1. 設(shè)集合A={x|x2?5x+60}，則A∪B=（ ）
A.?B.RC.AD.B

2. 若i為虛數(shù)單位，則4?2i1?i2的虛部為( )
A.4iB.4C.2iD.2

3. 2021年1月，石家莊成為新冠高風(fēng)險(xiǎn)地，為了控制疫情，全市人口進(jìn)行全員核酸檢測(cè)，檢測(cè)方法是：10人一組進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則可斷定全組10人全為陰性，不必再化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽(yáng)性，則本組至少1人呈陽(yáng)性，再逐個(gè)化驗(yàn)，某小微企業(yè)共48人，分4個(gè)10人組和1個(gè)8人組進(jìn)行化驗(yàn)，結(jié)果測(cè)出2人陽(yáng)性，則化驗(yàn)次數(shù)不可能是( )
A.13B.21C.23D.25

4. 函數(shù)fx=1x?sinx的圖像大致是( )
A.B.
C.D.

5. 在悠久燦爛的中國(guó)古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的奇葩．《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀(jì)．書中有如下問(wèn)題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問(wèn)日益幾何？”．其大意為：“今有一女子擅長(zhǎng)織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個(gè)月共織了九匹三丈，問(wèn)從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”．已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這個(gè)月有30天，記該女子這一個(gè)月中的第n天所織布的尺數(shù)為an，bn=2an，對(duì)于數(shù)列{an}，{bn}，則a5lg2b10=( )
A.193209B.209193C.193289D.289209

6. 記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1=1，a2=2，且an+2?an=1+?1n+1，則S100的值為( )
A.5050B.2600C.2550D.2450

7. 已知:fx=sinωx+φω>0滿足：f?π6=1，fπ3=0，在區(qū)間2π3,5π6上，fx為減函數(shù)，則ω的最大值為( )
A.3B.5C.7D.9

8. 假設(shè)某自動(dòng)化車床生產(chǎn)的螺母內(nèi)徑ξ服從N1.5,0.022（單位：cm2），且已知P|ξ?μ|1時(shí)fx>0，則下列敘述正確的是（ ）
A.函數(shù)fx是奇函數(shù)B.函數(shù)fx是偶函數(shù)
C.函數(shù)fx在?∞,0單調(diào)遞增D.函數(shù)fx在0,+∞單調(diào)遞減

11. 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=f(?x)．當(dāng)x∈[0, 1]時(shí)，f(x)=2x?1，則函數(shù)g(x)=(x?2)f(x)?1在區(qū)間[?3, 6]上的所有零點(diǎn)之和為( )
A.2B.4C.6D.8

12. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是側(cè)面BB1C1C內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則
下列說(shuō)中正確的是（ ）

A.三角形AED1的面積無(wú)最大值、無(wú)最小值
B.存在點(diǎn)E，滿足D1E⊥B1E
C.存在有限各點(diǎn)E，使得三角形AED1是等腰三角形
D.三棱錐B?AED1的體積有最大值、無(wú)最小值
二、填空題

函數(shù)fx=lnxx在x0,fx0處的切線方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,0，則x0=______.

平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD（按順時(shí)針?lè)较颍┑捻旤c(diǎn)A3,7，C5,2則向量BD→=________．


正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為BC中點(diǎn)，平面A1C1M與平面CDD1C1交線為l，則l與BD所成角的余弦為_(kāi)_______．

已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)，過(guò)F1做垂直于x軸的直線交橢圓C于點(diǎn)P，∠F1PF2=60°，且F2為拋物線：y2=43x焦點(diǎn)，則橢圓方程為_(kāi)_______．
三、解答題

已知等比數(shù)列an的公比為qq≠1，前n項(xiàng)和為Sn,S3=14，且3a2是2a3與4a1的等差中項(xiàng)．
(1)求an的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=1lg2an+1lg2an+2,bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明： Tnb>0，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，下頂點(diǎn)為C，△ABC的面積為3,AB→?AC→=8.
(1)求橢圓方程；

(2)Mx0,y0是橢圓上在第三象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線MA交y軸于P，直線MB交x軸于Q，求△MPQ面積的最大值．

已知fx=lnx+1?sinx，x∈0,π2.
(1)求證：fx3.
參考公式：e≈2.7，e2≈7.4，e3≈20.1，e4≈54.6.
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年陜西省西安市高二（下）期末考試數(shù)學(xué)（理）試卷
一、選擇題
1.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
并集及其運(yùn)算
【解析】
求出集合A，B，計(jì)算即可．
【解答】
解：A={x|x2?5x+60}=(12, +∞)，
則A∪B=B.
故選D.
2.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
復(fù)數(shù)的基本概念
【解析】
無(wú)
【解答】
解：4?2i1?i2=4?2i?2i=4?2ii?2ii=4i+22=1+2i．
故選D．
3.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理
【解析】
無(wú)
【解答】
解：若2個(gè)陽(yáng)性都在8人組，則化驗(yàn)次數(shù)為：5+8=13；
若2個(gè)陽(yáng)性1個(gè)在8人組，另1個(gè)在某個(gè)10人組，則化驗(yàn)次數(shù)為：5+10+8=23；
若2個(gè)陽(yáng)性分別在2個(gè)不同的10人組，則化驗(yàn)次數(shù)為：5+10+10=25；
若2個(gè)陽(yáng)性都在同1個(gè)10人組，則化驗(yàn)次數(shù)為：5+10=15．
故化驗(yàn)次數(shù)不可能是21．
故選B．
4.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
函數(shù)的圖象
【解析】
無(wú)
【解答】
解：由f?x=?fx可知fx的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A；
函數(shù)值域中，顯然y≠0，故排除C；
x>0，f′x=1?csxx?sinx2>0，故在0,+∞上fx為減函數(shù)，排除D．
故選B．
5.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
數(shù)列的應(yīng)用
等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】
利用等差數(shù)列的前n和公式求出數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．
【解答】
解：由題意知：一個(gè)月共織了390尺布，且每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∴ 30×5+30×292d=390，解得：d=1629
∴ a5=5+1629×4=20929，
∴ lg2b10=lg22a10=a10=5+9×1629=28929，
∴ a5lg2b10=209289.
故選C．
6.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
數(shù)列遞推式
數(shù)列的求和
【解析】
由遞推公式可得an的偶數(shù)項(xiàng)相等，奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和得解.
【解答】
解：由an+2?an=1+?1n+1，
得a2k+2?a2k=1+?12k+1=0，
故a2=a4=?=a2k=2，
a2k+1?a2k?1=1+?12k?1+1=2，
所以a2k+1=a2k?1+2，
S100=a1+a3+?+a99+a2+a4+?+a100
=(1+3+5+?+99)+2×50
=2600.
故選B.
7.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
正弦函數(shù)的單調(diào)性
正弦函數(shù)的定義域和值域
【解析】
無(wú)
【解答】
解：由題意 ω??π6+φ=2k1π+π2，ω?π3+φ=k2π， k1,k2∈Z，
其中k=k2?2k1，k∈Z，
故ω=2k?1，
fx取最大值時(shí)：x=2nπω?π6n∈Z，在區(qū)間2π3,5π6上，fx為減函數(shù)，
故存在n0∈Z，使得：2π3≥?π6+2n0πω，5π6≤?π6+2n0+1πω，
得：12n05≤ω≤2n0+1，
由12n05≤2n0+1?n0≤52，即n0=2時(shí)，245≤ω≤5，
故ω最大值為5．
故選B．
8.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
正態(tài)分布的密度曲線
【解析】
無(wú)
【解答】
解：假設(shè)ξ服從N(1.5,0.022)，ξ滿足在區(qū)間1.5?0.06,1.5+0.06以外的概率為0.3%，
這是一個(gè)小概率事件，幾乎不可能發(fā)生的，一旦發(fā)生，說(shuō)明生產(chǎn)情況存在異常，
1.42?(1.44,1.56)，故A可判斷生產(chǎn)情況不正常；
1.51∈(1.44,1.56)，故B不可判斷生產(chǎn)情況不正常；
1.54∈1.44,1.56，故C不可判斷生產(chǎn)情況不正常；
1.55∈1.44,1.56，故D不可判斷生產(chǎn)情況不正常.
故選A．
9.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
直線與圓的位置關(guān)系
軌跡方程
【解析】
無(wú)
【解答】
解：對(duì)于A，化成標(biāo)準(zhǔn)方程x?32+y2=4，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椤螼MC=90°，
所以點(diǎn)M的集合為以O(shè)C為直徑的圓在圓C內(nèi)的弧，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)橹本€m過(guò)定點(diǎn)4,0在圓C內(nèi)，
所以直線m不能與圓C相切，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，圓C的半徑為2，
所以要滿足圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m的距離為1，
需圓心C到直線m的距離為1，
此時(shí)直線m斜率不存在，故D正確.
故選C．
10.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)
【解析】
無(wú)
【解答】
解：令a=b=1，可得f1=0；
又令a=b=?1，可得f?1=0；
令b=1a，f1a=?fa；
令b=?1，可得f?a=fa，
∴函數(shù)fx是偶函數(shù)，故B正確．
故選B．
11.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【解析】
根據(jù)條件可得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱且周期為4，作出圖象，條件等價(jià)于y＝f(x)圖象與y=1x?2圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合即可
【解答】
解：由題意得，f(x+2)=?f(x)，
∴ f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4．
∵ f(x+2)=f(?x)，
∴ f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱．
作出f(x)圖象如圖所示：
則函數(shù)g(x)=(x?2)f(x)?1的零點(diǎn)即為y=f(x)圖象與y=1x?2圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
四個(gè)交點(diǎn)分別關(guān)于點(diǎn)(2, 0)對(duì)稱，
則x1+x4=4，x2+x3=4，即零點(diǎn)之和為8.
故選D．
12.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算
直線與平面垂直的判定
【解析】
無(wú)
【解答】
解：選項(xiàng)A中，邊AD1的長(zhǎng)度為定值，三角形AED1面積與點(diǎn)E到AD1的距離有關(guān)，
當(dāng)點(diǎn)E在線段BC1上時(shí)，距離最小，
此時(shí)面積取得最小值，在端點(diǎn)B1，C處的距離最大，
此時(shí)面積取得最大值（舍去，端點(diǎn)不可?。?，故A不正確；
選項(xiàng)B中，若D1E⊥B1E，
可得點(diǎn)E在以B1D1中點(diǎn)為球心，2為半徑的球面上，
因?yàn)橐訠1D1為直徑的球面與側(cè)面BB1C1C有交點(diǎn)，
所以存在點(diǎn)E，滿足D1E⊥B1E，故B正確；
選項(xiàng)C中，三角形AED1是等腰三角形，
當(dāng)AE=D1E時(shí)，點(diǎn)E在AD1 的中垂面上，且E在側(cè)面BB1C1C上，
所以點(diǎn)E的軌跡是線段B1C（不含端點(diǎn)），有無(wú)窮多，故C不正確；
選項(xiàng)D中，由VB?AED1=VE?ABD1=13S△ABD1??，
高?不存在最大值（不包含端點(diǎn)）和最小值，故D不正確．
故選B．
二、填空題
【答案】
e
【考點(diǎn)】
利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】
由題意，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到函數(shù)在x0,fx0處的切線方程，再將點(diǎn)0,0求解即可.
【解答】
解：已知函數(shù)f(x)=lnxx，函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，
則f′(x)=1?lnxx2，
易得f′(x0)=1?lnx0x02，
而f(x0)=lnx0x0，
所以函數(shù)f(x)在(x0,f(x0))處的切線方程為y?lnx0x0=1?lnx0x02(x?x0)，
因?yàn)樵撉芯€方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)，
將該點(diǎn)代入切線方程中可得lnx0=12，
所以x0=e.
故答案為：e.
【答案】
?5,?2
【考點(diǎn)】
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
平行向量的性質(zhì)
【解析】
無(wú)
【解答】
解：將AC→繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到向量AM→，
則AM//BD，AM=BD，
由題意得，AC→=2,?5，
設(shè)AM→=x,y，
則x2+y2=29,yx×52=1,
解得x=±5，結(jié)合題意可得，x=?5，y=?2，
則AM→=BD→=?5,?2．
故答案為：?5,?2．
【答案】
1010
【考點(diǎn)】
異面直線及其所成的角
【解析】
無(wú)
【解答】
解：取AB中點(diǎn)為N，AD中點(diǎn)Q，
則平面A1C1M交平面ABA1B1于A1N，
則A1N//l，
又NQ//BD，
故∠A1NQ即為所求異面直線所成角，
設(shè)AB=2，
則△A1NQ中，QN=2，A1Q=A1N=5，
cs∠A1NQ=QN2+A1N2?A1Q22?QN?A1N=1010．
故答案為：1010．
【答案】
x29+y26=1
【考點(diǎn)】
橢圓的定義和性質(zhì)
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
無(wú)
【解答】
解：可知|PF1|=b2a， |F1F2|=2c，
又∠F1PF2=60°，
∴|F1F2||PF1|=2acb2=3，
由題意c=3，a2=b2+c2，
可解得a2=9，b2=6，
∴橢圓的方程為x29+y26=1．
故答案為：x29+y26=1．
三、解答題
【答案】
(1)解：∵ 3a2是2a3與4a1的等差中項(xiàng)，
∴ 6a2=2a3+4a1，
∴ q2?3q+2=0， ∴ q=2或q=1（舍去）.
∵ S3=14，∴ a11?21?23=14，
∴ a1=2，∴ an=2n.
(2)證明：由(1)得bn=1lg22n+1?lg22n+2
=1n+1n+2=1n+1?1n+2
Tn=12?13+13?14+14?15+…+1n+1?1n+2
=12?1n+2，
∴ Tn

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