）連接交于點(diǎn)，求證：；（3）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）證明即可得到結(jié)論；（2）連接OB，由切線長(zhǎng)定理可得PA=PB，根據(jù)SSS即可證明，進(jìn)一步得到，，從而可證明；（3）由可設(shè)，得到，根據(jù)得列式，最后進(jìn)行求解即可．【詳解】證明：直徑又為的切線連為圓的切線又弧弧又在中，設(shè)：， 故且即．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握切線的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．26. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接.設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）關(guān)于的函數(shù)解析式為其圖象如圖2所示，結(jié)合圖1、2的信息，求出與的值；（3）在上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1） （2）； （3）存在，見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AB的解析式，然后和直線進(jìn)行聯(lián)立即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將，代入，可求出b的值，由題可知，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，通過(guò)求出s，然后由即可求出a的值；（3）若為的直角頂點(diǎn)，則，可求出AC的長(zhǎng)度，從而得到結(jié)果；若為的直角頂點(diǎn)，過(guò)作垂線交于，，則，在中，由勾股定理可求出t，從而得到結(jié)果．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∵直線，，∴可設(shè)直線AB的解析式為，將代入，得，∴直線AB的解析式為，聯(lián)立得，∴ ；依題有，當(dāng)時(shí)， 故得當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，則代入得，解得若為的直角頂點(diǎn)，則此時(shí)的方程為，令得，此時(shí)若為的直角頂點(diǎn)，過(guò)作垂線交于 則在中，由勾股定理得即解得：或此時(shí)或；或當(dāng)為的直角頂點(diǎn)，此種情況不存在，當(dāng)在上方時(shí)為銳角，當(dāng)在下方時(shí)，為鈍角，故不存在．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)和幾何綜合問(wèn)題，題目較難，明確題意，注意分類討論的思想是解題的關(guān)鍵． 

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