1. 在直角坐標(biāo)系中，直線y=?3x+1的傾斜角為（ ）
A.2π3B.π6C.5π6D.π3

2. 為了了解1500名社區(qū)成員早鍛煉情況，對他們隨機編號為1，2，…，1500號，從中抽取一個容量為50的樣本．若采用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為（ ）
A.20B.30C.40D.50

3. 已知直線x+2ay?1=0與直線(3a?1)x?y?1=0垂直，則a的值為（ ）
A.0B.16C.1D.13

4. 已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為（ ）
A.(x?1)2+y2=4B.(x?2)2+y2=4C.(x+1)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4

5. 直線y=ax+a?1(a∈R)所過定點的坐標(biāo)為（ ）
A.(?1, ?1)B.(?1, 1)C.(1, ?1)D.(1, 1)

6. 已知x，y的取值如表，從散點圖知，x，y線性相關(guān)，且?y=?bx+0.7，則下列說法正確的是（ ）
A.回歸直線一定過點(2.2, 2.2)
B.x每增加1個單位，y就增加1個單位
C.當(dāng)x=6時，y的預(yù)報值為4.3
D.x每增加1個單位，y就增加0.7個單位

7. 已知圓C的方程為x2+y2?2x+6y+1=0，點P在圓C上，O是坐標(biāo)原點，則|OP|的最小值為（ ）
A.3B.10?3C.3?3D.22?2

8. 已知點P(x, y)在圓C:x2+(y?1)2=16上，則z＝x2+y2?8x?8y+32的最小值為（ ）
A.1B.2C.3D.2

9. 點P(1, 2)在圓x2+y2?4x+2y+F=0的內(nèi)部，若圓中以P為中點的弦長為2，則F=( )
A.?6B.?7C.?8D.?9

10. 把直線y=x，y=?x，x=1圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一圈，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為( )
A.π3B.2π3C.4π3D.2π

11. 已知過點M(2, ?4)的直線l與圓C：(x?1)2+(y+2)2=5相切，且與直線m:ax?2y+3=0垂直，則實數(shù)a的值為（ ）
A.4B.2C.?2D.?4

12. 已知直線l:x?3y+6=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|=( )
A.23B.4C.43D.6
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

運行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果S=________．


現(xiàn)有紅球n個白球350個，用分層抽樣方法從中隨機抽取120個小球，其中抽出的紅球有50個．則n=________．

已知直線3x+2y?3=0與6x+my+1=0相互平行，則它們之間的距離是________．

若直線y=x+b與曲線y=3?4x?x2有公共點，則b的取值范圍是________．
三、解答題：本大題共3小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．

根據(jù)下列條件，求直線方程：
（1）過點A(1, 2)，且傾斜角是直線y=x+3的傾斜角的2倍；

（2）經(jīng)過點P(3, 2)，且兩坐標(biāo)軸上的截距相等．

若點A(?2, ?1)與點B(3, 2)到直線ax+y+1=0的距離相等，求a的值．

某校為了增強學(xué)生的愛國情懷，舉辦愛國教育知識競賽，從參加競賽的學(xué)生中抽出60人，將其成績分為六段[40, 50),[50, 60),…,[90, 100]后畫出如圖頻率分布直方圖．觀察圖形，回答下列問題：

（1）估計這次考試的眾數(shù)m與中位數(shù)n（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）估計這次考試的及格率．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年安徽省宣城市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．
1.
【答案】
A
【考點】
直線的傾斜角
直線的點斜式方程
【解析】
由于直線y=?3x+1的斜率k=?3可利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系再結(jié)合傾斜角的范圍即可得解．
【解答】
設(shè)直線y=?3x+1的傾斜角為α
∵ 直線y=?3x+1
∴ 斜率k=?3=tanα
又∵ α∈[0, π)
∴ α=2π3
2.
【答案】
B
【考點】
系統(tǒng)抽樣方法
【解析】
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義進行求解．
【解答】
總體中個體數(shù)是1500，樣本容量是50，
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的步驟，得到分段的間隔k=150050=30，
3.
【答案】
C
【考點】
直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系
【解析】
對a分類討論L利用兩條直線相互垂直的充要條件即可得出．
【解答】
a=0時，兩條直線不垂直．
a≠0，由?12a×(?3a?1?1)=?1，解得：a=1．
綜上可得：a=1．
4.
【答案】
B
【考點】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
設(shè)出圓心坐標(biāo)為C(a, 0)(a>0)，由點到直線的距離公式列式求得a值，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．
【解答】
設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a, 0)(a>0)，
由題意得，|3a+4×0+4|32+42＝2，解得a=2．
∴ 圓C的方程為(x?2)2+y2=4．
5.
【答案】
A
【考點】
直線系方程
【解析】
先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得x、y的值，可得直線所過定點的坐標(biāo)．
【解答】
直線y=ax+a?1(a∈R)，即 a(x+1)?y?1=0，令x+1=0，求得x=?1，y=?1，
可得直線所過定點的坐標(biāo)為(?1, ?1)，
6.
【答案】
C
【考點】
求解線性回歸方程
【解析】
由已知求得樣本點的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程即可求得?b值，進一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項即可得答案．
【解答】
由已知得，xˉ=1+2+3+44=2.5，yˉ=1.4+1.8+2.4+3.24=2.2，
故A錯誤；
由回歸直線方程?y=?bx+0.7恒過樣本中心點(2.5, 2.2)，得2.2=?b×2.5+0.7，解得?b=0.6．
∴ 回歸直線方程為?y＝0.6x+0.7．
x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故B錯誤；
當(dāng)x=6時，y的預(yù)報值為4.3，故C正確；
x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．
∴ 正確的是C．
7.
【答案】
B
【考點】
直線與圓的位置關(guān)系
圓的一般方程
【解析】
求出圓的圓心與半徑，然后利用兩點間距離公式與半徑的差，求解|OP|的最小值．
【解答】
圓C的方程為x2+y2?2x+6y+1=0，即(x?1)2+(y+3)2=9，
圓的圓心(1, ?3)，半徑為3．
點P在圓C上，O是坐標(biāo)原點，則|OP|的最小值：12+(?3)2?3=10?3．
8.
【答案】
A
【考點】
圓與圓的位置關(guān)系及其判定
【解析】
根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，將z變形可得z=(x?4)2+(y?4)2，其幾何意義為點(x, y)到點(4, 4)的距離，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系分析可得答案．
【解答】
根據(jù)題意，圓C:x2+(y?1)2=16的圓心為(0, 1)，半徑r=4，
又由z＝x2+y2?8x?8y+32=(x?4)2+(y?4)2，其幾何意義為點(x, y)到點(4, 4)的距離，
圓心C到點(4, 4)的距離d=9+16=5，
而點P(x, y)在圓C:x2+(y?1)2=16上，則z的最小值為d?r=5?4=1，
9.
【答案】
A
【考點】
直線與圓相交的性質(zhì)
【解析】
根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，設(shè)圓心為C，求出PC的長，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得|PC|2+1=r2，代入數(shù)據(jù)計算可得答案．
【解答】
根據(jù)題意，圓x2+y2?4x+2y+F=0，即(x?2)2+(y+1)2=5?F，有5?F>0，
其圓心為(2, ?1)，半徑r=5?F，
設(shè)圓心為C，則|PC|=1+9=10，
若圓中以P為中點的弦長為2，則有|PC|2+1=r2，即10+1=5?F，解可得F=?6，
10.
【答案】
C
【考點】
旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）
柱體、錐體、臺體的體積計算
【解析】
由題意知該旋轉(zhuǎn)體是一個圓柱體內(nèi)挖掉兩個全等的圓錐，
結(jié)合題意求出旋轉(zhuǎn)體的體積為．
【解答】
解：由題意知，
該旋轉(zhuǎn)體為底面半徑是1，高為2的圓柱，挖掉兩個底面半徑為1，高為1的圓錐，
則所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=V圓柱?2V圓錐=π?12?2?2?13?π?12?1=4π3．
故選C.
11.
【答案】
D
【考點】
圓的切線方程
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
根據(jù)題意，分析可得點M在圓C上，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可得直線CM與直線m平行，求出直線CM的斜率，分析可得a2=?2，解可得a的值，即可得答案．
【解答】
根據(jù)題意，圓C：(x?1)2+(y+2)2=5，圓心C(1, ?2)，
而點M(2, ?4)，則有(2?1)2+(?4+2)2=5，則點M在圓C上，
若過點M的切線與直線m:ax?2y+3=0垂直，則直線CM與直線m平行，
而直線MC的斜率k=(?4)?(?2)2?1=?2，
則有a2=?2，則a=?4，
12.
【答案】
B
【考點】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
利用垂徑定理計算弦長|AB|，計算直線l的傾斜角，利用三角函數(shù)的定義計算CD．
【解答】
圓心(0, 0)到直線l的距離d=62=3，圓的半徑r=23，
∴ |AB|=2r2?d2=23，
設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα=33，∴ α=30°，
過C作l的平行線交BD于E，則∠ECD=30°，
CE=AB=23，
∴ CD=CEcs∠ECD=23cs30°=4．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
【答案】
14
【考點】
程序框圖
【解析】
由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．
【解答】
模擬程序的運行，可得
x=7，y=?1，S=0，
a=8，S=8，
滿足條件a>2，執(zhí)行循環(huán)體，x=5，y=9，a=4，S=12，
滿足條件a>2，執(zhí)行循環(huán)體，x=3，y=5，a=2，S=14，
此時，不滿足條件a>2，退出循環(huán)，輸出S的值為14．
【答案】
250
【考點】
分層抽樣方法
【解析】
根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可．
【解答】
根據(jù)分層抽樣的定義可得：50120=nn+350?n=250；
【答案】
71326
【考點】
兩條平行直線間的距離
直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系
【解析】
通過直線的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通過平行線的距離公式求出距離即可．
【解答】
解：直線3x+2y?3=0與6x+my+1=0相互平行，
所以m=4，由平行線的距離公式可知：
d=|12+3|32+22=71326．
故答案為：71326．
【答案】
[1?22, 3]
【考點】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
曲線即 (x?2)2+(y?3)2=4(1≤y≤3)，表示以A(2, 3)為圓心，以2為半徑的一個半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，解得 b=1+22 b=1?22．結(jié)合圖象可得b的范圍．
【解答】
解：如圖所示：曲線y=3?4x?x2，即 (x?2)2+(y?3)2=4( 1≤y≤3, 0≤x≤4)，
表示以A(2, 3)為圓心，以2為半徑的一個半圓．
由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，可得 |2?3+b|2=2，∴ b=1+22，或b=1?22．
結(jié)合圖象可得1?22≤b≤3，
故答案為：[1?22, 3]．
三、解答題：本大題共3小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
【答案】
直線y=x+3的斜率為1，傾斜角為π4，因此要求的直線傾斜角為π2．
因此所求的直線方程為：x=1．
當(dāng)直線經(jīng)過原點時，可得要求的直線方程為：y=23x．
當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，可得要求的直線斜率為?1，因此方程為：y?2=?(x?3)，y=?x+5．
【考點】
直線的兩點式方程
直線的一般式方程與直線的性質(zhì)
【解析】
（1）直線y=x+3的斜率為1，傾斜角為π4，因此要求的直線傾斜角為π2．即可所求的直線方程．
（2）當(dāng)直線經(jīng)過原點時，可得要求的直線方程．當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，可得要求的直線斜率為?1，利用點斜式即可得出要求的直線方程．
【解答】
直線y=x+3的斜率為1，傾斜角為π4，因此要求的直線傾斜角為π2．
因此所求的直線方程為：x=1．
當(dāng)直線經(jīng)過原點時，可得要求的直線方程為：y=23x．
當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，可得要求的直線斜率為?1，因此方程為：y?2=?(x?3)，y=?x+5．
【答案】
∵ 點A(?2, ?1)與點B(3, 2)到直線ax+y+1=0的距離相等，
∴ |?2a?1+1|a2+1=|3a+2+1|a2+1，
解得a=?35或a=?3．
∴ a的值為?35或?3．
【考點】
點到直線的距離公式
【解析】
利用點到直線的距離公式直接求解．
【解答】
∵ 點A(?2, ?1)與點B(3, 2)到直線ax+y+1=0的距離相等，
∴ |?2a?1+1|a2+1=|3a+2+1|a2+1，
解得a=?35或a=?3．
∴ a的值為?35或?3．
【答案】
由頻率分布直方圖估計這次考試的眾數(shù)：
m=70+802=75.0．
(0.01+a+a+0.03+0.025+0.005)×10=1，
解得a=0.015，
∴ [40, 70)的頻率為：
(0.01+0.015+0.015)×10=0.4，
[70, 80)的頻率為0.03×10=0.3，
∴ 中位數(shù)n=70+0.5?0.10.3×10≈73.3．
估計這次考試的及格率為：
1?(0.01+0.015)×10=0.75=75%．
【考點】
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
頻率分布直方圖
【解析】
（1）由頻率分布直方圖能估計這次考試的眾數(shù)和中位數(shù)．
（2）由頻率分布直方圖能估計這次考試的及格率．
【解答】
由頻率分布直方圖估計這次考試的眾數(shù)：
m=70+802=75.0．
(0.01+a+a+0.03+0.025+0.005)×10=1，
解得a=0.015，
∴ [40, 70)的頻率為：
(0.01+0.015+0.015)×10=0.4，
[70, 80)的頻率為0.03×10=0.3，
∴ 中位數(shù)n=70+0.5?0.10.3×10≈73.3．
估計這次考試的及格率為：
1?(0.01+0.015)×10=0.75=75%．x
1
2
3
4
y
1.4
1.8
2.4
3.2

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