1. 已知在等差數(shù)列{an}中，a1=2，公差d=1，則a3=（ ）
A.3B.4C.5D.6

2. 已知拋物線y2=8x，那么其焦點到準(zhǔn)線的距離是（ ）
A.2B.4C.6D.8

3. 命題“若x=1，則x2b，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A.ac>bcB.a?bc2>0C.1a2b

5. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=45°， B=60°，a=2，則b=( )
A.6B.2C.3D.26

6. 橢圓x22+y2=1的焦點坐標(biāo)是（ ）
A.±1,0B.0,±1C.±3,0D.0,±3

7. 已知變量x，y滿足約束條件 x+y≥0，x≤1，y≤0， 則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為( )
A.0 B.1 C.2 D.3

8. △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，c=3，B=π6，則△ABC的面積為（ ）
A.32B.34C.32或3D.32或34

9. 已知命題p:?x∈R，x>sinx，則（ ）
A.?p:?x∈R，x2”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件

12. 等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)且a4a7+a5a6=18，則lg3a1+lg3a2+?+lg3a10=( )
A.12B.10C.8D.2+lg35
二、填空題

若x∈0,+∞，則x+4x的最小值是________.

在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a=2，b=3，c=4，則csA=________．

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=2an?2，則數(shù)列{an}的通項公式an=________．

已知點P是雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0上任意一個點，若點P到雙曲線兩條漸近線的距離乘積等于b23，則雙曲線的離心率為________.
三、解答題

在各項均為正項的等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3．
(1)求{an}的通項公式；

(2)記Sn為{an}的前n項和，求Sn．

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3a=2csinA．
(1)求角C；

(2)若c=7，且△ABC的面積為332，求a+b的值．

已知a∈R，命題p:?x∈?2,?1， a≤x2，命題q:?x∈R，x2+2ax?a?2=0.
(1)若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

某單位建造一間地面面積為12m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5m，房屋正面的造價為400元/m2，房屋側(cè)面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面的費用．設(shè)房屋的總造價為y元．
(1)求y用x表示的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+...+(2n?1)an=2n．
(1)求{an}的通項公式；

(2)求數(shù)列{an2n+1}的前n項和．

已知點A(0, ?2)，橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為233，O為坐標(biāo)原點．
(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年廣西省桂林市高二（上）期末考試數(shù)學(xué)（文）試卷
一、選擇題
1.
【答案】
B
【考點】
等差數(shù)列的通項公式
【解析】
利用等差數(shù)列的通項公式直接求解．
【解答】
解：在等差數(shù)列{an}中，a1=2，公差d=1，
∴ a3=a1+2d=2+2×1=4．
故選B.
2.
【答案】
B
【考點】
拋物線的定義
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)．
【解答】
解：∵2p=8，∴p=4，∴ 拋物線y2=8x的焦點到準(zhǔn)線的距離是4.
故選B.
3.
【答案】
D
【考點】
四種命題間的逆否關(guān)系
【解析】
首先否定原命題的題設(shè)做逆否命題的結(jié)論，再否定原命題的結(jié)論做逆否命題的題設(shè)，寫出新命題就得到原命題的逆否命題．
【解答】
解：命題"若x=1，則x2≤2”的否命題是："若x≠1，則x2≥2".
故選D.
4.
【答案】
D
【考點】
不等式的基本性質(zhì)
【解析】
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合特殊值，可判斷選項正誤．
【解答】
解：∵ a，b，c∈R且a>b，
∴ 取c=0，ac=bc=0，(a?b)c2=0，可排除A，B；
取a=1，b=?1，1>?1，1a>1b，可排除C；
由不等式的性質(zhì)知當(dāng)a>b時，2a>2b，故D正確．
故選D．
5.
【答案】
A
【考點】
正弦定理
【解析】
由A，B的度數(shù)求出sinA與sinB的值，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
【解答】
解：∵ A=45°，B=60°，a=2，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB得：
b=asinBsinA=2×3222=6．
故選A.
6.
【答案】
A
【考點】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得基本量，求得c，得焦點坐標(biāo)..
【解答】
解：由題意，橢圓焦點在x軸上，
a2=2，b2=1,
∴c2=a2?b2=1，
即c=1，
∴焦點坐標(biāo)為±1,0.
故選A.
7.
【答案】
C
【考點】
簡單線性規(guī)劃
求線性目標(biāo)函數(shù)的最值
【解析】
（1）畫出不等式組表示的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.
【解答】
解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：
由z=2x+y得y=?2x+z，
平移直線y=?2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=?2x+z經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大，
聯(lián)立y=0，x=1，解得A(1,0)，
則zmax=2×1+0=2.
故選C.
8.
【答案】
B
【考點】
三角形的面積公式
【解析】
由已知利用三角形的面積公式即可計算得解．
【解答】
解：因為a=1，c=3，B=π6，
所以S△ABC=12acsinB=12×1×3×12=34.
故選B.
9.
【答案】
C
【考點】
命題的否定
【解析】
根據(jù)全稱命題否定的方法，結(jié)合已知中原命題，可得答案．
【解答】
解：∵ p:?x∈R，x>sinx，
∴ p的否定形式為?x∈R，x≤sinx.
故選C.
10.
【答案】
B
【考點】
雙曲線的漸近線
【解析】
根據(jù)雙曲線漸近線方程的求法，結(jié)合題意，直接計算可得答案．
【解答】
解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為x2?y28=1，
則其漸近線方程為x2?y28=0，
化簡可得22x±y=0．
故x2?y28=1的漸近線方程為：y=±22x．
故選B.
11.
【答案】
A
【考點】
必要條件、充分條件與充要條件的判斷
【解析】
（1）根據(jù)題目所給信息進行解題即可.
【解答】
解：已知|a|>2 ，解得a2，
則“a>2”是“|a|>2”的充分不必要條件.
故選A.
12.
【答案】
B
【考點】
對數(shù)的運算性質(zhì)
等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】
由a4a7+a5a6=18，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a7=a5a6=9=an?a11?n，再利用對數(shù)的運算法則即可得出．
【解答】
解：∵ a4a7+a5a6=18，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：
a4a7=a5a6=9=an?a11?n(n∈N?, n≤10)，
∴ lg3a1+lg3a2+?+lg3a10
=lg3(a1a2??a10)=lg395=10．
故選B．
二、填空題
【答案】
4
【考點】
基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
【解析】
直接利用基本不等式求最值即可.
【解答】
解：∵ x∈0,+∞，
∴ x+4x≥2x?4x=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即x=2時取等號，
∴ x+4x的最小值為4.
故答案為：4.
【答案】
78
【考點】
余弦定理
【解析】
由余弦定理代入三角形的邊長，可得出答案．
【解答】
解：在△ABC中，
csA=b2+c2?a22bc=9+16?42×3×4=78.
故答案為：78.
【答案】
2n
【考點】
數(shù)列遞推式
【解析】
直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式．
【解答】
解：∵Sn=2an?2 ，當(dāng)n=1 時，S1=2a1?2 ，
∴a1=2．
當(dāng)n≥2時，Sn=2an?2，Sn?1=2an?1?2，
兩式相減得，an=2an?2an?1(n≥2)，
∴an=2an?1，n≥2，
∵a1=2≠0，
∴anan?1=2，n≥2．
∴{an}是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n．
故答案為：2n.
【答案】
3
【考點】
雙曲線的離心率
雙曲線的漸近線
點到直線的距離公式
【解析】
設(shè)Px0,y0 ，根據(jù)點P到雙曲線兩條漸近線的距離乘積等b23，可得a與c的關(guān)系，即可求出離心率．
【解答】
解：設(shè)Px0,y0 ，則x02a2?y02b2=1，
即b2x02?a2y02=a2b2，
雙曲線兩條漸近線的方程為bx±ay=0，
則點P到兩條漸近線的距離乘積為：
|bx0+ay0|a2+b2?|bx0?ay0|a2+b2
=|b2x02?a2y02|a2+b2=a2b2c2=b23，
故e=ca=3．
故答案為：3．
三、解答題
【答案】
解：(1)∵ 在各項均為正項的等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3，
∴ 1×q4=4×(1×q2)，
解得q=2或q=?2（舍去），
∴ {an}的通項公式為an=2n?1.
(2)∵ a1=1，q=2，
∴ Sn=1×(1?2n)1?2=2n?1．
【考點】
等比數(shù)列的通項公式
等比數(shù)列的前n項和
【解析】
（1）利用等比數(shù)列通項公式列方程求出公比q，由此能求出{an}的通項公式；
（2）由a1＝1，q＝2，能求出{an}的前n項和Sn．
【解答】
解：(1)∵ 在各項均為正項的等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3，
∴ 1×q4=4×(1×q2)，
解得q=2或q=?2（舍去），
∴ {an}的通項公式為an=2n?1.
(2)∵ a1=1，q=2，
∴ Sn=1×(1?2n)1?2=2n?1．
【答案】
解：(1)由3a=2csinA及正弦定理得：ac=2sinA3=sinAsinC，
∵ sinA≠0，∴ sinC=32，
在銳角△ABC中，C=π3．
(2)∵ c=7，C=π3，
由面積公式得12absinπ3=332，即ab=6，①
由余弦定理得a2+b2?2abcsπ3=7，即a2+b2?ab=7，②
由①②得(a+b)2=25，故a+b=5．
【考點】
正弦定理
余弦定理
三角形的面積公式
【解析】
（1）通過正弦定理把題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，化簡整理求得sinC的值，進而求得C．
（2）先利用面積公式求得ab的值，進而利用余弦定理求得a2+b2?ab，最后聯(lián)立變形求得a+b的值．
【解答】
解：(1)由3a=2csinA及正弦定理得：ac=2sinA3=sinAsinC，
∵ sinA≠0，∴ sinC=32，
在銳角△ABC中，C=π3．
(2)∵ c=7，C=π3，
由面積公式得12absinπ3=332，即ab=6，①
由余弦定理得a2+b2?2abcsπ3=7，即a2+b2?ab=7，②
由①②得(a+b)2=25，故a+b=5．
【答案】
解：(1)若命題p: ?x∈?2,?1， a≤x2為真，
∴ 則令fx=x2， a≤fxmin.
又∵ fxmin=f?1=1，
∴ a≤1，∴ a的取值范圍為(?∞,1].
(2)因為命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，
所以命題p與q一真—假，
當(dāng)命題q為真命題時， Δ=4a2+4a?2≥0，解得a≤?2或a≥1，
當(dāng)命題p為真，命題q為假時，有a≤1,?20，
∴ △OPQ的面積最大時直線l的方程為：y=±72x?2．

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