最值問(wèn)題的基本解法有幾何法和代數(shù)法：幾何法是根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系、平面幾何和解析幾何知識(shí)加以解決的(如拋物線上的點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離之和、光線反射問(wèn)題等)；代數(shù)法是建立求解目標(biāo)關(guān)于某個(gè)或兩個(gè)變量的函數(shù)，通過(guò)求解函數(shù)的最值普通方法、基本不等式方法、導(dǎo)數(shù)方法等解決的．
【例題選講】
[例1] 定圓M：(x＋eq \r(3))2＋y2＝16，動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F(eq \r(3)，0)且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E．
(1)求軌跡E的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A，B，C在E上運(yùn)動(dòng)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且|AC|＝|BC|，當(dāng)△ABC的面積最小時(shí)，求直線AB的方程．
[規(guī)范解答] (1)∵F(eq \r(3)，0)在圓M：(x＋eq \r(3))2＋y2＝16內(nèi)，∴圓N內(nèi)切于圓M．
∵|NM|＋|NF|＝4>|FM|，∴點(diǎn)N的軌跡E為橢圓，且2a＝4，c＝eq \r(3)，∴b＝1，
∴軌跡E的方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)①當(dāng)AB為長(zhǎng)軸(或短軸)時(shí)，S△ABC＝eq \f(1,2)|OC|·|AB|＝2．
②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx，A(xA，yA)，
由題意，C在線段AB的中垂線上，則OC的方程為y＝－eq \f(1,k)x．
聯(lián)立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx))得，xeq \\al(2,A)＝eq \f(4,1＋4k2)，yeq \\al(2,A)＝eq \f(4k2,1＋4k2)，∴|OA|2＝xeq \\al(2,A)＋yeq \\al(2,A)＝eq \f(4(1＋k2),1＋4k2)．
將上式中的k替換為－eq \f(1,k)，可得|OC|2＝eq \f(4(1＋k2),k2＋4)．
∴S△ABC＝2S△AOC＝|OA|·|OC|＝eq \r(\f(4(1＋k2),1＋4k2))·eq \r(\f(4(1＋k2),k2＋4))＝eq \f(4(1＋k2),\r((1＋4k2)(k2＋4)))．
∵eq \r((1＋4k2)(k2＋4))≤eq \f((1＋4k2)＋(k2＋4),2)＝eq \f(5(1＋k2),2)，
∴S△ABC≥eq \f(8,5)，當(dāng)且僅當(dāng)1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)△ABC面積的最小值是eq \f(8,5)．∵2>eq \f(8,5)，
∴△ABC面積的最小值是eq \f(8,5)，此時(shí)直線AB的方程為y＝x或y＝－x．
[例2] 已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P在橢圓上(異于橢圓C的左、右頂點(diǎn))，過(guò)右焦點(diǎn)F2作∠F1PF2的外角平分線L的垂線F2Q，交L于點(diǎn)Q，且|OQ|＝2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的平行四邊形的面積為4eq \r(3)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l：x＝my＋4(m∈R)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，直線A′B交x軸于點(diǎn)D，求當(dāng)△ADB的面積最大時(shí)，直線l的方程．
[規(guī)范解答] (1)由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的平行四邊形的面積為4×eq \f(1,2)ab＝4eq \r(3)，得ab＝2eq \r(3)．
延長(zhǎng)F2Q交直線F1P于點(diǎn)R，因?yàn)镕2Q為∠F1PF2的外角平分線的垂線，
所以|PF2|＝|PR|，Q為F2R的中點(diǎn)，所以|OQ|＝eq \f(|F1R|,2)＝eq \f(|F1P|＋|PR|,2)＝eq \f(|F1P|＋|PF2|,2)＝a，
所以a＝2，b＝eq \r(3)，所以橢圓C的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋4，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去x，得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，
所以Δ＝(24m)2－4×36×(3m2＋4)＝144(m2－4)>0，即m2>4．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A′(x1，－y1)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1＋y2＝eq \f(－24m,3m2＋4)，y1y2＝eq \f(36,3m2＋4)，
直線A′B的斜率k＝eq \f(y2－?－y1?,x2－x1)＝eq \f(y2＋y1,x2－x1)，所以直線A′B的方程為y＋y1＝eq \f(y1＋y2,x2－x1)(x－x1)，
令y＝0，得xD＝eq \f(x1y2＋x2y1,y1＋y2)＝eq \f(?my1＋4?y2＋y1?my2＋4?,y1＋y2)＝eq \f(2my1y2,y1＋y2)＋4，
故xD＝1，所以點(diǎn)D到直線l的距離d＝eq \f(3,\r(1＋m2))，
所以S△ADB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(3,2)eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)＝18·eq \f(\r(m2－4),3m2＋4)．令t＝eq \r(m2－4)(t>0)，
則S△ADB＝18·eq \f(t,3t2＋16)＝eq \f(18,3t＋\f(16,t))≤eq \f(18,2\r(3×16))＝eq \f(3\r(3),4)，
當(dāng)且僅當(dāng)3t＝eq \f(16,t)，即t2＝eq \f(16,3)＝m2－4，即m2＝eq \f(28,3)>4，m＝±eq \f(2\r(21),3)時(shí)，△ADB的面積最大，
所以直線l的方程為3x＋2eq \r(21)y－12＝0或3x－2eq \r(21)y－12＝0．
[例3] 已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點(diǎn)M(0，1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線的交點(diǎn)為N．
(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；
(2)若△ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程．
[規(guī)范解答] 設(shè)直線AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2－2pkx－2p＝0，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p．①
(1)由x2＝2py得y′＝eq \f (x,p)，則A，B處的切線斜率的乘積為eq \f (x1x2,p2)＝－eq \f (2,p)，
∵點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上，∴AN⊥BN，∴－eq \f (2,p)＝－1，∴p＝2．
(2)易得直線AN：y－y1＝eq \f (x1,p)(x－x1)，直線BN：y－y2＝eq \f (x2,p)(x－x2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y1＝\f (x1,p)(x－x1)，,y－y2＝\f (x2,p)(x－x2)，))結(jié)合①式，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1)．
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋k2)·eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4p2k2＋8p)，
點(diǎn)N到直線AB的距離d＝eq \f (|pk2＋2|,\r(1＋k2))，
則S△ABN＝eq \f (1,2)·|AB|·d＝eq \r(p(pk2＋2)3)≥2eq \r(2p)，當(dāng)k＝0時(shí)，取等號(hào)，
∵△ABN的面積的最小值為4，∴2eq \r(2p)＝4，∴p＝2，故拋物線C的方程為x2＝4y．
[例4] (如圖，設(shè)橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為D，離心率為eq \f(\r(6),3)，且eq \(DF1,\s\up6(→))·eq \(DF2,\s\up6(→))＝－2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)E是x軸正半軸上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E任作直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，如果eq \f(1,|EA|2)＋eq \f(1,|EB|2)是定值，試確定點(diǎn)E的位置，并求S△DAE·S△DBE的最大值．
[規(guī)范解答] (1)由題意知，D(0，b)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，由e＝eq \f(\r(6),3)，得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，由eq \(DF1,\s\up6(→))·eq \(DF2,\s\up6(→))＝－2，
得－c2＋b2＝－2，又a2＝b2＋c2，∴a＝eq \r(6)，b＝eq \r(2)，c＝2．∴橢圓C的方程為eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1．
(2)當(dāng)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)AB的方程為x＝ty＋m，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3y2＝6，,x＝ty＋m，))消去x，得
∴(t2＋3)y2＋2tmy＋m2－6＝0，Δ＝4t2m2－4(m2－6)(t2＋3)＝4(6t2＋18－3m2)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝－eq \f(2tm,t2＋3)， y1y2＝eq \f(m2－6,t2＋3)，
∴eq \f(1,|EA|2)＋eq \f(1,|EB|2)＝eq \f(1,1＋t2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y\\al(2,1))＋\f(1,y\\al(2,2))))＝eq \f(1,1＋t2)·eq \f(?y1＋y2?2－2y1y2,?y1y2?2)＝eq \f(?2m2＋12?t2－6?m2－6?,?m2－6?2?1＋t2?)，
∴m＝eq \r(3)，它滿足Δ>0，∴E(eq \r(3)，0)，eq \f(1,|EA|2)＋eq \f(1,|EB|2)為定值2．
當(dāng)E為(eq \r(3)，0)，l：y＝0時(shí)，滿足eq \f(1,|EA|2)＋eq \f(1,|EB|2)＝2，
此時(shí)S△DAE·S△DBE＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×(eq \r(6)－eq \r(3))×eq \f(1,2)×eq \r(2)×(eq \r(6)＋eq \r(3))＝eq \f(3,2)．
當(dāng)l的斜率不為0時(shí)，y1＋y2＝－eq \f(2\r(3)t,t2＋3)，y1y2＝－eq \f(3,t2＋3)，
由D到AB的距離d＝eq \f(|\r(2)t＋\r(3)|,\r(1＋t2))，|AE|＝eq \r(1＋t2)|y1|，|BE|＝eq \r(1＋t2)|y2|，
得S△DAE·S△DBE＝eq \f(1,2)d·|AE|·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)·d·|BE|))＝eq \f(3?\r(2)t＋\r(3)?2,4(t2＋3))．
令u＝eq \r(2)t＋eq \r(3)，則t＝eq \f(u－\r(3),\r(2))，則S△DAE·S△DBE＝eq \f(3,2)×eq \f(u2,u2－2\r(3)u＋9)＝eq \f(3,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,u2)－\f(2\r(3),u)＋1)))＝eq \f(3,2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,u)－\f(\r(3),9)))2＋\f(2,3))))≤eq \f(9,4)，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(1,u)＝eq \f(\r(3),9)，即u＝3eq \r(3)，t＝eq \r(6)時(shí)，等號(hào)成立．故(S△DAE·S△DBE)max＝eq \f(9,4)．
[例5] 已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別與x軸交于點(diǎn)M，N．
(1)求證：AM⊥MF；
(2)記△AFM和△BFN的面積分別為S1和S2，求S1·S2的最小值．
[規(guī)范解答] (1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1＝eq \f(x\\al(2,1),4)，y2＝eq \f(x\\al(2,2),4)．
由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可知，拋物線C在點(diǎn)A處的切線l1的斜率k1＝eq \f(x1,2)，
則切線l1的方程為y－y1＝eq \f(x1,2)(x－x1)，令y＝0，可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)，0))．因?yàn)镕(0，1)，
所以直線MF的斜率kMF＝eq \f(1－0,0－\f(x1,2))＝－eq \f(2,x1)．所以k1·kMF＝－1，所以AM⊥MF．
(2)由(1)可知S1＝eq \f(1,2)|AM|·|MF|，
其中|AM|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(x1,2)))2＋y\\al(2,1)) ＝eq \r(\f(x\\al(2,1),4)＋y\\al(2,1))＝eq \r(y1＋y\\al(2,1))＝eq \r(y1)·eq \r(1＋y1)，|MF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)))2＋1)＝eq \r(y1＋1)，
所以S1＝eq \f(1,2)|AM|·|MF|＝eq \f(1,2)(y1＋1)eq \r(y1)．同理可得S2＝eq \f(1,2)(y2＋1)eq \r(y2)．
所以S1·S2＝eq \f(1,4)(y1＋1)(y2＋1)eq \r(y1y2)＝eq \f(1,4)(y1y2＋y1＋y2＋1)eq \r(y1y2)．
設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))可得x2－4kx－4＝0，
所以x1x2＝－4，所以y1y2＝eq \f(?x1x2?2,16)＝1．所以S1·S2＝eq \f(1,4)(y1＋y2＋2)≥eq \f(1,4)(2eq \r(y1y2)＋2)＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，等號(hào)成立．所以S1·S2的最小值為1．
[例6] (2019·浙江)如圖，已知點(diǎn)F(1，0)為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記△AFG，△CQG的面積分別為S1，S2．
(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；
(2)求eq \f(S1,S2)的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．
[規(guī)范解答] (1)由題意得eq \f(p,2)＝1，即p＝2．所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1．
(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，則xA＝t2．
由于直線AB過(guò)F，故直線AB的方程為x＝eq \f(t2－1,2t)y＋1，
代入y2＝4x，得y2－eq \f(2(t2－1),t)y－4＝0，故2tyB＝－4，即yB＝－eq \f(2,t)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t2)，－\f(2,t)))．
又xG＝eq \f(1,3)(xA＋xB＋xC)，yG＝eq \f(1,3)(yA＋yB＋yC)及重心G在x軸上，得2t－eq \f(2,t)＋yC＝0，
得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－t))2，2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－t))))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2t4－2t2＋2,3t2)，0))．
所以直線AC的方程為y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1，0)．
由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故t2>2．從而
eq \f(S1,S2)＝eq \f(\f(1,2)|FG|·|yA|,\f(1,2)|QG|·|yC|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2t4－2t2＋2,3t2)－1))·|2t|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(t2－1－\f(2t4－2t2＋2,3t2)))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,t)－2t)))＝eq \f(2t4－t2,t4－1)＝2－eq \f(t2－2,t4－1)．
令m＝t2－2，則m>0，eq \f(S1,S2)＝2－eq \f(m,m2＋4m＋3)＝2－eq \f(1,m＋\f(3,m)＋4)≥2－eq \f(1,2\r(m·\f(3,m))＋4)＝1＋eq \f(\r(3),2)．
當(dāng)m＝eq \r(3)時(shí)，eq \f(S1,S2)取得最小值1＋eq \f(\r(3),2)，此時(shí)G(2，0)．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
1．(2014·全國(guó)Ⅰ)已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(\r(3),2)，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直
線AF的斜率為eq \f(2\r(3),3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．
2．若橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2＝2bx的焦點(diǎn)F分成了3∶
1的兩段．
(1)求橢圓的離心率；
(2)過(guò)點(diǎn)C(－1，0)的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A，B，且eq \(AC,\s\up7(→))＝2eq \(CB,\s\up7(→))，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l的方程．
3．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq \f(\r(6),3)，且過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(6),3)))．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)與圓O：x2＋y2＝eq \f(3,4)相切的直線l交橢圓C與A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值，及取得最大值時(shí)直線l的方程．
4．已知橢圓M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1(a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(－1，0)，左、右頂點(diǎn)分別為A，B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l
與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；
(2)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
5．已知離心率為eq \f(\r(3),2)的橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，與坐標(biāo)軸不平行的直線l與橢圓C交于
A，B兩點(diǎn)，其中M為A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，N(0，eq \r(2))，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)分別記△PAO，△PBO的面積為S1，S2，當(dāng)M，N，B三點(diǎn)共線時(shí)，求S1·S2的最大值．
6．已知焦點(diǎn)為F的拋物線C1：x2＝2py(p＞0)，圓C2：x2＋y2＝1，直線l與拋物線相切于點(diǎn)P，與圓相切
于點(diǎn)Q．
(1)當(dāng)直線l的方程為x－y－eq \r(2)＝0時(shí)，求拋物線C1的方程；
(2)記S1，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求eq \f(S1,S2)的最小值．

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