? 高三下學(xué)期數(shù)學(xué)一模試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.集合 ， ，假設(shè) ，那么實(shí)數(shù) 的取值范圍為〔??? 〕
A.?{2}??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.復(fù)數(shù) ，其中 是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù) 等于〔??? 〕
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
3.函數(shù) 在 處的切線方程為〔??? 〕
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
4.某學(xué)校高一年級(jí)星期五隨機(jī)安排6節(jié)課，上午安排數(shù)學(xué)2節(jié)，語文和音樂各1節(jié)，下午安排英語?體育各1節(jié)，那么2節(jié)數(shù)學(xué)恰好相鄰的概率為〔??? 〕
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
5.2021年3月全國(guó)兩會(huì)上，“碳達(dá)峰〞碳中和〞備受關(guān)注.為應(yīng)對(duì)氣候變化，我國(guó)提出“二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前到達(dá)峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和〞等莊嚴(yán)的目標(biāo)承諾.在今年的政府工作報(bào)告中，“做好碳達(dá)峰?碳中和工作〞被列為2021年重點(diǎn)任務(wù)之一；“十四五〞規(guī)劃也將加快推動(dòng)綠色低碳開展列入其中.我國(guó)自1981年開展全民義務(wù)植樹以來，全國(guó)森林面積呈線性增長(zhǎng)，第三次全國(guó)森林資源清查的時(shí)間為1984﹣1988年，每5年清查一次，歷次清查數(shù)據(jù)如表：
第 次
3
4
5
6
7
8
9
森林面積 (億平方米)







經(jīng)計(jì)算得到線性回歸直線為 (參考數(shù)據(jù)： )，據(jù)此估算我國(guó)森林面積在第幾次森林資源清查時(shí)首次超過3億平方米〔??? 〕
A.?12?????????????????????????????????????????B.?13?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?15
6.哥隆尺是一種特殊的尺子，對(duì)哥隆尺數(shù)碼的研究在雷達(dá)和聲納技術(shù)?模式匹配和信息檢索?同步光電探測(cè)器的代碼?射電天文學(xué)等有廣泛的應(yīng)用，圖1的哥隆尺可以一次性度量的長(zhǎng)度為1，2，3，4，5，6，圖2的哥隆尺的刻度4到12之間增加一個(gè)整數(shù)刻度n ， 使得能一次性度量的長(zhǎng)度個(gè)數(shù)最多，那么整數(shù)刻度n的值為〔??? 〕

A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?11
7.橢圓 的左?右焦點(diǎn)為 ， ，過右焦點(diǎn)作垂直于 軸的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，假設(shè) ，那么橢圓的離心率為〔??? 〕
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
8.函數(shù) ，假設(shè)函數(shù) 恰有5個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是〔??? 〕
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
二、多項(xiàng)選擇題
9.函數(shù) ( )的局部圖象如下列圖，那么以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是〔??? 〕

A.?函數(shù) 的最小正周期為 ???????????????????????B.?為函數(shù) 的一個(gè)對(duì)稱中心
C.????????????????????????????????????????????????????D.?函數(shù) 向右平移 個(gè)單位后所得函數(shù)為偶函數(shù)
10.以下不等式中成立的是〔??? 〕
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
11.以下說法正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?命題 的否認(rèn)
B.?二項(xiàng)式 的展開式的各項(xiàng)的系數(shù)和為32
C.?直線 平面 ，那么“ 〞是 〞的必要不充分條件
D.?函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱
12.如圖，點(diǎn) 在正方體 的面對(duì)角線 上運(yùn)動(dòng)，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔??? 〕

A.?三棱錐 的體積不變???????????????????????????B.?平面
C.?????????????????????????????????????????????????????????D.?平面 平面
三、填空題
13.數(shù)列 滿足 ，且 ， ，那么 =________.
14.向量 = ， = ，假設(shè) ，且 ，那么 ， =________.
15.邊長(zhǎng)為1的正 的三點(diǎn)都在球 的球面上， 的延長(zhǎng)線與球面的交點(diǎn)為 ，假設(shè)三棱錐 的體積為 ，那么球 的體積為________.
16.定義：點(diǎn) 為曲線 外的一點(diǎn)， 為 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么 取最大值時(shí)， 叫點(diǎn) 對(duì)曲線 的張角.點(diǎn) 為拋物線 上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) 對(duì)圓 的張角為 ，那么 的最小值為________.
四、解答題
17.在 中，角 所對(duì)的邊分別為 ， ，且 ．
〔1〕求角 ；
〔2〕延長(zhǎng) 至 ，使得 ，求 面積的最大值.
18.數(shù)列 的首項(xiàng)為 ， 是 的前 項(xiàng)和.
〔1〕假設(shè) .求數(shù)列 的通項(xiàng)；
〔2〕假設(shè) ，證明： .
19.為檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，某藥物研究所科研人員從某市隨機(jī)選取20000名志愿者，并將該疫苗注射到這些人體內(nèi)，獨(dú)立環(huán)境下試驗(yàn)一段時(shí)間后檢測(cè)這些人的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值，統(tǒng)計(jì)得到如表頻率分布表：
醫(yī)學(xué)指標(biāo)值X







頻率







〔1〕根據(jù)頻率分布表，估計(jì)20000名志愿者的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值 (同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)；
〔2〕假設(shè)認(rèn)為注射該疫苗的人群的此項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值X服從正態(tài)分布 ，用〔1〕中的平均值 近似代替 ，且 ，且首次注射疫苗的人該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值不低于14時(shí)，那么認(rèn)定其體內(nèi)已經(jīng)產(chǎn)生抗體；現(xiàn)從該市隨機(jī)抽取3人進(jìn)行第一次疫苗注射，求能產(chǎn)生抗體的人數(shù) 的分布列與期望．
20.如圖，斜三棱柱 底面是邊長(zhǎng)2的正三角形， 為 所在平面上一點(diǎn)且四邊形 是菱形， ，四邊形 為正方形，平面 平面 .

〔1〕證明： 平面 ；
〔2〕求平面 與平面 所成二面角的正弦值.
21.在平面直角坐標(biāo)系 中，動(dòng)點(diǎn) 到定點(diǎn) 的距離與到定直線 的距離的比等于常數(shù)2.
〔1〕求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程；
〔2〕假設(shè)直線 與曲線 的另一個(gè)交點(diǎn)為 ，以 為直徑的圓交直線 于 兩點(diǎn)，設(shè)劣弧 所對(duì)的圓心角為 ，求證： 為定值.
22.設(shè)函數(shù) ，其中 為常數(shù)，且 .
〔1〕討論函數(shù) 的單調(diào)性；
〔2〕設(shè)函數(shù) ， 是函數(shù) 的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明： .

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】解：∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ 的取值范圍為：
故答案為：B．

【分析】 可求出集合，然后根據(jù)， 即可得出m的取值范圍.
2.【解析】【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù) ，
所以復(fù)數(shù) .
故答案為：A.

【分析】將 ? 代入復(fù)數(shù) ? ，利用復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算，化簡(jiǎn)計(jì)算及得結(jié)果。
3.【解析】【解答】函數(shù) ，可得 ，
所以在 處的切線的斜率為： 2，
切點(diǎn)坐標(biāo)為： ，所以切線方程為： ，即 .
故答案為：C

【分析】 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得在x=0處切線的斜率，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用斜截式方程可得切線的方程．
4.【解析】【解答】某學(xué)校高一年級(jí)星期五隨機(jī)安排6節(jié)課，
上午安排數(shù)學(xué)2節(jié)，語文和音樂各1節(jié)，下午安排英語?體育各1節(jié)，
根本領(lǐng)件總數(shù) ，
其中2節(jié)數(shù)學(xué)恰好相鄰包含的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù) ，
那么2節(jié)數(shù)學(xué)恰好相鄰的概率為 .
故答案為：B.

【分析】計(jì)算出根本領(lǐng)件總數(shù)和2節(jié)數(shù)學(xué)恰好相鄰的根本領(lǐng)件數(shù)，由古典概型的概率計(jì)算公式可得答案。
5.【解析】【解答】解：由題意可知， ，
，
又因?yàn)?，
那么 ，
故 ，
令 ，得 ，又 為整數(shù)，
所以 ， 為整數(shù)，
即估算我國(guó)森林面積在第14次森林資源清查時(shí)首次超過3億平方米.
故答案為：C.

【分析】先根據(jù)回歸方程過樣本中心點(diǎn)求得 ， ? 再解不等式即得結(jié)果。
6.【解析】【解答】解：已有刻度0，1，4，12，17，
利用已有刻度可以測(cè)量出1，4，12，17，3，8，5，11，16，13共10個(gè)長(zhǎng)度，
在刻度4到12之間增加一個(gè)整數(shù)刻度n ， 盡量與以上刻度不重復(fù)，
假設(shè)加8，可多測(cè)量出7，9，
假設(shè)加9，可多測(cè)量出9，3，
假設(shè)加10，可多測(cè)量出10，9，2，7，6，
假設(shè)加11，可多測(cè)量出10，7，6，
故答案為：C．

【分析】根據(jù)長(zhǎng)度與刻度的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可。
7.【解析】【解答】設(shè) ， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
假設(shè) ，所以 ，
可得 ，所以 ，
即 ， ，解得 .
故答案為：D.

【分析】由得， 可得， 再由得可得答案。
8.【解析】【解答】解：當(dāng) 時(shí)， ， ，
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，
作出 的圖象如圖：

令 ，那么函數(shù) 恰有5個(gè)零點(diǎn)，
即方程 恰有5個(gè)根，
即 有兩個(gè)不等實(shí)根，且一個(gè)根屬于 ，一個(gè)根屬于 內(nèi).
令 ，
那么 ，解得 .
∴實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
故答案為：A

【分析】當(dāng) 時(shí)， ， ，得出的單調(diào)性，令 ，那么函數(shù) 恰有5個(gè)零點(diǎn)，即 有兩個(gè)不等實(shí)根，且一個(gè)根屬于 ，一個(gè)根屬于 內(nèi)，令 ，列出方程組，解出即可得出實(shí)數(shù) 的取值范圍。
二、多項(xiàng)選擇題
9.【解析】【解答】根據(jù)函數(shù) 的局部圖象，
由 ，所以 ，A符合題意；
由 ，可得 ，
由點(diǎn) 在函數(shù)圖像上，可得 ，可得 ，解得 ，
因?yàn)?，可得 ，可得 ，
因?yàn)?，B不符合題意；
由于 ，C符合題意；
將函數(shù) 向右平移 個(gè)單位后所得函數(shù)為 為偶函數(shù)，D符合題意.
故答案為：ACD.

【分析】 由函數(shù)的圖象可求函數(shù)周期，由周期求出ω，由，結(jié)合， 可得φ，可得f〔x〕的解析式，再根據(jù)函數(shù)y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
10.【解析】【解答】解：函數(shù) ，在 上單調(diào)遞增，∴ ，A不符合題意；
函數(shù) ，在 上單調(diào)遞減， ，函數(shù) ，在 上單調(diào)遞增， ，
，B符合題意；
函數(shù) 單調(diào)遞減， ，C符合題意；
，D不符合題意，
故答案為：BC．

【分析】 利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)y=xx ， y=logx，可以直接解出．
11.【解析】【解答】解：對(duì)于A：命題 的否認(rèn) ，A符合題意；
對(duì)于B：二項(xiàng)式 的展開式的各項(xiàng)的系數(shù)和為 ，B不符合題意；
對(duì)于C：直線 平面 ，由于直線 與 的關(guān)系不確定，
故“ 〞是 〞的既不必要不充分條件，C不符合題意；
對(duì)于D：由于 關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)為 ，
故 ，滿足 ，
故函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，D符合題意.
故答案為：AD．

【分析】 直接利用命題的否認(rèn)，二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系，線面平行的判定和性質(zhì)，對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱軸，判斷A、B、C、D的結(jié)論.
12.【解析】【解答】解：對(duì)于A， 的面積是定值， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，故 到平面 的距離為定值，
∴三棱錐 的體積是定值，即三棱錐 的體積不變，A符合題意；

對(duì)于B， ，
∴平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，B符合題意；

對(duì)于C，以 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體 的棱長(zhǎng)為2，P在 上，故可設(shè) ，
那么 ，
， ，
那么 不一定為0，
和 不垂直，C不符合題意；
對(duì)于D，設(shè) ，

那么 ，
， ， ， ，
設(shè)平面平面 的法向量 ，
那么 ，取 ，得 ，
設(shè)平面 的法向量 ，
那么 ，取 ，得 ，
.
∴平面 和平面 垂直，D符合題意.
故答案為：ABD.

【分析】 根據(jù)空間中的線線、線面以及面面之間的平行與垂直關(guān)系，對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行分析、判斷，得出正確的結(jié)論．
三、填空題
13.【解析】【解答】解：數(shù)列 滿足 ，
所以數(shù)列 為等差數(shù)列；
故公差 ，
所以 .
故答案為：4.

【分析】由得數(shù)列 為等差數(shù)列，求出d，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出。
14.【解析】【解答】根據(jù)題意，向量 = ， = ，那么 ，
假設(shè) ，那么 ，
解可得： 或 ，
又由 ，那么 ，所以 ，
那么有 ，
故 ， ，
故答案為： .

【分析】 根據(jù)題意，求出，由向量垂直的判斷方法可得，解可得k的值，即可得 的坐標(biāo)，由向量夾角公式計(jì)算可得答案．
15.【解析】【解答】作 平面 交 的延長(zhǎng)線與 ，設(shè) ，

設(shè)球心為 ，球的半徑 ，過 三點(diǎn)的小圓的圓心為 ，
那么 平面 ，所以 ，由 平面 ，得 平面 ，
且 ，又 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
，
∴三棱錐 高 ，
∵ 是邊長(zhǎng)為1的正三角形，三棱錐 的體積為 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，那么球 的體積為 ，
故答案為： .

【分析】作 平面 交 的延長(zhǎng)線與 ， 設(shè)球心為 ，球的半徑 ，過 三點(diǎn)的小圓的圓心為 ，可得，且 ， 由正弦定理得?，可得， 再根據(jù)三棱錐 ?的體積可求得。
16.【解析】【解答】解：如圖， ，

要使 最小，那么 最大，即需 最小.
設(shè) ，那么 ，
∴當(dāng) ，即 時(shí)， ， ，
此時(shí) 或 ， .
故答案為： .
【分析】把此題轉(zhuǎn)化為PM的最小距離，再利用公式 ， 求得 ?的最小值 。
四、解答題
17.【解析】【分析】〔1〕直接利用等比數(shù)列的等比中項(xiàng)和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果；
〔2〕利用余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.
18.【解析】【分析】〔1〕 由??得，當(dāng)??時(shí)，?， 兩式相減即可求出結(jié)果；
?
〔2〕 假設(shè)??得：?， 所以 ??，……，??，??，上式相加即可證得 ?.
19.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)平均值計(jì)算公式即可求解；
〔2〕根據(jù)正態(tài)分布求得依題意得服從二項(xiàng)分布，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得所有可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列與期望。
20.【解析】【分析】 〔1〕根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明；
〔2〕用向量數(shù)量積計(jì)算二面角余弦值，進(jìn)而求解．
21.【解析】【分析】 〔1〕設(shè)P〔x，y〕，由 ? ，代入相應(yīng)條件化簡(jiǎn)運(yùn)算即可；
〔2〕分兩類討論：①當(dāng)PF⊥x軸時(shí)，易得圓心為〔2，0〕，半徑為3，求得 ? ；②當(dāng)PF不垂直x軸時(shí)，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，求得圓心和半徑，再由垂徑定理，可得證．
22.【解析】【分析】〔1〕對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得 ， 令??，開口向上，判別式??， 分 ? ， ??兩種情況分析 函數(shù)??的單調(diào)性 ；
〔2〕 由〔1〕知函數(shù)??的兩個(gè)極值點(diǎn)為??，那么??，那么 ? ，
??， 記， 求導(dǎo)得出 ?的單調(diào)性，即可證得 。

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