函數(shù)壓軸之切比雪夫函數(shù)  一．考情分析縱觀近幾年的高考真題，出現(xiàn)了一類(lèi)題目。看似是一道有關(guān)二次函數(shù)的題目；二次函數(shù)的定義域和值域相同。大多數(shù)學(xué)生或老師，第一眼看過(guò)去，以為是定軸動(dòng)區(qū)間或定區(qū)間動(dòng)軸的問(wèn)題，然后就進(jìn)入討論的誤區(qū)。深入討論，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，計(jì)算復(fù)雜，討論紛擾。最后就是不了了之。然后，再次審視題目，就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們陷入誤區(qū)。切比雪夫函數(shù)或切比雪夫不等式，在此時(shí)的應(yīng)用，就可以讓我們秒解這類(lèi)題目。 二．經(jīng)驗(yàn)分享1.切比雪夫不等式①馬爾科夫不等式：；②切比雪夫不等式是馬爾科夫不等式的特殊情況：.  切比雪夫函數(shù)與切比雪夫不等式的意義馬爾科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)定理。主要意思：事情的大多會(huì)集中在平均值附近或者事情的發(fā)生大多在平均值上的概率最大。也就說(shuō)，馬爾科夫不等式或者切比雪夫不等式只是對(duì)概率的一個(gè)估計(jì)，既然是估計(jì)，就有可能正確，也有可能不正確。但是按照這兩個(gè)不等式來(lái)看，在概率學(xué)的角度上。發(fā)生的概率是最大。但在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初等函數(shù)，用這個(gè)兩個(gè)不等式解題，就會(huì)有出奇制勝，秒殺的快感。
三、題型分析 （一）切比雪夫函數(shù)的巧解例1.已知函數(shù)，若時(shí)，，則的最大值是           ．【傳統(tǒng)解法】【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式：，若時(shí)，對(duì)稱軸為壓軸，所以，，當(dāng)，,故此次的最大值 例2.已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則=         【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式：若時(shí)，恒成立，也就是對(duì)稱軸應(yīng)該是；，解之得：，,故此；故此,所以.. （二）其他類(lèi)型函數(shù)的例3．【2019年高考浙江】已知，函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是___________. 【解析】存在，使得，即有，化為，可得，即，由，可得.則實(shí)數(shù)的最大值是.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的解析式及二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式可得，去絕對(duì)值化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)可求解. 例4.【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試（B卷)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，，設(shè)為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的取值范圍為A．  B．C．  D．    【解析】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，  例5.【高2017級(jí)資陽(yáng)市高三第二次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)，12題】已知直線與曲線相切，則ab的最大值為（   ）A.    B.   C.e     D.2e    【解析】由題意得：設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍悬c(diǎn)既在直線上，也在曲線上，所以得到：①；同時(shí)求導(dǎo)：和，切點(diǎn)在，故此②；聯(lián)立①②得：再帶入②整理得：，化簡(jiǎn)：，其中；構(gòu)造函數(shù)，故當(dāng)，，是單調(diào)遞增；當(dāng)，，是單調(diào)遞減。所以的最大值；從而得到ab的最大值為.  四.遷移應(yīng)用1．【山東省德州市2019屆高三第二次練習(xí)數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)，A．9  B．11C．13  D．15【答案】B【解析】∵函數(shù)，∴=2+9=11．故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)、函數(shù)值的求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．2．【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2019屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)】函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為A．  B．C．  D．【答案】A【解析】函數(shù)，則或，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>或，由是單調(diào)遞增函數(shù)，可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即的單調(diào)減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合的定義域，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要注意的是必須在定義域的前提下，去找單調(diào)區(qū)間.3．【山東省煙臺(tái)市2019屆高三3月診斷性測(cè)試（一模）數(shù)學(xué)】若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)A．  B．0C．1  D．2【答案】C【解析】∵是定義在上的奇函數(shù)，，且時(shí)，，∴，∴．故選C．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及已知函數(shù)值求參數(shù)的方法，熟記函數(shù)奇偶性的定義即可，屬于?？碱}型.4．【河南省鄭州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)的圖象大致是A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A、B選項(xiàng)；又因?yàn)?/span>所以，而選項(xiàng)C在時(shí)是遞增的，故排除C.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性和取特值判斷函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．【四川省百校2019屆高三模擬沖刺卷】若函數(shù)的大致圖象如圖所示，則的解析式可以是A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→±∞，而A中的f（x）→0，排除A；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，而選項(xiàng)B中x＜0時(shí)，>0， 選項(xiàng)D中，>0，排除B，D，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)值的符號(hào)，考查數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)值的取值范圍可快速解決這類(lèi)問(wèn)題． 6．【北京市朝陽(yáng)區(qū)2019屆高三第二次（5月)綜合練習(xí)（二模）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．  B．C．  D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象如圖：若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）．故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計(jì)算能力．7．【山東省煙臺(tái)市2019屆高三5月適應(yīng)性練習(xí)（二）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,為偶函數(shù)，且對(duì)，滿足.若，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閷?duì)，滿足，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以有，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，，綜上所述：不等式的解集為.故選A．【名師點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、分類(lèi)討論思想.對(duì)于來(lái)說(shuō)，設(shè)定義域?yàn)?/span>，，，若，則是上的增函數(shù)；若，則是上的減函數(shù).8．【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此，由得，又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得，因此，的解集是.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式的求解，先根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而分類(lèi)討論求解不等式.9．【山東省德州市2019屆高三第二次練習(xí)數(shù)學(xué)】已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是A．  B．C．  D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，則，即，解得，即a的取值范圍為.故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)不等式的解法.10．【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試（B卷)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，，設(shè)為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的取值范圍為A．  B．C．  D．【答案】A【解析】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，綜上可得，.又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得成立，所以只需，即，解得.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的值域，將存在實(shí)數(shù)，使得成立，轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵，屬于常考題型.11．【云南省玉溪市第一中學(xué)2019屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)】若，則的定義域?yàn)?/span>____________.【答案】 【解析】要使函數(shù)有意義，需，解得.則的定義域?yàn)?/span>.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.12．【湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬卷（一）數(shù)學(xué)】若函數(shù)稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，則必存在常數(shù)a，b，使得對(duì)定義域的任意x值，均有，已知為準(zhǔn)奇函數(shù)”，則a＋b＝_________.【答案】2【解析】由知“準(zhǔn)奇函數(shù)”關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)?/span>=關(guān)于對(duì)稱，所以，，則.故答案為2.【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和應(yīng)用，考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．13．【廣東省深圳市深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019屆高三第二學(xué)期第一次熱身考試數(shù)學(xué)】函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，，即，則，即，，則，，則.當(dāng)時(shí)，，則的定義域?yàn)椋?/span>且，此時(shí)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)解析式，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提，造成求解錯(cuò)誤．14．【河南省濮陽(yáng)市2019屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)】已知直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，，，且，則__________.【答案】3【解析】由題意，函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)橹本€與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且，所以點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，即，且兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，于是.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)對(duì)稱性的判定及應(yīng)用，其中解答中根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)，得到函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，進(jìn)而得到點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，且兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

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