第四講　隨機(jī)事件的概率
1 知識(shí)梳理·雙基自測(cè)
2 考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究
3 名師講壇·素養(yǎng)提升
知識(shí)點(diǎn)一　隨機(jī)事件和確定事件(1)在條件S下，______________的事件，叫做相對(duì)于條件S的必然事件，簡(jiǎn)稱必然事件．(2)在條件S下，______________的事件，叫做相對(duì)于條件S的不可能事件，簡(jiǎn)稱不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件，簡(jiǎn)稱確定事件．(4)在條件S下，________________________的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱隨機(jī)事件．
可能發(fā)生也可能不發(fā)生　
知識(shí)點(diǎn)三　互斥事件與對(duì)立事件事件的關(guān)系與運(yùn)算
當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生　
A∪B　(或A＋B)　
當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B　
概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：________________．(2)必然事件的概率：P(A)＝_____．(3)不可能事件的概率：P(A)＝_____．(4)概率的加法公式：若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝____________．(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝_____，P(A)＝__________．
題組一　走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　)(2)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　　)(3)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都得發(fā)生．(　　)(4)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能的．(　　)(5)對(duì)立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是對(duì)立事件．(　　)
題組二　走進(jìn)教材2．(P121T4)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是(　　)A．至多有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都不中靶[解析]　“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都不中靶”．故選D．
3．(P133T4)同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為______．
題組三　走向高考4．(2018·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　)A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7[解析]　設(shè)事件A為“不用現(xiàn)金支付”，事件B為“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”，事件C為“只用現(xiàn)金支付”，則P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故選B．
　　　　(1)(2020·遼寧六校協(xié)作體期中)從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是(　　)A．“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B．“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C．“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D．“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”
(2)(2021·中山模擬)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)．上述事件中，是對(duì)立事件的是(　　)A．①B．②④C．③D．①③
(3)設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對(duì)立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
[解析]　(1)對(duì)于選項(xiàng)A，“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的，而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球，或者2個(gè)都是白球，二者不是互斥事件，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球，與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球，或者2個(gè)都是紅球，與“都是紅球”不是互斥事件，不符合題意．故選C．
(2)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有3種情況：一奇一偶，2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)．其中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包含一奇一偶或2個(gè)奇數(shù)這兩種情況，它與兩個(gè)都是偶數(shù)是對(duì)立事件．又①中的事件可以同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故選C．
(1)準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，既有且僅有一個(gè)發(fā)生．(2)判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
〔變式訓(xùn)練1〕(2021·寧夏檢測(cè))抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“至少有2件次品”，則事件A的對(duì)立事件為(　　)A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品[解析]　∵“至少有n個(gè)”的反面是“至多有n－1個(gè)”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的對(duì)立事件為“至多有1件次品”．
角度1　頻率與概率　　　　(2018·北京高考)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：
好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．
(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；(2)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率；(3)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化．假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化．那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)
概率和頻率的關(guān)系概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．
(2)(2021·吉林模擬)某超市隨機(jī)選取1 000位顧客，記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購(gòu)買，“×”表示未購(gòu)買．
①估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率；②估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率；③如果顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？
　　　　(1)某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得．1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C．求：①P(A)，P(B)，P(C)；②1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；③1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．
〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2020·西安二模)2021年某省新高考將實(shí)行“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．某同學(xué)已選了物理，記事件A：“他選擇政治和地理”，事件B：“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件B (　　)A．是互斥事件，不是對(duì)立事件B．是對(duì)立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是對(duì)立事件D．既不是互斥事件也不是對(duì)立事件
(2)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3．則該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種的概率為________；該地1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為________．
[解析]　(1)2021年某省新高考將實(shí)行“3 ＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．某同學(xué)已選了物理，記事件A：“他選擇政治和地理”，事件B：“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故事件A和B是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故A正確．故選A．
(2)記A表示事件：該車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)；B表示事件：該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)；C表示事件：該車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種；D表示事件：該車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買．①由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8．②因?yàn)镈與C是對(duì)立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2．
　　　　(1)(2020·浙江湖州期末，改編)現(xiàn)有5個(gè)不同編號(hào)的小球，其中黑色球2個(gè)，白色球2個(gè)，紅色球1個(gè)，若將其隨機(jī)排成一列，則相同顏色的球都不相鄰的概率是______．
用正難則反的思想求互斥事件的概率
“正難則反”的思想是一種常見的數(shù)學(xué)思想，如反證法、補(bǔ)集的思想都是“正難則反”思想的體現(xiàn)．在解決問題時(shí)，如果從問題的正面入手比較復(fù)雜或不易解決，那么嘗試采用“正難則反”思想往往會(huì)起到事半功倍的效果，大大降低題目的難度．在求對(duì)立事件的概率時(shí)，經(jīng)常應(yīng)用“正難則反”的思想，即若事件A與事件B互為對(duì)立事件，在求P(A)或P(B)時(shí)，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一個(gè)，再求另一個(gè)．
已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%．(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)

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