1. 直線l過點P(?1, 2)，且傾斜角為45°，則直線l的方程為（ ）
A.x?y+1＝0B.x?y?1＝0C.x?y?3＝0D.x?y+3＝0

2. 設(shè)P是橢圓x25+y23=1上的動點，則P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為( )
A.22B.23C.25D.42

3. 已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是( )
A.若m // α，n // α，則m // nB.若m⊥α，n?α，則m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，則n // αD.若m // α，m⊥n，則n⊥α

4. 兩條平行線l1:3x?4y?1=0與l2:6x?8y?7=0間的距離為( )
A.12B.35C.65D.1

5. 在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則（ ）
A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC

6. 用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）
A.24B.48C.60D.72

7. 如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于( )

A.45°B.60°C.90°D.120°

8. 直線3x+4y＝b與圓x2+y2?2x?2y+1＝0相切，則b的值是（ ）
A.?2或12B.2或?12C.?2或?12D.2或12

9. 若圓C1:x2+y2＝1與圓C2:x2+y2?6x?8y+m＝0外切，則m＝（ ）
A.21B.19C.9D.?11

10. 如圖，P是正方體ABCD?A1B1C1D1對角線AC1上一動點，設(shè)AP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則f(x)的圖象大致是（ ）
A.B.
C.D.
二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分．

在(x?2x)6的二項展開式中，常數(shù)項等于________．（用數(shù)字作答）

已知雙曲線的方程為x23?y2=1，則此雙曲線的焦點到漸近線的距離為________．

已知平面α，β，γ．給出下列三個論斷：①α⊥β；②α⊥γ；③β // γ．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：________．

已知三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為94，底面是邊長為3的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為________．

已知F是拋物線C:y2=4x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若M為FN的中點，則|FN|=________．
三、解答題：本大題共5個小題，共40分．應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝?x2+1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程．

如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點．求證：

（1）直線EF // 面ACD；

（2）平面EFC⊥面BCD．

已知△ABC的三個頂點是A(1, 1)，B(?1, 3)，C(3, 4)．
（1）求BC邊的高所在直線l1的方程；

（2）若直線l2過C點，且A、B到直線l2的距離相等，求直線l2的方程．

已知在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F(xiàn)，G，O分別是PC，PD，BC，AD的中點．
(Ⅰ)求證：PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大?。?br>

已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(1, 0)，離心率為22．直線l過點F且不平行于坐標軸，l與C有兩交點A，B，線段AB的中點為M．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
(Ⅲ)延長線段OM與橢圓C交于點P，若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時直線l的斜率．
參考答案與試題解析
2020-2021學年北京市石景山區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．
1.
【答案】
D
【考點】
直線的點斜式方程
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
2.
【答案】
C
【考點】
橢圓的定義
【解析】
判斷橢圓長軸（焦點坐標）所在的軸，求出a，接利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】
解：橢圓x25+y23=1的焦點坐標在x軸，a=5，
P是橢圓x25+y23=1上的動點，由橢圓的定義可知，
P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為2a=25．
故選C．
3.
【答案】
B
【考點】
直線與平面垂直的判定
直線與平面平行的判定
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
【解析】
A．運用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關(guān)系，即可判斷；
B．運用線面垂直的性質(zhì)，即可判斷；
C．運用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；
D．運用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定，即可判斷．
【解答】
解：A．若m // α，n // α，則m，n相交或平行或異面，故A錯；
B．若m⊥α，n?α，則m⊥n，故B正確；
C．若m⊥α，m⊥n，則n // α或n?α，故C錯；
D．若m // α，m⊥n，則n // α或n?α或n⊥α，故D錯．
故選B．
4.
【答案】
A
【考點】
兩條平行直線間的距離
【解析】
把兩直線的方程中x，y的系數(shù)化為相同的，然后利用兩平行線間的距離公式，求得結(jié)果．
【解答】
解：兩條平行線l1:3x?4y?1=0，即6x?8y?2=0，
與它平行的直線l2:6x?8y?7=0，
故它們之間的距離為d=|?2+7|36+64=12.
故選A．
5.
【答案】
C
【考點】
空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：由正方體的性質(zhì)，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，
所以BC1⊥平面A1B1CD，
又A1E?平面A1B1CD，
所以A1E⊥BC1．
故選C．
6.
【答案】
D
【考點】
排列、組合及簡單計數(shù)問題
【解析】
用1、2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，可以看作是填5個空，要求個位是奇數(shù)，其它位置無條件限制，因此先從3個奇數(shù)中任選1個填入，其它4個數(shù)在4個位置上全排列即可．
【解答】
要組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位只能排1，3，5中的一個數(shù)，共有3種排法，
然后還剩4個數(shù)，剩余的4個數(shù)可以在十位到萬位4個位置上全排列，共有A44=24種排法．
由分步乘法計數(shù)原理得，由1、2、3、4、5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有3×24＝72個．
7.
【答案】
B
【考點】
異面直線及其所成的角
【解析】
先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B，得到的銳角∠A1BC1就是異面直線所成的角，在三角形A1BC1中求出此角即可．
【解答】
解：如圖，連接A1B，BC1，A1C1，
則A1B=BC1=A1C1，
且EF // A1B，GH // BC1，
所以異面直線EF與GH所成的角等于60°，
故選B．
8.
【答案】
D
【考點】
直線與圓的位置關(guān)系
圓的切線方程
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
9.
【答案】
C
【考點】
圓與圓的位置關(guān)系及其判定
圓的切線方程
【解析】
化兩圓的一般式方程為標準方程，求出圓心和半徑，由兩圓心間的距離等于半徑和列式求得m值．
【解答】
由C1:x2+y2＝1，得圓心C1(0, 0)，半徑為1，
由圓C2:x2+y2?6x?8y+m＝0，得(x?3)2+(y?4)2＝25?m，
∴ 圓心C2(3, 4)，半徑為25?m．
∵ 圓C1與圓C2外切，
∴ 32+42=25?m+1，
解得：m＝9．
10.
【答案】
A
【考點】
棱柱的結(jié)構(gòu)特征
函數(shù)的圖象變換
【解析】
先設(shè)正方體的棱長為1，連接AC交BD于O，連PO，則PO是等腰△PBD的高，從而△PBD的面積為f(x)=12BD×PO，再在△PAO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f(x)的解析式，畫出其圖象，對照選項即可解決問題．
【解答】
解：設(shè)正方體的棱長為1，連接AC交BD于O，連PO，則PO是等腰△PBD的高，
故△PBD的面積為f(x)=12BD×PO，
在三角形PAO中，PO=PA2+AO2?2PA×AOcs∠PAO=x2+12?2x×22×23，
∴ f(x)=12×2×x2+12?2x×22×23=22x2?23x+12，
畫出其圖象，如圖所示，
對照選項，A正確．
故選A．
二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分．
【答案】
?160
【考點】
二項式定理及相關(guān)概念
【解析】
先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值．
【解答】
(x?2x)6的二項式展開式的通項公式為Tr+1=C6r?(?2)r?x6?2r，
令6?2r＝0，求得r＝3，可得常數(shù)項為C63?(?2)3＝?160，
【答案】
1
【考點】
雙曲線的漸近線
點到直線的距離公式
【解析】
先由題中條件求出焦點坐標和漸近線方程，再代入點到直線的距離公式即可求出結(jié)論．
【解答】
解：由題意得：雙曲線的一個焦點坐標為(2, 0)，
一條漸近線方程為y=?33x，即x+3y=0，
所以焦點到其漸近線的距離d=|1×2+3×0|1+3=1．
故答案為：1．
【答案】
①③?②
【考點】
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
由α⊥β，β // γ．利用面面垂直的判定定理得α⊥γ．
【解答】
平面α，β，γ．給出下列三個論斷：①α⊥β；②α⊥γ；③β // γ．
∵ α⊥β，β // γ．∴ 由面面垂直的判定定理得α⊥γ，
∴ 以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，
寫出一個正確的命題為：①③?②．
【答案】
60°
【考點】
直線與平面所成的角
【解析】
利用三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直和線面角的定義可知，∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角．利用三棱錐的體積計算公式可得AA1，再利用正三角形的性質(zhì)可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=AA1A1P，可得結(jié)論．
【解答】
解：如圖所示，
∵ AA1⊥底面A1B1C1，∴ ∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角.
∵ 平面ABC // 平面A1B1C1，∴ ∠APA1為PA與平面ABC所成角．
∵ S△A1B1C1=34×(3)2=334，
∴ V三棱柱ABC?A1B1C1=AA1×S△A1B1C1=334AA1，解得AA1=3．
又P為底面正三角形A1B1C1的中心，
∴ A1P=23A1D=1.
在Rt△AA1P中，tan∠APA1=AA1A1P=3，
∴ ∠APA1=60°．
故答案為：60°．
【答案】
3
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
求出拋物線的焦點坐標，推出M坐標，然后求解即可．
【解答】
拋物線C:y2=4x的焦點F(1, 0)，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，
可知M的橫坐標為：12，
則|FM|=12+1=112，
|FN|=2|FM|=2×112=3．
三、解答題：本大題共5個小題，共40分．應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
【答案】
曲線y＝?x2+1，令x＝4，與y軸的交點為(0，
令y＝0，可得x＝?3或1，0)，5)，
設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝6(D2+E2?7F>0)，
則，解得D＝0，F(xiàn)＝?4，
故圓C的方程為x2+y2?6＝0．
【考點】
圓的標準方程
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
∵ E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點．
∴ EF是△ABD的中位線，∴ EF // AD，
∵ EF?面ACD，AD?面ACD，∴ 直線EF // 面ACD；
∵ AD⊥BD，EF // AD，∴ EF⊥BD，
∵ CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點，∴ CF⊥BD
又EF∩CF＝F，∴ BD⊥面EFC，
∵ BD?面BCD，∴ 面EFC⊥面BCD
【考點】
直線與平面平行
平面與平面垂直
【解析】
（1）根據(jù)線面平行關(guān)系的判定定理，在面ACD內(nèi)找一條直線和直線EF平行即可，根據(jù)中位線可知EF // AD，EF?面ACD，AD?面ACD，滿足定理條件；
（2）需在其中一個平面內(nèi)找一條直線和另一個面垂直，由線面垂直推出面面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD?面BCD，滿足定理所需條件．
【解答】
∵ E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點．
∴ EF是△ABD的中位線，∴ EF // AD，
∵ EF?面ACD，AD?面ACD，∴ 直線EF // 面ACD；
∵ AD⊥BD，EF // AD，∴ EF⊥BD，
∵ CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點，∴ CF⊥BD
又EF∩CF＝F，∴ BD⊥面EFC，
∵ BD?面BCD，∴ 面EFC⊥面BCD
【答案】
∵ ，＝＝?2
∴ 直線l1的方程是y＝?4(x?3)+1，即4x+y?4＝0
∵ 直線l2過C點且A、B到直線l7的距離相等，
∴ 直線l2與AB平行或過AB的中點M，
∵ ，∴ 直線l2的方程是y＝?(x?3)+5，即x+y?7＝0
∵ AB的中點M的坐標為(2, 2)，
∴ ，∴ 直線l2的方程是，即2x?3y+5＝0，
綜上，直線l2的方程是x+y?3＝0或2x?6y+6＝0．
【考點】
直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
證明：(Ⅰ)因為△PAD是正三角形，O是AD的中點．
又因為CD⊥平面PAD，PO?平面PAD．
AD∩CD＝D，AD?平面ABCD，
所以PO⊥面ABCD．
（2）如圖，以O(shè)點為原點、OG、y軸，建立空間直角坐標系．
則O(0, 0, 8)，0，0)，5，0)，4，8)，0，0)，5，0)，0，6），E(?1，5，），0，），
＝(0，?2，＝(4，2，-），
設(shè)平面EFG的法向量為＝(x，y，
則，令z＝1，則，0，1)，
又平面ABCD的法向量＝(7，0，
設(shè)平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為θ，
則csθ＝＝．
所以平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為．
【考點】
二面角的平面角及求法
直線與平面垂直
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
（1）由題意可知，c＝1，e=ca=22，
∵ a2＝b2+c2，∴ a=2,b=1，
∴ 橢圓的方程為x22+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y＝k(x?1)(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
聯(lián)立y=k(x?1)x22+y2=1 ，消去y得，(2k2+1)x2?4k2x+2k2?2＝0，
則x1+x2=4k22k2+1，
∵ M為線段AB的中點，∴ xM=x1+x22=2k22k2+1，yM=k(xM?1)=?k2k2+1，
∴ kOM=yMxM=?12k，
∴ kOM?kl=?12k×k=?12為定值．
(Ⅲ)若四邊形OAPB為平行四邊形，則OA→+OB→=OP→，
∴ xP=x1+x2=4k22k2+1，yP=y1+y2=k(x1+x2)?2k=?2k2k2+1，
∵ 點P在橢圓上，∴ (4k22k2+1)2+2×(?2k2k2+1)2=2，解得k2=12，即k=±22，
∴ 當四邊形OAPB為平行四邊形時，直線l的斜率為k=±22．
【考點】
直線與橢圓的位置關(guān)系
橢圓的標準方程
橢圓的應(yīng)用
【解析】
(Ⅰ)由題可知，c＝1，e=ca=22，再結(jié)合a2＝b2+c2，解出a和b的值即可得解；
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y＝k(x?1)(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，聯(lián)立直線l的方程和橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，寫出兩根之和與系數(shù)的關(guān)系；由于M為線段AB的中點，利用中點坐標公式可用k表示點M的坐標，利用kOM=yMxM可求出直線OM的斜率，進而得解；
(Ⅲ)若四邊形OAPB為平行四邊形，則OA→+OB→=OP→，利用平面向量的線性坐標運算可以用k表示點P的坐標，再將其代入橢圓方程即可得到關(guān)于k的方程，解之即可得解．
【解答】
（1）由題意可知，c＝1，e=ca=22，
∵ a2＝b2+c2，∴ a=2,b=1，
∴ 橢圓的方程為x22+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y＝k(x?1)(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
聯(lián)立y=k(x?1)x22+y2=1 ，消去y得，(2k2+1)x2?4k2x+2k2?2＝0，
則x1+x2=4k22k2+1，
∵ M為線段AB的中點，∴ xM=x1+x22=2k22k2+1，yM=k(xM?1)=?k2k2+1，
∴ kOM=yMxM=?12k，
∴ kOM?kl=?12k×k=?12為定值．
(Ⅲ)若四邊形OAPB為平行四邊形，則OA→+OB→=OP→，
∴ xP=x1+x2=4k22k2+1，yP=y1+y2=k(x1+x2)?2k=?2k2k2+1，
∵ 點P在橢圓上，∴ (4k22k2+1)2+2×(?2k2k2+1)2=2，解得k2=12，即k=±22，
∴ 當四邊形OAPB為平行四邊形時，直線l的斜率為k=±22．

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