1. 命題“?x≥1，2x?1>0”的否定是（ ）
A.?x≥1，2x?1≤0B.?x0≥1，2x0?1≤0
C.?x00D.?x03D.m≥4

4. 已知雙曲線C：＝1(a>0, b>0)，直線l:y＝與雙曲線C僅有一個公共點，則雙曲線C的離心率為（ ）
A.2B.C.2D.

5. 在正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知M是BD的中點，則B1M與平面AA1D1D所成角的余弦值為（ ）

A.66B.33C.?306D.306

6. 若橢圓x24+y2m=1(m>0)的離心率為12，則實數(shù)m等于（ ）
A.3B.1或3C.3或163D.1或163

7. 若“?x∈(1, 4]，x2?2ax+9>0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.(?∞, 3]B.[3, +∞)C.(3, +∞)D.[5, +∞)

8. 設(shè)曲線C的方程為＝1，給出關(guān)于曲線C的性質(zhì)的結(jié)論：①曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，也關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；②曲線C上的所有點均在橢圓＝1內(nèi)部．下面判斷正確的是（ ）
A.①錯誤②正確B.①正確②錯誤C.①②都錯誤D.①②都正確

9. 如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：＝1(a>0)的左、右焦點，過F2的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若點A為F2B的中點，且F1B⊥F2B，則|F1F2|＝（ ）

A.4B.C.6D.9

10. 以M(0, 2)為圓心，4為半徑的圓與拋物線C:x2＝8y相交于A，B兩點，如圖，點P是優(yōu)弧上不同于A，B的一個動點，過P作平行于y軸的直線交拋物線于點N，則△PMN的周長的取值范圍是（ ）

A.(8, 12)B.(8, 12]C.[8, 12)D.[8, 12]

11. 以下四個關(guān)于雙曲線的命題：
①設(shè)A，B為兩個定點，m為正數(shù)，若動點P使||PA|?|PB||＝m，則動點P的軌跡是雙曲線；
②方程2x2?5x+2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③雙曲線＝1與橢圓＝1有相同的焦點；
④若雙曲線C:x2?＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上一點，若|PF1|＝，則|PF2|＝或．
其中真命題的個數(shù)為（ ）
A.1B.2C.3D.4

12. 已知橢圓＝1上存在兩個不同的點A，B關(guān)于直線x+y+m＝0對稱，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.B.
C.D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

王安石在《游褒禪山記》中寫道：“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在險遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”請問“有志”是能到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的________條件．（填“充分”“必要”“充要”中的一個）

雙曲線C:x24?y22=1的右焦點為F，點P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若|OP|=2|OF|，則△PFO的面積為________．

如圖，二面角α?l?β為135°，A∈α，B∈β，過A，B分別作l的垂線，垂足分別為C，D，若AC＝1，BD＝，CD＝2，則AB的長度為________．


已知拋物線C:x2＝ay焦點為F，準(zhǔn)線方程y＝?1，直線l與拋物線C交于A，B兩點，連接AF并延長交拋物線C于點D，若AB中點的縱坐標(biāo)為|AB|?1，則當(dāng)∠AFB最大時，|AD|＝________．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

已知p：方程＝1對應(yīng)的圖形是雙曲線；q：函數(shù)f(x)＝?x2+2mx+1?m(x∈[0, 1])的最大值不超過2．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD⊥平面ABP，BC // AD，∠PAB＝90°，PA＝AB＝2，AD＝3，BC＝1，E是PB的中點．

（1）證明：PB⊥平面ADE；

（2）求二面角C?AE?D的余弦值．

已知過點的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是x+y＝0．
（1）求雙曲線C的方程；

（2）若O是坐標(biāo)原點，直線l:y＝kx?1與雙曲線C的兩支各有一個交點，且交點分別是A，B，△AOB的面積為，求實數(shù)k的值．

在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，BA⊥AC，四邊形ACC1A1為菱形，且∠A1AC＝60°，E，F(xiàn)分別是棱BC，BB1的中點，AC＝2AB＝2．

（1）求異面直線A1B和EF所成角的余弦值；

（2）求C1到平面AEF的距離．

以拋物線C:y2＝2px(p>0)的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2．
（1）求拋物線C的方程；

（2）過(?1, 0)的直線l交拋物線C于不同的兩點P，Q，交直線x＝?4于點G（Q在PG之間），直線QF交直線x＝?1于點H．是否存在這樣的直線l，使得GH // PF（F為C的焦點）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線2x?3y?2＝0與橢圓C交于P，Q兩點，R為P，Q的中點，直線OR的斜率為?1．
（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C的右焦點F2的直線l與橢圓C分別相交于A，B兩點，且與圓O:x2+y2＝2相交于G，H兩點，求|AB|?|GH|2的取值范圍．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年河南省高二（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（1月份）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.
【答案】
B
【考點】
命題的否定
【解析】
根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，即可得到命題“?x≥1，2x?1>0”的否定．
【解答】
由全稱命題的否定是特稱命題，
可知“?x≥1，2x?5>0”的否定為“?x0≥6，2x0?3≤0“．
2.
【答案】
B
【考點】
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
把拋物線y=4x2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定開口方向和p值，即可得到焦點坐標(biāo)．
【解答】
解：拋物線y=4x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=14y，p=18，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，
故焦點坐標(biāo)為(0, 116).
故選B．
3.
【答案】
A
【考點】
充分條件、必要條件、充要條件
【解析】
根據(jù)求誰解誰的思想，方程轉(zhuǎn)化為m＝4x+2x+1＝(2x+1)2?1，當(dāng)x>0時，求出(2x+1)2?1的范圍，即可得出x的方程4x+2x+1?m＝0有正實數(shù)解的充要條件，根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷．
【解答】
因為m＝4x+2x+1＝(2x+1)2?1，
當(dāng)x>0時，2x>1，∴ (2x+1)2?1>3，
故關(guān)于x的方程4x+2x+1?m＝0有正實數(shù)解的充要條件是m>3，
所以選項B，C，D都是方程4x+2x+1?m＝0有正實數(shù)解的充分條件，排除選項B，C，D，
4.
【答案】
C
【考點】
直線與雙曲線的位置關(guān)系
雙曲線的離心率
【解析】
說明直線l過雙曲線的右焦點，且與雙曲線僅有一個公共點，則l與雙曲線的一條漸近線平行，推出，然后求解雙曲線的離心率．
【解答】
由題意知直線l過雙曲線的右焦點，且與雙曲線僅有一個公共點，
則l與雙曲線的一條漸近線平行，
所以，
所以．
5.
【答案】
D
【考點】
直線與平面所成的角
【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出B1M與平面AA1D1D所成角的正弦值，再求余弦值．
【解答】
以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)正方體的棱長為2，則B1(2, 2, 2)，M(1, 1, 0)，B1M→=(?1, ?1, ?2)，
由DC⊥平面AA1D1D，所以DC→=(0, 2, 0)是平面AA1D1D的一個法向量，
所以B1M與平面AA1D1D所成角的正弦值為
sinθ=||DC→|×|B1M→|˙|=|0×(?1)+2×(?1)+0×(?2)|02+22+02×(?1)2+(?1)2+(?2)2=22×6=66，
所以所求角的余弦值為csθ=1?(66)2=306．
故選：D．
6.
【答案】
C
【考點】
橢圓的定義
【解析】
對m分00)，
∴ 若002”是假命題，
所以“?x∈(1, 4]，x2?2ax+9≤0”是真命題，
即存在x∈(1, 4]，使成立．
又等號僅當(dāng)，
即x＝3時成立，
所以只要2a≥6，
解得a≥3．
8.
【答案】
D
【考點】
橢圓的離心率
【解析】
根據(jù)曲線方程即可判斷①正確，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可判斷②是否正確．
【解答】
設(shè)曲線上點為A(x, y)，則A關(guān)于原點對稱的點為B(?x, ?y)，
關(guān)于x軸對稱的點C(x, ?y)，關(guān)于y軸對稱的點D(?x, y)，
顯然B，C，D點都在曲線上，故①正確，
在曲線C上，?2≤x≤2，，
而在橢圓中，?4≤x≤4，?2≤y≤2，
即曲線C在一個4×8的矩形內(nèi)，易判斷該矩形在橢圓內(nèi)部，故②正確．
9.
【答案】
A
【考點】
雙曲線的離心率
【解析】
結(jié)合已知條件判斷OA // F1B，推出∠AOF2＝∠AOB＝∠BOF1＝60°，然后求解a，即可求解|F1F2|．
【解答】
因為點A為F2B的中點，所以O(shè)A // F1B，
又F6B⊥F2B，所以O(shè)A⊥F2B，|OF5|＝|OF2|＝|OB|，
所以∠AOF2＝∠AOB＝∠BOF3＝60°，
所以，所以a＝4．
所以．
10.
【答案】
A
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
圓心M(0, 2)也是拋物線C的焦點，設(shè)PN與拋物線的準(zhǔn)線y＝?2交于點H，推出△PMN的周長l＝|PH|+4．設(shè)點B的坐標(biāo)為(x0, y0)，得到B的坐標(biāo)為(4, 2)，然后轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】
圓心M(0, 2)也是拋物線C的焦點，
根據(jù)拋物線的定義，可得|MN|＝|NH|，
故△PMN的周長l＝|NH|+|NP|+|MP|＝|PH|+6．
設(shè)點B的坐標(biāo)為(x0, y0)，則B(5．
由于點P不與A、B兩點重合，
所以|PH|的取值范圍為(4, 8)，
所以△PMN的周長的取值范圍為(7, 12)．
11.
【答案】
B
【考點】
雙曲線的離心率
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
直接利用橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)的應(yīng)用判定①②③④四個命題的真假．
【解答】
對于①，A，B為兩個定點，m為正數(shù)，|PA|?|PB|＝m，當(dāng)m＝|AB|時，動點P的軌跡是兩條射線，故①錯誤；
對于②，方程2x2?5x+2＝0的兩根為和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故②正確；
對于③，雙曲線的焦點坐標(biāo)為，橢圓的焦點坐標(biāo)為，故③正確；
對于④，因為，所以a+c＝3>|PF1|，所以點P在雙曲線的左支，
所以|PF2|?|PF1|＝2，即，
所以，故④錯誤．
故正確的命題有②③．
12.
【答案】
D
【考點】
直線與橢圓的位置關(guān)系
橢圓的離心率
橢圓的應(yīng)用
【解析】
設(shè)直線AB的方程是y＝x+n，代入橢圓方程化簡得7x2+8nx+4n2?12＝0，設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，AB的中點是D(x0, y0)，利用判別式大于0，韋達(dá)定理結(jié)合AB的中點D在直線x+y+m＝0上，轉(zhuǎn)化求解m的范圍即可．
【解答】
依題意，設(shè)直線AB的方程是y＝x+n，代入橢圓方程化簡得7x2+8nx+4n2?12＝0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，AB的中點是D(x0, y0)，
則△＝64n2?28(4n2?12)>0，解得，
又，
所以，．
因為AB的中點D在直線x+y+m＝0上，
所以，所以n＝7m，
所以，
解得．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
【答案】
必要
【考點】
充分條件、必要條件、充要條件
【解析】
根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．
【解答】
因為“非有志者不能至”，所以“能至是有志者”，
因此“有志”是能到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪?br>【答案】
23
【考點】
雙曲線的離心率
【解析】
利用雙曲線的漸近線求解三角形的一個內(nèi)角，通過c，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積．
【解答】
不妨設(shè)點P在第一象限，根據(jù)題意可知c2=6，所以|OF|＝6，|OP|＝2|OF|＝26，
又tan∠POF＝ba＝22，sin∠POF＝33，
所以S△FPO＝12×6×26×33＝23．
【答案】
3
【考點】
二面角的平面角及求法
點、線、面間的距離計算
【解析】
，AC⊥CD，CD⊥DB，結(jié)合空間向量距離公式，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】
因為，AC⊥CD，CD⊥DB，
所以，
又因為二面角α?l?β為135°，所以??＝45°，所以．
【答案】
16
【考點】
直線與拋物線的位置關(guān)系
拋物線的性質(zhì)
【解析】
利用拋物線C:x2＝ay的準(zhǔn)線方程y＝?1，求解a，得到拋物線方程，不妨設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，D(x3, y3)，由拋物線定義得y1+y2+2＝|AF|+|BF|．推出|AF|+|BF|＝2|AB|，結(jié)合余弦定理以及基本不等式推出當(dāng)∠AFB最大時，△AFB為等邊三角形，此時A，B關(guān)于y軸對稱，然后轉(zhuǎn)化求解y1+y3的值，即可推出結(jié)果．
【解答】
因為拋物線C:x2＝ay的準(zhǔn)線方程y＝?1，所以，所以a＝4，
所以拋物線C的方程是x2＝4y．
不妨設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，D(x3, y3)，
由拋物線定義得y1+y2+2＝|AF|+|BF|．
因為，所以|AF|+|BF|＝2|AB|，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|＝|BF|時取等號．
所以當(dāng)∠AFB最大時，△AFB為等邊三角形，此時A，B關(guān)于y軸對稱，
不妨設(shè)x1>0，消去y，得，
所以，所以．
所以|AD|＝y(tǒng)1+y3+2＝16．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
【答案】
對于p，因為方程，
所以m(m?5)>2，解得m5．
所以若p為真命題，則m5．
對于q：當(dāng)m≤0時，f(x)max＝f(0)＝4?m≤2，解得m≥?1；
當(dāng)7

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