?2.2 整式的加減
學習要求：
1、 掌握同類項及合并的概念，能熟練地進行合并，掌握有關的應用．
2、會進行整式的加減運算．
知識點一： 同類項
例題．下列各組式中是同類項的為（　?。?br /> A．4x3y與﹣2xy3 B．﹣4yx與7xy C．9xy與﹣3x2 D．ab與bc
【分析】根據同類項是字母相同且相同字母的指數也相同，可得答案．
【解答】解；A、相同字母的指數不是同類項，故A錯誤；
B、字母相同且相同字母的指數也相同，故B正確；
C、字母不同不是同類項，故C錯誤；
D、字母不同不是同類項，故D錯誤；
故選：B．
【點評】本題考查了同類項，字母相同、相同字母的指數相同是解題關鍵．
　
變式1．下列各組的兩項是同類項的為（　?。?br /> A．3m2n2與﹣m2n3 B．xy與2yx C．53與a3 D．3x2y2與4x2z2
【分析】依據同類項的定義回答即可．
【解答】解：A、3m2n2與﹣m2n3字母n的指數不同不是同類項，故A錯誤；
B、xy與2yx是同類項，故B正確；
C、53與a3所含字母不同，不是同類項，故C錯誤；
D、3x2y2與4x2z2所含的字母不同，不是同類項，故D錯誤．
故選：B．
【點評】本題主要考查的是同類項的定義，掌握同類項的定義是解題的關鍵．
　
變式2．下列各組代數式中，屬于同類項的是（　?。?br /> A．4ab與4abc B．﹣mn與
C．與 D．x2y與x2z
【分析】本題考查同類項的定義，所含字母相同且相同字母的指數也相同的項是同類項，同類項與字母的順序無關，幾個常數項也是同類項．
【解答】解：A、4ab與4abc字母不同不是同類項；
B、﹣mn與是同類項；
C、與字母的指數不同不是同類項；
D、x2y與x2z字母不同不是同類項．
故選B．
【點評】同類項定義中的兩個“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指數相同，是易混點，還有注意同類項與字母的順序無關，幾個常數項也是同類項．

知識點二： 合并同類項
例題1．下列算式中，正確的是（　?。?br /> A．2x+2y=4xy B．2a2+2a3=2a5
C．4a2﹣3a2=1 D．﹣2ba2+a2b=﹣a2b
【分析】根據合并同類項法則即可求出答案．
【解答】解：（A）2x與2y不是同類項，故A錯誤；
（B）2a2與2a3不是同類項，故B錯誤；
（C）4a2﹣3a2=a2，故C錯誤；
故選（D）
【點評】本題考查合并同類項的法則，解題的關鍵是根據合并同類項的法則進行判斷，注意同類項與字母的順序無關．
　
變式2．計算2m2n﹣3nm2的結果為（　　）
A．﹣1 B．﹣5m2n C．﹣m2n D．不能合并
【分析】兩項是同類項，根據合并同類項的法則把系數相加即可．
【解答】解：2m2n﹣3nm2
=﹣m2n，
故選：C．
【點評】本題考查了合并同類項法則的應用，注意：合并同類項時，把同類項的系數相加作為結果的系數，字母和字母的指數不變．
　
例題2．化簡：3x2﹣3+x﹣2x2+5．
【分析】首先找出同類項，進而合并同類項得出答案．
【解答】解：3x2﹣3+x﹣2x2+5
=（3x2﹣2x2）+x+（5﹣3）
=x2+x+2．
【點評】此題主要考查了合并同類項，正確找出同類項是解題關鍵．
　
變式1．4a2+3b2+2ab﹣4a2﹣4b2．
【分析】根據合并同類項，系數相加字母及指數不變，可得答案．
【解答】解：原式=（4a2﹣4a2）+（3b2﹣4b2）++2ab
=﹣b2+2ab．
【點評】本題考查了合并同類項，合并同類項系數相加字母部分不變．
　
變式2．化簡5ax﹣4a2x2﹣8ax2+3ax﹣ax2﹣4a2x2．
【分析】直接利用合并同類項法則求出答案．
【解答】解：5ax﹣4a2x2﹣8ax2+3ax﹣ax2﹣4a2x2
=（5ax+3ax）+（﹣4a2x2﹣4a2x2）+（﹣8ax2﹣ax2）
=8ax﹣8a2x2﹣9ax2．
【點評】此題主要考查了合并同類項，正確掌握運算法則是解題關鍵．
　
變式3．化簡：5x2y﹣2xy2﹣5+3x2y+xy2+1，并說出化簡過程中所用到的運算律．
【分析】先找出同類項，再分別合并即可．
【解答】解：5x2y﹣2xy2﹣5+3x2y+xy2+1
=5x2y+3x2y+xy2﹣2xy2﹣5+1 加法交換律
=8x2y﹣xy2﹣4 加法結合律
【點評】此題主要考查合并同類項，準確找到同類項并認真進行合并是解題的關鍵，在運用加法交換律時，注意每一項都包含它前面的符號．
　
知識點三： 升冪和降冪
例題．把多項式3mn2﹣2m2n3+5﹣8m3n重新排列：
（1）按m的降冪排列．
（2）按n的升冪排列．
【分析】（1）先分清多項式的各項，然后按多項式降冪排列的定義排列．
（2）先分清多項式的各項，然后按多項式升冪排列的定義排列．
【解答】解：（1）按m的降冪排列為﹣8m3n﹣2m2n3+3mn2+5．
（2）按n的升冪排列為5﹣8m3n+3mn2﹣2m2n3．
【點評】考查了多項式，我們把一個多項式的各項按照某個字母的指數從大到小或從小到大的順序排列，稱為按這個字母的降冪或升冪排列．要注意，在排列多項式各項時，要保持其原有的符號．此題還要注意分清按x還是y的降冪或升冪排列．
　
變式．已知多項式3x2y2﹣xy3+5x4y﹣7y5+y4x6，回答下列問題：
（1）它是幾次幾項式？
（2）把它按x的升冪重新排列；
（3）把它按y的升冪重新排列．
【分析】（1）根據幾個單項式的和叫做多項式，即多項式的每一項都是一個單項式，單項式的個數就是多項式的項數，如果一個多項式含有a個單項式，次數是b，那么這個多項式就叫b次a項式作答；
（2）按字母x的升冪排列是指按字母x的指數從小到大依次排列；
（3）按字母y的升冪排列指按字母y的指數從小到大依次排列．
【解答】解：（1）3x2y2﹣xy3+5x4y﹣7y5+y4x6是十次五項式；

（2）按x的降冪排列為﹣7y5﹣xy3+3x2y2+5x4y+y4x6；

（3）按y的升冪排列為5x4y+3x2y2﹣xy3+y4x6﹣7y5．
【點評】本題考查了多項式的有關定義，按某一個字母的升冪排列是指按此字母的指數從小到大依次排列，降冪正好相反，多項式的次數是“多項式中次數最高的項的次數”．

知識點四： 去括號
例題1．下列去括號正確的是（　?。?br /> A．﹣（a+b﹣c）=﹣a+b﹣c B．﹣2（a+b﹣3c）=﹣2a﹣2b+6c
C．﹣（﹣a﹣b﹣c）=﹣a+b+c D．﹣（a﹣b﹣c）=﹣a+b﹣c
【分析】利用去括號添括號法則計算．
【解答】解：A、﹣（a+b﹣c）=﹣a﹣b+c，故不對；
B、正確；
C、﹣（﹣a﹣b﹣c）=a+b+c，故不對；
D、﹣（a﹣b﹣c）=﹣a+b+c，故不對．
故選B．
【點評】本題考查去括號的方法：去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數字與括號里各項相乘，再運用括號前是“+”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“﹣”，去括號后，括號里的各項都改變符號．
　
變式．下列去括號正確的是（　?。?br /> A．a+（b﹣c）=a+b+c B．a﹣（b﹣c）=a﹣b﹣c C．a﹣（b﹣c）=a﹣b+c D．a+（b﹣c）=a﹣b+c
【分析】利用去括號添括號法則，逐項判斷即可得出正確答案．
【解答】解：A、D、a+（b﹣c）=a+b﹣c，故A和D都錯誤；
B、C、a﹣（b﹣c）=a﹣b+c，故B錯誤，C正確；
故選C．
【點評】本題考查去括號的方法：運用括號前是“+”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“﹣”，去括號后，括號里的各項都改變符號．
　
例題2．下列等式中正確的是（　　）
A．﹣（a﹣b）=b﹣a B．﹣（a+b）=﹣a+b C．2（a+1）=2a+1 D．﹣（3﹣x）=3+x
【分析】根據去括號的定義判斷即可．
【解答】解：A、﹣（a﹣b）=b﹣a，正確；
B、﹣（a+b）=﹣a﹣b，錯誤；
C、2（a+1）=2a+2，錯誤；
D、﹣（3﹣x）=﹣3+x，錯誤；
故選A．
【點評】此題考查去括號問題，關鍵是根據去括號的法則進行解答．
變式1．下列運算正確的是（　?。?br /> A．﹣a+b+c+d=﹣（a﹣b）﹣（﹣c﹣d） B．x﹣（y﹣z）=x﹣y﹣z
C．x+2y﹣2z=x﹣2（z+y） D．﹣（x﹣y+z）=﹣x﹣y﹣z
【分析】原式各項變形得到結果，即可作出判斷．
【解答】解：A、原式=﹣（a﹣b）﹣（﹣c﹣d），正確；
B、原式=x﹣y+z，錯誤；
C、原式=x﹣2（x﹣y），錯誤；
D、原式=﹣x+y﹣z，錯誤，
故選A
【點評】此題考查了去括號與添括號，以及合并同類項，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
　
變式2．下列去括號或添括號正確的是（　?。?br /> A．x+（y﹣2）=x+y+2 B．x﹣（y﹣1）=x﹣y﹣1 C．x﹣y+1=x﹣（y﹣1） D．x+y﹣1=x+（y+1）
【分析】根據去括號與添括號的法則，分別對每一項進行分析即可．
【解答】A．x+（y﹣2）=x+y﹣2，故本選項錯誤，
B．x﹣（y﹣1）=x﹣y+1，故本選項錯誤，
C．x﹣y+1=x﹣（y﹣1），故本選項正確，
D．x+y﹣1=x+（y﹣1），故本選項錯誤，
故選：C．
【點評】此題考查了去括號與添括號，添括號時，若括號前是“+”，添括號后，括號里的各項都不改變符號；若括號前是“﹣”，添括號后，括號里的各項都改變符號，去括號也一樣．
變式3．在下列各式的括號內填上恰當的項：
（1）﹣a+b﹣c+d=﹣a+（　b﹣c+d?。?；
（2）﹣a+b﹣c+d=﹣（　a﹣b+c?。?d；
（3）﹣a+b﹣c+d=﹣a+b﹣（　c﹣d　）；
（4）﹣a+b﹣c+d=﹣（　a﹣b+c﹣d　）
【分析】（1）利用添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號，如果括號前面是負號，括號括號里的各項都改變符號，進而得出答案；
（2）利用添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號，如果括號前面是負號，括號括號里的各項都改變符號，進而得出答案；
（3）利用添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號，如果括號前面是負號，括號括號里的各項都改變符號，進而得出答案；
（4）利用添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號，如果括號前面是負號，括號括號里的各項都改變符號，進而得出答案．
【解答】解：（1）﹣a+b﹣c+d=﹣a+（b﹣c+d）；
故答案為：b﹣c+d；

（2）﹣a+b﹣c+d=﹣（a﹣b+c）+d；
故答案為：a﹣b+c；

（3）﹣a+b﹣c+d=﹣a+b﹣（c﹣d）；
故答案為：c﹣d；

（4）﹣a+b﹣c+d=﹣（a﹣b+c﹣d）．
故答案為：a﹣b+c﹣d．
【點評】此題主要考查了添括號法則，正確掌握添括號法則是解題關鍵．
　
例題3．先去括號，再合并同類項
（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）
（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）
【分析】（1）根據括號前是正號去括號不變號，括號前是負號去掉括號要變號，可去掉括號，根據合并同類項，可得答案；
（2）根據括號前是正號去括號不變號，括號前是負號去掉括號要變號，可去掉括號，根據合并同類項，可得答案；
【解答】解：（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）=4b﹣6a+6a﹣9b=﹣5b；
（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）=4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1=﹣ab+1．
【點評】本題考查了去括號與添括號，合并同類項，括號前是正號去掉括號不變號，括號前是負號去掉括號要變號．
　

變式1．去括號，合并同類項
（1）﹣3（2s﹣5）+6s；
（2）3x﹣[5x﹣（x﹣4）]；
（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+ab）；
（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）
【分析】（1）先去括號，再合并同類項即可；
（2）先去小括號，再去中括號，再合并同類項即可；
（3）先去括號，再合并同類項即可；
（4）先去括號，再合并同類項即可．
【解答】解：（1）﹣3（2s﹣5）+6s
=﹣6s+15+6s
=15；

（2）3x﹣[5x﹣（x﹣4）]
=3x﹣[5x﹣x+4]
=3x﹣5x+x﹣4
=﹣x﹣4；

（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+ab）
=6a2﹣4ab﹣8a2﹣2ab
=﹣2a2﹣6ab；

（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）
=﹣6x2+3xy+4x2+4xy﹣24
=﹣2x2+7xy﹣24．
【點評】此題考查了整式的運算，用到的知識點是去括號、合并同類項，在去括號時要注意符號的變化和去括號的順序．
　變式2．去括號，并合并同類項：
（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）
（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）
【分析】（1）先去掉括號，再找出同類項進行合并即可；
（2）先把4與括號中的每一項分別進行相乘，再去掉括號，然后合并同類項即可；
【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）=3a+1.5b﹣7a+2b=﹣4a+3.5b；
（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）=8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12=﹣5x2+5y2+12；
【點評】此題考查了去括號和合并同類項，根據去括號法則若括號前是“+”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；若括號前是“﹣”，去括號后，括號里的各項都改變符號和合并同類項法則進行解答是解題的關鍵．
　
變式3．去括號，合并同類項：．
【分析】先去括號，然后找出同類項，再合并同類項．
【解答】解：原式=﹣3x2+6x+12﹣2x2+10x﹣1=﹣5x2+16x+11．
【點評】去括號是注意符號的改變，合并同類項要遵循合并同類項的法則．
　
變式4．去括號，并合并同類項：
（1）2x2﹣（7+x）﹣x（3+4x）；
（2）﹣（3a2﹣2a+1）+（a2﹣5a+7）；
（3）4（a+b）﹣5（a﹣b）﹣6（a﹣b）+7（a+b）
【分析】（1）首先利用去括號法則化簡，進而合并同類項得出答案；
（2）首先利用去括號法則化簡，進而合并同類項得出答案；
（3）首先將（a+b），（a﹣b）看作整體合并同類項，進而利用去括號法則求出即可．
【解答】解：（1）2x2﹣（7+x）﹣x（3+4x）
=2x2﹣7﹣x﹣3x﹣4x2
=﹣2x2﹣4x﹣7；

（2）﹣（3a2﹣2a+1）+（a2﹣5a+7）
=﹣3a2+2a﹣1+a2﹣5a+7
=﹣2a2﹣3a+6；

（3）4（a+b）﹣5（a﹣b）﹣6（a﹣b）+7（a+b）
=11（a+b）﹣11（a﹣b）
=22b．
【點評】此題主要考查了去括號法則以及合并同類項，正確掌握去括號法則是解題關鍵．
　
知識點五： 整式加減
例題1．已知：A﹣2B=7a2﹣7ab，且B=﹣4a2+6ab+7．
（1）求A等于多少？
（2）若|a+1|+（b﹣2）2=0，求A的值．
【分析】（1）將B的代數式代入A﹣2B中化簡，即可得出A的式子；
（2）根據非負數的性質解出a、b的值，再代入（1）式中計算．
【解答】解：（1）∵A﹣2B=A﹣2（﹣4a2+6ab+7）=7a2﹣7ab，
∴A=（7a2﹣7ab）+2（﹣4a2+6ab+7）=﹣a2+5ab+14；

（2）依題意得：a+1=0，b﹣2=0，
a=﹣1，b=2．
原式A=﹣（﹣1）2+5×（﹣1）×2+14=3．
【點評】本題考查了非負數的性質和整式的化簡，初中階段有三種類型的非負數：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據這個結論可以求解這類題目．
　
變式1．已知A=2x2+3xy﹣2x﹣1，B=﹣x2+xy﹣1：
（1）求3A+6B；
（2）若3A+6B的值與x無關，求y的值．
【分析】（1）把A、B代入3A+6B，再按照去括號法則去掉整式中的小括號，再合并整式中的同類項，將3A+6B化到最簡即可．
（2）根據3A+6B的值與x無關，令含x的項系數為0，解關于y的一元一次方程即可求得y的值．
【解答】解：（1）3A+6B=3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2+xy﹣1）=6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2+6xy﹣6=15xy﹣6x﹣9；
（2）原式=15xy﹣6x﹣9=（15y﹣6）x﹣9
要使原式的值與x無關，則15y﹣6=0，
解得：y=．
【點評】本題考查整式的加減，解決此類題目的關鍵是熟記去括號法則，熟練運用合并同類項的法則，這是各地中考的?？键c．
　
變式2．已知：A﹣2B=7a2﹣7ab，且B=﹣4a2+6ab+7．
（1）求A．
（2）若|a+1|+（b﹣2）2=0，計算A的值．
【分析】（1）根據題意可得A=2B+（7a2﹣7ab），由此可得出A的表達式．
（2）根據非負性可得出a和b的值，代入可得出A的值．
【解答】解：（1）由題意得：A=2（﹣4a2+6ab+7）+7a2﹣7ab=﹣8a2+12ab+14+7a2﹣7ab=﹣a2+5ab+14．
（2）根據絕對值及平方的非負性可得：a=﹣1，b=2，
故：A=﹣a2+5ab+14=3．
【點評】本題考查整式的加減及絕對值、偶次方的非負性，難度不大，解決此類題目的關鍵是熟記去括號法則，熟練運用合并同類項的法則．
　
變式3．已知A=x2+ax，B=2bx2﹣4x﹣1，且多項式2A+B的值與字母x的取值無關，求a，b的值．
【分析】把A與B代入2A+B中，去括號合并得到最簡結果，由結果與字母x取值無關，求出a與b的值即可．
【解答】解：∵A=x2+ax，B=2bx2﹣4x﹣1，
∴2A+B=2（x2+ax）+（2bx2﹣4x﹣1）
=2x2+2ax+2bx2﹣4x﹣1
=（2+2b）x2+（2a﹣4）x﹣1，
由結果與x取值無關，得到2+2b=0，2a﹣4=0，
解得：a=2，b=﹣1．
【點評】本題考查了整式的加減、去括號法則兩個考點．解決此類題目的關鍵是熟記去括號法則，熟練運用合并同類項的法則，這是各地中考的?？键c．
　
變式4．已知多項式A=2x2﹣xy+my﹣8，B=﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2項和y項，求nm+mn的值．
【分析】把A與B代入A﹣2B中，去括號合并得到最簡結果，由結果不含有x2項和y項求出m與n的值，代入原式計算即可得到結果．
【解答】解：∵A=2x2﹣xy+my﹣8，B=﹣nx2+xy+y+7，
∴A﹣2B=2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14=（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，
由結果不含有x2項和y項，得到2+2n=0，m﹣2=0，
解得：m=2，n=﹣1，
則原式=1﹣2=﹣1．
【點評】此題考查了整式的加減，熟練掌握去括號法則與合并同類項法則是解本題的關鍵．
　
拓展點一： 同類項的概念
例題．下列各組式中是同類項的是（　　）
A．a與 B．x2y3z與﹣x2y3
C．x2與y2 D．與﹣5x2y
【分析】根據同類項的定義，所含字母相同且相同字母的指數也相同的項是同類項，幾個常數項也是同類項．同類項與字母的順序無關，與系數無關．
【解答】解：A、相同字母的指數不相同，不是同類項；
B、所含字母不相同，不是同類項；
C、所含字母不相同，不是同類項；
D、符合同類項的定義，是同類項．
故選D．
【點評】本題考查同類項的定義，同類項定義中的兩個“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指數相同；是易混點．
同類項定義中隱含的兩個“無關”：①與字母的順序無關；②與系數無關．
　
變式1．如果﹣3a2ybx+1與a3xby是同類項，則（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據同類項的定義，所含字母相同且相同字母的指數也相同的項是同類項，可得答案．注意同類項與字母的順序無關，與系數無關．
【解答】解：由題意得
，
解得，
故選：C．
【點評】本題考查同類項的定義，同類項定義中的兩個“相同”：所含字母相同；相同字母的指數相同，是易混點，還有注意同類項定義中隱含的兩個“無關”：①與字母的順序無關；②與系數無關．
　
變式2．若a3xby與﹣2a2ybx+1是同類項，則x+y=（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5
【分析】根據同類項的定義，含有相同的字母，相同字母的指數相同，即可列出關于x和y的方程組，求得x和y的值，進而求得代數式的值．
【解答】解：根據題意得：，
解得：，
則x+y=2+3=5．
故選D．
【點評】本題考查了同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，注意①一是所含字母相同，二是相同字母的指數也相同，兩者缺一不可．
　
變式3．若5a|x|b3與﹣0.2a3b|y﹣1|是同類項，則x=　±3　，y=　4或﹣2?。?br /> 【分析】根據同類項相同字母的指數相同可得出|x|=3，|y﹣1|=3，從而可得出x和y的值．
【解答】解：∵5a|x|b3與﹣0.2a3b|y﹣1|是同類項
∴|x|=3，|y﹣1|=3，
解得：x=±3，y﹣1=±3．
∴y=4或﹣2，
故答案為：±3；4或﹣2．
【點評】本題考查同類項的知識，關鍵是掌握同類項相同字母的指數相同．

拓展點二： 整式加減的幾種類型
例題1．有一道題目，是一個多項式減去x2+14x﹣6，小強誤當成了加法計算，結果得到2x2﹣x+3，正確的結果應該是多少？
【分析】先按錯誤的說法，求出原多項式，原多項式是：（2x2﹣x+3）﹣（x2+14x﹣6）=x2﹣15x+9；再用原多項式減去x2+14x﹣6，運用去括號，合并同類項即可得到正確的結果．
【解答】解：這個多項式為：（2x2﹣x+3）﹣（x2+14x﹣6）=x2﹣15x+9
所以（x2﹣15x+9）﹣（x2+14x﹣6）=﹣29x+15
正確的結果為：﹣29x+15．
【點評】整式的加減運算實際上就是去括號、合并同類項，這是各地中考的常考點．
　
例題2．化簡：﹣2a+（3a﹣1）﹣（a﹣5）．
【分析】先去括號，然后合并同類項求解．
【解答】解：原式=﹣2a+3a﹣1﹣a+5
=4．
【點評】本題考查了整式的加減，解答本題的關鍵是掌握去括號法則和合并同類項法則．
　
例題3．化簡：
（1）（5x﹣3y）﹣（2x﹣y）
（2）a2﹣a﹣[2a﹣（3a2+a）]．
【分析】（1）原式去括號合并即可得到結果；
（2）原式去括號合并即可得到結果．
【解答】解：（1）原式=5x﹣3y﹣2x+y=3x﹣2y；
（2）原式=a2﹣a﹣2a+3a2+a=4a2﹣2a．
【點評】此題考查了整式的加減，熟練掌握去括號法則與合并同類項法則是解本題的關鍵．
　
例題4．已知：A=2a2+3ab﹣2a﹣1，B=﹣a2+ab﹣1
（1）求4A﹣（3A﹣2B）的值；
（2）若A+2B的值與a的取值無關，求b的值．
【分析】（1）先化簡，然后把A和B代入求解；
（2）根據題意可得5ab﹣2a+1與a的取值無關，即化簡之后a的系數為0，據此求b值即可．
【解答】解：（1）4A﹣（3A﹣2B）=A+2B
∵A=2a2+3ab﹣2a﹣1，B=﹣a2+ab﹣1，
∴原式=A+2B
=2a2+3ab﹣2a﹣1+2（﹣a2+ab﹣1）
=5ab﹣2a﹣3；

（2）若A+2B的值與a的取值無關，
則5ab﹣2a+1與a的取值無關，
即：（5b﹣2）a+1與a的取值無關，
∴5b﹣2=0，
解得：b=
即b的值為．
【點評】本題考查了整式的加減，解答本題的關鍵是掌握去括號法則以及合并同類項法則．
　
例題5．若代數式（2x2+3ax﹣y）﹣2（bx2﹣3x+2y﹣1）的值與字母x的取值無關，求代數式（a﹣b）﹣（a+b）的值．
【分析】先去括號，再合并同類項，根據代數式的值與字母x的取值無關求出b的值，再把代數式去括號，合并同類項，把b的值代入進行計算即可．
【解答】解：（2x2+3ax﹣y）﹣2（bx2﹣3x+2y﹣1）
=2x2+3ax﹣y﹣2bx2+6x﹣4y+2
=2（1﹣b）x2+（3a+6）x﹣5y+2，
∵代數式的值與字母x的取值無關，
∴1﹣b=0，3a+6=0，解得b=1，a=2．
∴（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b=﹣2．
【點評】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實質上就是合并同類項是解答此題的關鍵．
　
拓展點三： 整式化簡求值問題
例題1．化簡求值：3a+（a﹣2b）﹣（3a﹣6b），其中a=2，b=﹣3．
【分析】原式去括號合并得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式=3a+a﹣b﹣a+2b=2.5a+b，
當a=2，b=﹣3時，原式=5﹣3=2．
【點評】此題考查了整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
　
變式1．化簡并求值：2（a2﹣ab）﹣3（a2﹣ab）﹣5，其中a=﹣2，b=3．
【分析】原式去括號合并得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式=2a2﹣2ab﹣2a2+3ab﹣5=ab﹣5，
當a=﹣2，b=3時，原式=（﹣2）×3﹣5=﹣6﹣5=﹣11．
【點評】此題考查了整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握去括號法則與合并同類項法則是解本題的關鍵．
　
變式2．先化簡，再求值：，其中a=﹣6，b=﹣．
【分析】原式去括號合并得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式=5a2b﹣2ab2+2ab﹣5a2b﹣ab+5ab2=3ab2+ab，
當a=﹣6，b=﹣時，原式=﹣1.5．
【點評】此題考查了整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
　
例題2．先化簡，再求值：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．
【分析】先去小括號，再去中括號，合并同類項，最后代入求出即可．
【解答】解：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2）
=2x2﹣[﹣x2+2xy﹣2y2]﹣（2x2﹣2xy+4y2）
=2x2+x2﹣2xy+2y2﹣2x2+2xy﹣4y2
=x2﹣2y2，
當x=，y=﹣1時，原式=﹣．
【點評】本題考查了整式的加減和求值，能正確根據整式的加減法則進行化簡是解此題的關鍵．
　
變式1．計算
（1）計算：（a2﹣6a﹣7）﹣3（a2﹣3a+4）
（2）先化簡，再求值：5（a2b﹣3ab2）﹣2（a2b﹣7ab2），其中a=﹣1，b=1．
【分析】（1）原式去括號合并即可得到結果；
（2）原式去括號合并得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=a2﹣6a﹣7﹣3a2+9a﹣12=﹣2a2+3a﹣19；
（2）原式=5a2b﹣15ab2﹣2a2b+14ab2=3a2b﹣ab2，
當a=﹣1，b=1時，原式=3+1=4．
【點評】此題考查了整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握去括號法則與合并同類項法則是解本題的關鍵．
　
變式2．先化簡，再求值．4xy﹣[（x2+5xy﹣y2）﹣2（x2+3xy﹣y2）]，其中：x=﹣1，y=2．
【分析】首先根據乘法分配原則進行乘法運算，再去掉小括號、合并同類項，然后去掉中括號，、合并同類項，把對整式進行化簡，最后把x、y的值代入計算求值即可．
【解答】解：原式=4xy﹣[x2+5xy﹣y2﹣2x2﹣6xy+y2]
=4xy﹣[﹣x2﹣xy]
=x2+5xy，
當x=﹣1，y=2時，
原式=x2+5xy
=（﹣1）2+5×（﹣1）×2
=﹣9．
【點評】本題主要考查整式的化簡求值，合并同類項法則，去括號法則，關鍵在于正確的對整式進行化簡，認真正確的計算．
　
拓展點四： 整式加減的實際應用
例題1．2016年9月15日晚，正值中秋佳節(jié)，我國“天宮二號”空間實驗室順利升空．同學們倍受鼓舞，某同學繪制了如圖所示的火箭模型截面圖，下面是梯形，中間是長方形，上面是三角形．
（1）用含有a、b的代數式表示該截面的面積S；
（2）當a=2.8cm，b=2.2cm時，求這個截面的面積．

【分析】根據題意可知該圖形面積等于梯形面積、長方形面積、和三角形面積之和．
【解答】解：（1）由題意可知：S=+2a×a+（a+2a）b=ab+2a2+ab=2ab+2a2
（2）由（1）可知：S=2a（a+b）=2×2.8×5=28cm2；
【點評】本題考查列代數式，涉及代入求值，整式運算，因式分解等知識．
　
變式1．某中學新建了一棟科技樓，為了給該樓一間陳列室的頂棚裝修，計劃用長為x4米，寬為y3米的塑料扣板，已知這間陳列室長為x4y4米，寬為x3y米，如果你是該校采購人員應該至少購買多少塊這樣的塑料扣板？當x=2，y=1時，求出具體扣板數．
【分析】先根據題意列出算式，求出即可，把x=2，y=1代入，即可求出扣板數．
【解答】解：根據題意得：（x4y4?x3y）÷（x4?y3）=x7y5÷x4y3=2x3y2，
當x=2，y=1時，2x3y2=16（塊），
所以不考慮裝修時的損耗至少需買2x3y2塊塑料扣板，
當=2，y=1時，扣板為16塊．
【點評】本題考查了求代數式的值和列代數式，能根據題意列出代數式是解此題的關鍵．
　
變式2．某商場銷售一種西裝和領帶，西裝每套定價1000元，領帶每條定價200元．“國慶節(jié)”期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．
方案一：買一套西裝送一條領帶；
方案二：西裝和領帶都按定價的90%付款．
現某客戶要到該商場購買西裝20套，領帶x條（x＞20）．
（1）若該客戶按方案一購買，需付款　200x+16000　元．（用含x的代數式表示）若該客戶按方案二購買，需付款　180x+18000　元．（用含x的代數式表示）
（2）若x=30，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算？
（3）當x=30時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法．
【分析】（1）根據題目提供的兩種不同的付款方式列出代數式即可；
（2）將x=30帶人求得的代數式中即可得到費用，然后比較即可得到選擇哪種方案更合算；
（3）根據題意考可以得到先按方案一購買20套西裝獲贈送20條領帶，再按方案二購買10條領帶更合算．
【解答】解：（1）客戶要到該商場購買西裝20套，領帶x條（x＞20）．
方案一費用：200x+16000 …（2分）
方案二費用：180x+18000 …（4分）

（2）當x=30時，方案一：200×30+16000=22000（元） …（6分）
方案二：180×30+18000=23400（元）
所以，按方案一購買較合算．…（8分）

（3）先按方案一購買20套西裝獲贈送20條領帶，再按方案二購買10條領帶．
則20000+200×10×90%=21800（元）…（10分）
【點評】本題考查了列代數式和求代數式的值的相關的題目，解題的關鍵是認真分析題目并正確的列出代數式．
　
拓展點五： 絕對值化簡問題
例題．已知數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡|a+b|﹣|a﹣b|+|a+c|．

【分析】先根據題意得出a、b、c的取值范圍，再得出a+b，a﹣b＜，a+c的正負性，根據絕對值的性質求出各式的絕對值，化簡合并即可．
【解答】解：根據題意得：﹣2＜c＜0，0＜a＜1，2＜b＜3，
∴a+b＞0，a﹣b＜0，a+c＜0，
∴原式=a+b﹣[﹣（a﹣b）]+[﹣（a+c）]
=a+b+a﹣b﹣a﹣c
=a﹣c．
【點評】本題考查了數軸、絕對值以及整式的加減；熟練掌握絕對值的性質得出各式的絕對值是解決問題的關鍵．
　
變式1．有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，化簡|a+c|﹣|a﹣b|+|b+c|﹣|b|．

【分析】根據數軸先判斷a+c、a﹣b、b+c、b與0的大小關系，然后即可進行化簡
【解答】解：由圖可知：a+c＜0，a﹣b＞0，b+c＜0，b＜0，
∴原式=﹣（a+c）﹣（a﹣b）﹣（b+c）+b
=﹣a﹣c﹣a+b﹣b﹣c+b
=﹣2a+b﹣2c
【點評】本題考查整式化簡，涉及絕對值的性質，有理數比較大?。?br /> 　
變式2．（1）一個數的絕對值是指在數軸上表示這個數的點到　原點　的距離；
（2）若|a|=﹣a，則a　≤　0；
（3）有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，請化簡|a|+|b|+|a+b|．

【分析】（1）根據數軸上各點到原點距離的定義解答即可；
（2）根據絕對值的性質即可得出結論；
（3）根據各點在數軸上的位置判斷出a、b兩點的符號及大小，再去括號，合并同類項即可．
【解答】解：（1）一個數的絕對值是指在數軸上表示這個數的點到原點的距離．
故答案為：原點；

（2）∵|a|=﹣a，
∴a≤0．
故答案為：≤；

（3）∵由各點在數軸上的位置可知，a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a＜0，b＞0，a+b＜0，
∴|a|=﹣a，|b|=b，|a+b|=﹣a﹣b，
∴原式=﹣a+b﹣a﹣b=﹣2a．
【點評】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實質上就是合并同類項是解答此題的關鍵．
　
拓展點六： 定義運算與整式的加減
例題1.定義運算“@”的運算法則為：x@y=，則 2@6　4?。?br /> 【考點】二次根式的性質與化簡．
【專題】新定義．
【分析】把x=2，y=6代入x@y=中計算即可．
【解答】解：∵x@y=，
∴2@6===4，
故答案為4．
【點評】本題考查的是有理數的運算能力，注意能由代數式轉化成有理數計算的式子．
例題2.已知a、b都表示數，定義運算：“◇”“◆”，，
解方程：．
【考點】定義新運算．
【專題】運算順序及法則．
【分析】根據題意得出a◇b等于a與b的和減去2；a◆b表示a與b的乘積減去2，由此用此方法把寫成我們學過的方程的形式，解方程即可求出x的值．
【解答】解：，
x◇（7x﹣2﹣2）=50，
x◇（7x﹣4）=50，
x+7x﹣4﹣2=50，
8x=50+6，
8x=56，
x=7．
【點評】此題考查了根據例子找準運算規(guī)律，然后按照這種運算進行解答．
變式1.新定義一種運算：a*b=，則2*3=　﹣1?。?br /> 【考點】代數式求值．
【專題】新定義．
【分析】從已知條件中發(fā)現運算規(guī)律，并根據規(guī)律求解．
【解答】解：根據定義，得原式==﹣1．
【點評】此類題要嚴格根據定義進行計算．
變式2.定義新運算：a△b=，那么2△10△10=　?。?br /> 【考點】定義新運算．
【專題】運算順序及法則．
【分析】根據定義的新運算知道：a△b定義a與b的乘積除以a與b的和，由此用此運算方法計算2△10△10的值．
【解答】解：2△10△10，
=△10，
=△10，
=，
=÷，
=，
故答案為：．
【點評】關鍵是根據給出的式子，找出新的運算方法，再利用新的運算方法解決問題．

易錯點一： 錯誤理解合并同類項
例題．合并同類項
（1）2xy﹣3xy
（2）2（﹣ab+2a）﹣3（3a﹣b）+ab
（3）3a2﹣[8a﹣（4a﹣7）]
（4）15+3（1﹣a）﹣（1﹣a﹣a2）+（1﹣a﹣a2﹣a3）
【分析】根據合并同類項逐一計算，即可解答．
【解答】解：（1）2xy﹣3xy
=﹣xy．
（2）2（﹣ab+2a）﹣3（3a﹣b）+ab
=﹣2ab+4a﹣9a+3b+ab
=﹣ab﹣5a+3b
（3）3a2﹣[8a﹣（4a﹣7）]
=3a2﹣（8a﹣4a+7）
=3a2﹣8a+4a﹣7
=3a2﹣4a﹣7
（4）15+3（1﹣a）﹣（1﹣a﹣a2）+（1﹣a﹣a2﹣a3）
=15+3﹣3a﹣1+a+a2+1﹣a﹣a2﹣a3
=18﹣3a﹣a3．
【點評】本題考查了合并同類項，解決本題的關鍵是熟記合并同類項．
　
變式．合并同類項：
（1）3a2+2ab+2a2﹣2ab
（2）（﹣x2+2xy﹣y2）﹣2（xy﹣3x2）+3（2y2﹣xy）
【分析】（1）根據合并同類項系數相加字母及指數不變，可得答案；
（2）根據去括號的法則，可化簡整式，根據合并同類項系數相加字母及指數不變，可得答案．
【解答】解：（1）原式=（3+2）a2+（2﹣2）ab=5a2；
（2）原式=﹣x2+2xy﹣y2﹣2xy+6x2+6y2﹣3xy
=（﹣1+6）x2+（2﹣2﹣3）xy+（﹣1+6）y2
=5x2﹣3xy+5y2．
【點評】本題考查了合并同類項，合并同類項系數相加字母及指數不變，注意去括號：括號前是負數去括號全變號，括號前是正數去括號不變號．
　
易錯點二： 變則全變、不變則全不變
例題．去括號，并合并同類項：
（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）
（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）
【分析】（1）先去掉括號，再找出同類項進行合并即可；
（2）先把4與括號中的每一項分別進行相乘，再去掉括號，然后合并同類項即可；
【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）=3a+1.5b﹣7a+2b=﹣4a+3.5b；
（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）=8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12=﹣5x2+5y2+12；
【點評】此題考查了去括號和合并同類項，根據去括號法則若括號前是“+”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；若括號前是“﹣”，去括號后，括號里的各項都改變符號和合并同類項法則進行解答是解題的關鍵．
　
變式．先去括號、再合并同類項
①2（a﹣b+c）﹣3（a+b﹣c）
②3a2b﹣2[ab2﹣2（a2b﹣2ab2）]．
【分析】根據括號前是正號，去掉括號及正號，括號里的各項都不變，括號前是負號，去掉括號及負號，括號里的各項都變號，可得答案．
【解答】解：（1）原式=2a﹣2b+2c﹣3a﹣3b+3c
=（2a﹣3a）+（﹣2b﹣3b）+（2c+3c）
=﹣a﹣5b+5c；
（2）原式=3a2b﹣2（ab2﹣2a2b+4ab2）
=3a2b﹣10ab2+4a2b
=7a2b﹣10ab2．
【點評】本題考查了去括號與添括號，括號前是正號，去掉括號及正號，括號里的各項都不變，括號前是負號，去掉括號及負號，括號里的各項都變號．
　
易錯點三： 不要忽視括號的作用
例題．某同學誤將“A﹣B”看成求“A+B”，結果求出的答案是3x2﹣2x+5，已知A=4x2﹣3x﹣6，請正確求出A﹣B．
【分析】B等于A與B的和減去A，求出B，再計算A﹣B．注意去括號時，如果括號前是負號，那么括號中的每一項都要變號；合并同類項時，只把系數相加減，字母與字母的指數不變．
【解答】解：由題意，知B=3x2﹣2x+5﹣（4x2﹣3x﹣6）
=3x2﹣2x+5﹣4x2+3x+6=﹣x2+x+11．
所以A﹣B=4x2﹣3x﹣6﹣（﹣x2+x+11）
=4x2﹣3x﹣6+x2﹣x﹣11
=5x2﹣4x﹣17．
【點評】本題考查了整式的加減，已知兩個數的和及其中一個加數求另一個加數用減法，這也適用于代數式．注意掌握去括號法則以及合并同類項．
　
變式．小馬虎在解數學題時，由于粗心，把原題“兩個多項式A和B，其中B=4x2﹣5x﹣6，試求A﹣B”中把“A﹣B”錯誤地看成“A+B”，結果求出的答案是﹣7x2+10x+12，請你幫他糾錯，正確的算出A﹣B．
【分析】首先根據去括號法則和合并同類項求出A=﹣11x2+15x+18，再由A﹣B得出算式，去括號、合并同類項即可得出結果．
【解答】解：根據題意得：
A=（﹣7x2+10x+12）﹣（4x2﹣5x﹣6）=﹣7x2+10x+12﹣4x2+5x+6=﹣11x2+15x+18，
則A﹣B=（﹣11x2+15x+18）﹣（4x2﹣5x﹣6）=﹣11x2+15x+18﹣4x2+5x+6=﹣15x2+20x+24．
【點評】本題考查了整式的加減、去括號法則、合并同類項；熟練掌握去括號法則和合并同類項，根據題意求出A是解決問題的關鍵．

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2.2 整式的加減

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