1. 下列命題中正確的是( )
A.以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
B.以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)
C.圓柱，圓錐，圓臺(tái)的底面都是圓
D.一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)

2. 若直線l的方向向量為a→=(1,0,2)，平面α的法向量為u→=(?2,0,?4)，則( )
A.l // αB.l⊥αC.l?αD.l與α斜交

3. 在如圖所示的四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是( )
A.B.
C.D.

4. 已知a→=(1, 0, 1)，b→=(?2, ?1, 1)，c→=(3, 1, 0)，則|a→?b→+2c→|等于( )
A.310B.210C.10D.5

5. 如圖，在三棱錐D?ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )

A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

6. 已知空間四邊形OABC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，且OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，用a→，b→，c→表示向量MN→為( )
A.12a→+12b→+12c→B.12a→?12b→+12c→
C.?12a→+12b→+12c→D.?12a→+12b→?12c→

7. 若a→=(2, ?1, 0)，b→=(3, ?4, 7)，且(λa→+b→)⊥a→，則λ的值是( )
A.2B.?2C.1D.0

8. 圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是( )cm．

A.4B.6C.8D.10

9. 已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=3，則A到面PBC的距離為( )
A.4B.15C.35D.125

10. 設(shè)一個(gè)球的表面積為S1，它的內(nèi)接正方體的表面積為S2，則S1S2的值等于( )
A.2πB.6πC.π6D.π2
二、多選題

設(shè)α，β為兩個(gè)不重合的平面，m，n為兩條不重合的直線，則下列命題中正確的有( )
A.若m⊥n，m⊥α，n?α，則n // α
B.若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，則n⊥β
C.若m⊥n，m // α，n // β，則α⊥β
D.若n?α，m?β，α與β相交且不垂直，則n與m不垂直

如圖，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，則下列結(jié)論中正確的有( )

A.AF⊥PBB.EF⊥PBC.AF⊥BCD.AE⊥平面PBC
三、填空題

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，過頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為________.


已知a→=2,?1,0，b→=k,0,1，若=120°，則k=________.

正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角A?BD?C的正弦值為________．

如圖，二面角α?l?β的大小是60°，AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°.則AB與平面β所成的角的正弦值是 .

四、解答題

已知a→=(1, ?2, 4)，b→=(1, 0, 3)，c→=(0, 0, 2)．求：
(1)a→?(b→+c→)；

(2)4a→?b→+2c→．

如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中．
(1)求A1C1與B1C所成角的大??；

(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。?br>
如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)．

(1)證明：BC1//平面A1CD；

(2)設(shè)AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱錐C?A1DE的體積．

已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)．求下列向量的數(shù)量積：
(1)BC→?ED1→；

(2)BF→?AB1→．

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB // CD，AB⊥AD，CD=2AB=AP，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)平面BEF⊥平面PCD．

如圖，已知四棱錐P?ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，連接AM，AN，MN．

(1)求證：MN // 面PAD；

(2)若MN=5，AD=3，求二面角N?AM?B的余弦值．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年廣東省肇慶市四會(huì)市高二（上）期中數(shù)學(xué)考試
一、選擇題
1.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）
【解析】
根據(jù)圓錐的幾何特征可以判斷①的真假；根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征可以判斷②的真假；根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何特征可以判斷③的真假；根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征可以判斷④的真假；進(jìn)而得到答案．
【解答】
解：A，直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B，以直角梯形的一斜腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C，圓柱，圓錐，圓臺(tái)的底面都是圓面，故選項(xiàng)正確；
D，一個(gè)平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，
當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，得到的兩個(gè)幾何體不是圓錐和圓臺(tái)，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C．
2.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系
用向量證明垂直
【解析】
觀察發(fā)現(xiàn)，題設(shè)條件中直線的方向向量與平面的法向量共線，進(jìn)而判斷出直線與平面的位置關(guān)系，選出正確選項(xiàng)．
【解答】
解：因?yàn)閍→=(1,0,2)，u→=(?2,0,?4)，
所以u(píng)→=?2a→，所以兩個(gè)向量平行．
又因直線l的方向向量為a→=(1,0,2)，
平面α的法向量為u→=(?2,0,?4)，
所以l⊥α.
故選B.
3.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
兩條直線垂直的判定
棱柱的結(jié)構(gòu)特征
異面直線及其所成的角
【解析】
在圖A中作出經(jīng)過AB的對角面，發(fā)現(xiàn)它與CD垂直，故AB⊥CD成立；在圖B中作出正方體過AB的等邊三角形截面，可得CD、AB成60°的角；而在圖C、D中，不難將直線CD進(jìn)行平移，得到CD與AB所成角為銳角．由此可得正確答案．
【解答】
解：對于A，作出過AB的對角面如圖，
可得直線CD與這個(gè)對角面垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，
AB⊥CD成立；
對于B，作出過AB的等邊三角形截面如圖，
將CD平移至內(nèi)側(cè)面，可得CD與AB所成角等于60°；
對于C，D選項(xiàng)，將CD平移至經(jīng)過B點(diǎn)的側(cè)棱處，
可得AB，CD所成角都是銳角．
故選A．
4.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
向量的模
【解析】
由向量的加減法則可得a→?b→+2c→的坐標(biāo)，代入模長公式可得．
【解答】
解：∵ a→=(1, 0, 1)，b→=(?2, ?1, 1)，c→=(3, 1, 0)，
∴ a→?b→+2c→
=(1, 0, 1)?(?2, ?1, 1)+2(3, 1, 0)
=(9, 3, 0)，
∴ |a→?b→+2c→|=92+32+02=310.
故選A.
5.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
平面與平面垂直的判定
【解析】
AB＝BC，AD＝CD，說明對棱垂直，然后推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE．
【解答】
解：∵ AB=CB，且E是AC的中點(diǎn)，
∴ BE⊥AC，同理有DE⊥AC，
∴ AC⊥平面BDE，
∵ AC在平面ABC內(nèi)，
∴ 平面ABC⊥平面BDE,
又由于AC?平面ADC，
∴ 平面ADC⊥平面BDE．
故選C.
6.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
空間向量的加減法
【解析】
如圖所示，連接ON，AN，利用向量的中點(diǎn)公式可得ON→=12(OB→+OC→)=12(b→+c→)，AN→=12(AC→+AB→)，進(jìn)而即可得出．
【解答】
解：如圖所示，連接ON，AN，
則ON→=12(OB→+OC→)=12(b→+c→)，
AN→=12(AC→+AB→)
=12(OC→?2OA→+OB→)
=12(?2a→+b→+c→)
=?a→+12b→+12c→，
所以MN→=12(ON→+AN→)=?12a→+12b→+12c→．
故選C．
7.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直
【解析】
利用(λa→+b→)⊥a→?(λa→+b→)?a→=0即可得出．
【解答】
解：∵ λa→+b→=λ(2, ?1, 0)+(3, ?4, 7)=(3+2λ, ?4?λ, 7)，
(λa→+b→)⊥a→，
∴ (λa→+b→)?a→=0，
∴ 2(3+2λ)?(?4?λ)+0=0，
解得λ=?2．
故選B．
8.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
組合幾何體的面積、體積問題
【解析】
設(shè)出球的半徑，三個(gè)球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，求解即可．
【解答】
解：設(shè)球半徑為r，則由3V球+V水=V柱，
可得3×43πr3+πr2×8=πr2×6r，
解得r=4．
故選A.
9.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算
【解析】
利用等體積法，求解點(diǎn)A到平面PBC的距離．
【解答】
解：PA垂直于△ABC所在的平面，
AB=AC=5，BC=6，PA=3，
可得PB=PC=9+25=34．
底面三角形ABC的面積為：12×6×52?32=12，
棱錐的體積為：13×12×3=12．
點(diǎn)A到平面PBC的距離為?．
VA?PBC=13×S△PBC??=13×12×6×34?32??=5?，
可得：5?=12，
?=125.
故選D．
10.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
球內(nèi)接多面體
球的表面積和體積
棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積
【解析】
設(shè)出正方體的棱長，然后求出正方體的表面積，求出正方體的體對角線的長，就是球的直徑，求出球的表面積，即可得到二者的比值．
【解答】
解：設(shè)正方體的棱長為：1，
所以正方體的表面積為：S2=6；
正方體的體對角線的長為：3，就是球的直徑，
所以球的表面積為：S1=4π(32)2=3π．
所以S1S2=3π6=π2．
故選D．
二、多選題
【答案】
A,B
【考點(diǎn)】
平面與平面垂直的判定
直線與平面平行的判定
直線與平面垂直的判定
【解析】
根據(jù)線面平行的判定方法，我們可判斷①的真假，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，我們易判斷②的正誤，根據(jù)面面垂直的判定方法及定義，我們可以判斷命題③的真假，根據(jù)線線垂直的定義及面面相交的幾何特征，我們可以判斷④的對錯(cuò)，進(jìn)而得到答案．
【解答】
解：A，若m⊥n，m⊥α，則n?α或n // α，
又由n?α，則n // α，故選項(xiàng)正確；
B，若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，
則由面面垂直的性質(zhì)定理我們易得到n⊥β，故選項(xiàng)正確；
C，若m⊥n，m // α，則n與α可能平行也可能相交，
再由n // β，則α與β也可能平行也可能相交，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D，若n?α，m?β，α與β相交且不垂直，
當(dāng)m，n中一條與交線平行，一條與交線垂直時(shí)，n⊥m，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選AB.
【答案】
A,B,C
【考點(diǎn)】
直線與平面垂直的判定
空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
【解析】
對于①②③可根據(jù)直線與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明，對于④利用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，則AF // AE，顯然不成立，從而得到結(jié)論．
【解答】
解：∵ PA⊥⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，
∴ PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A，
∴ BC⊥面PAC，
又∵ AF?面PAC，
∴ AF⊥BC，故C正確；
而AF⊥PC，PC∩BC=C，
∴ AF⊥面PCB，而PB?面PCB，
∴ AF⊥PB，故A正確；
而AE⊥PB，AE∩AF=A，
∴ PB⊥面AEF，
而EF?面AEF，
∴ EF⊥PB，故B正確；
∵ AF⊥面PCB，假設(shè)AE⊥面PBC,
∴ AF // AE，顯然不成立，故D錯(cuò)誤.
故選ABC.
三、填空題
【答案】
2
【考點(diǎn)】
空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
兩直線的夾角
棱柱的結(jié)構(gòu)特征
【解析】
先從過頂點(diǎn)A′與正方體其他頂點(diǎn)的連線：A′B′，A′C′，A′B，A′A，A′D，A′D′中找出與直線BC′成60°角的直線即可．
【解答】
解：過頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60°角的連線有A1C1，A1B，
共2條．
故答案為：2.
【答案】
?5511
【考點(diǎn)】
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
向量模長的計(jì)算
數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角
【解析】
利用空間向量夾角公式列方程求解即可.
【解答】
解：∵ a→=2,?1,0，b→=k,0,1，=120°，
∴ cs=a→?b→|a→||b→|
=2k+?1×0+1×022+?12+02×k2+02+12
=?12，
解得k=?5511.
故答案為：?5511.
【答案】
255
【考點(diǎn)】
用空間向量求平面間的夾角
【解析】
取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立空間直角坐標(biāo)系，確定OA→為平面BCD的法向量，求出平面ABD的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結(jié)論．
【解答】
解：取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)BC=1，則A(0,0,32)，B(0,?12,0)，D(32,0,0)，
∴ OA→=(0,0,32)，BD→=(32,12,0)，BA→=(0,12,32)，
由題意，OA→為平面BCD的法向量，
設(shè)平面ABD的法向量為n→=(x, y, z)，
則由n→?BA→=0,n→?BD→=0,可得12y+32z=0，32x+12y=0，
取x=1，則y=?3，z=1，
∴ n→=(1,?3，1)，
∴ cs=n→?OA→|n→||OA→|=55，
∴ sin=255.
故答案為：255.
【答案】
34
【考點(diǎn)】
直線與平面所成的角
【解析】

【解答】
解：過點(diǎn)A作平面β的垂線，垂足為C，
在β內(nèi)過C作l的垂線．垂足為D，
連接AD，有三垂線定理可知AD⊥l，
故∠ADC為二面角α?β的平面角，為60°，
又由已知，∠ABD=30°，
連接CB，則∠ABC為AB與平面β所成的角，
設(shè)AD=2，則AC=3，CD=1，
AB=ADsin30°=4，
∴ sin∠ABC=ACAB=34.
故答案為：34.
四、解答題
【答案】
解：(1)∵ b→+c→=(1, 0, 5)，
∴ a→?(b→+c→)=1×1+(?2)×0+4×5=21．
(2)4a→?b→+2c→=(4, ?8, 16)?(1, 0, 3)+(0, 0, 4)=(3, ?8, 17)．
【考點(diǎn)】
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
向量的加法及其幾何意義
向量的減法及其幾何意義
【解析】
利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算即可得出．
【解答】
解：(1)∵ b→+c→=(1, 0, 5)，
∴ a→?(b→+c→)=1×1+(?2)×0+4×5=21．
(2)4a→?b→+2c→=(4, ?8, 16)?(1, 0, 3)+(0, 0, 4)=(3, ?8, 17)．
【答案】
解：(1)連結(jié)AC，AB1，
∵ ABCD?A1B1C1D1是正方體，
∵ AA1 // CC1，且AA1=CC1，
∴ 四邊形AA1C1C為平行四邊形，
∴ AC // A1C1，
∴ B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．
又∵ AB1=B1C=AC，
∴ △AB1C為等邊三角形，
∴ ∠B1CA=60°，
∴ A1C1與B1C所成的角為60°．
(2)連結(jié)BD，
由(1)知，AC // A1C1，
∴ AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．
又∵ EF是△ABD的中位線，
∴ EF // BD．
∵ AC⊥BD，
∴ AC⊥EF，
即A1C1與EF所成角的大小為90°．
【考點(diǎn)】
異面直線及其所成的角
【解析】
（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)，證出AC // A1C1，由此得到∠B1CA就是A1C1與B1C所成的角．然后在正三角形△ABC1中加以計(jì)算，可得A1C1與B1C所成角的大?。?br>（2）平行四邊形AA1C1C中可得AC // A1C1，AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角，進(jìn)而利用三角形中位線定理與正方形的性質(zhì)，即可算出A1C1與EF所成角的大?。?br>【解答】
解：(1)連結(jié)AC，AB1，
∵ ABCD?A1B1C1D1是正方體，
∵ AA1 // CC1，且AA1=CC1，
∴ 四邊形AA1C1C為平行四邊形，
∴ AC // A1C1，
∴ B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．
又∵ AB1=B1C=AC，
∴ △AB1C為等邊三角形，
∴ ∠B1CA=60°，
∴ A1C1與B1C所成的角為60°．
(2)連結(jié)BD，
由(1)知，AC // A1C1，
∴ AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．
又∵ EF是△ABD的中位線，
∴ EF // BD．
∵ AC⊥BD，
∴ AC⊥EF，
即A1C1與EF所成角的大小為90°．
【答案】
(1)證明：連接AC1交A1C于F，連接DF．
則BC1//DF．
∵ DF?平面A1CD，BC1?面A1CD，
∴ BC1//平面A1CD．
(2)解：∵ ABC?A1B1C1為直棱柱，
∴ AA1⊥CD．
由AC=CB，D為AB中點(diǎn)，
∴ CD⊥AB．
又AA1∩AB=A，
∴ CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2，AB=22，
∴ ∠ACB=90°，CD=2，A1D=6，DE=3，A1E=3．
∴ A1D2+DE2=A1E2，
∴ DE⊥A1D，
∴ VC?A1DE=13×12×6×3×2=1．
【考點(diǎn)】
直線與平面平行的判定
柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算
【解析】
此題暫無解析
【解答】
(1)證明：連接AC1交A1C于F，連接DF．
則BC1//DF．
∵ DF?平面A1CD，BC1?面A1CD，
∴ BC1//平面A1CD．
(2)解：∵ ABC?A1B1C1為直棱柱，
∴ AA1⊥CD．
由AC=CB，D為AB中點(diǎn)，
∴ CD⊥AB．
又AA1∩AB=A，
∴ CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2，AB=22，
∴ ∠ACB=90°，CD=2，A1D=6，DE=3，A1E=3．
∴ A1D2+DE2=A1E2，
∴ DE⊥A1D，
∴ VC?A1DE=13×12×6×3×2=1．
【答案】
解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，E(1, 0, 1)，
B1(2, 0, 2)，D1(0, 4, 2)，F(xiàn)(0, 2, 2)，
可得BC→=(0, 4, 0)，ED1→=(?1, 4, 1)，
故BC→?ED1→=0×(?1)+4×4+0×1=16.
(2)可得BF→=(?2, 2, 2)，AB1→=(2, 0, 2)，
故BF→?AB1→=?2×2+2×0+2×2=0.
【考點(diǎn)】
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
【解析】
建立坐標(biāo)系，由題意可得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果．
【解答】
解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，E(1, 0, 1)，
B1(2, 0, 2)，D1(0, 4, 2)，F(xiàn)(0, 2, 2)，
可得BC→=(0, 4, 0)，ED1→=(?1, 4, 1)，
故BC→?ED1→=0×(?1)+4×4+0×1=16.
(2)可得BF→=(?2, 2, 2)，AB1→=(2, 0, 2)，
故BF→?AB1→=?2×2+2×0+2×2=0.
【答案】
證明：(1)∵ PA⊥AD，
平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ 由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得，
PA⊥平面ABCD．
(2)平行四邊形ABED中，
由AB⊥AD可得，ABED為矩形，
故有BE⊥CD①．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，
再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴ CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn)，
可得EF // PD，
∴ CD⊥EF②．
而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．
由于CD?平面PCD，
∴ 平面BEF⊥平面PCD．
【考點(diǎn)】
直線與平面垂直的判定
平面與平面垂直的判定
【解析】
(1)根據(jù)條件，利用平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．
(2)先證明ABED為矩形，可得BE⊥CD①．現(xiàn)證CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位線的性質(zhì)可得EF // PD，
從而證得CD⊥EF②．結(jié)合①②利用直線和平面垂直的判定定理證得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理
證得平面BEF⊥平面PCD．
【解答】
證明：(1)∵ PA⊥AD，
平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ 由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得，
PA⊥平面ABCD．
(2)平行四邊形ABED中，
由AB⊥AD可得，ABED為矩形，
故有BE⊥CD①．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，
再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴ CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn)，
可得EF // PD，
∴ CD⊥EF②．
而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．
由于CD?平面PCD，
∴ 平面BEF⊥平面PCD．
【答案】
(1)證明：如圖，
取PA的中點(diǎn)E，連接DE，EN，
∵ 點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，∴ EN // AB,EN=12AB．
∵ 點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，底面ABCD是正方形，
∴ DM // AB,DM=12AB．
∴ EN // DM，EN=DM．
∴ 四邊形EDMN是平行四邊形．
∴ MN // DE．
∵ DE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴ MN // 面PAD.
(2)解：取AB中點(diǎn)G，連接NG，則NG // PA，PA⊥面ABCD，
∴ NG⊥面ABCD．
∵ AM?面ABCD，
∴ NG⊥AM．
過G作GF⊥AM，垂足為F，連接NF，
∵ NG∩GF=G，NG?面NGF，GF?面NGF，
∴ AM⊥面NGF．
∵ NF?面NGF，
∴ AM⊥NF．
∴ ∠NFG是二面角N?AM?B的平面角．
在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，
得NG=MN2?MG2=52?32=4，
在Rt△MGA中，AG=32，
得AM=MG2+AG2=32+(32)2=352，
GF=AG?MGAM=32×3352=355．
在Rt△NGF中，NF=NG2+GF2=42+(355)2=4455，
∴ cs∠NFG=GFNF=3554455=38989．
∴ 二面角N?AM?B的余弦值為38989．
【考點(diǎn)】
直線與平面平行的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）要證明線面平行，需要設(shè)法在平面PAD內(nèi)找到與MN平行的直線，因?yàn)榻o出的M，N分別是DC和PB的中點(diǎn)，所以聯(lián)想到找PA的中點(diǎn)E，然后利用三角形的中位線知識(shí)結(jié)合底面是正方形證出DE // MN，則問題得到證明；
（2）求二面角N?AM?B的余弦值，可采用找二面角的平面角的辦法，因?yàn)橐鬃C平面PAB⊥平面ABCD，所以可以直接過N作AB的垂線垂足為G，則該垂線垂直于底面，然后過垂足G作AM的垂線GF，連接NF，則二面角的平面角找出，然后利用題目給出的條件，通過解直角三角形進(jìn)行求解即可．
【解答】
(1)證明：如圖，
取PA的中點(diǎn)E，連接DE，EN，
∵ 點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，∴ EN // AB,EN=12AB．
∵ 點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，底面ABCD是正方形，
∴ DM // AB,DM=12AB．
∴ EN // DM，EN=DM．
∴ 四邊形EDMN是平行四邊形．
∴ MN // DE．
∵ DE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴ MN // 面PAD.
(2)解：取AB中點(diǎn)G，連接NG，則NG // PA，PA⊥面ABCD，
∴ NG⊥面ABCD．
∵ AM?面ABCD，
∴ NG⊥AM．
過G作GF⊥AM，垂足為F，連接NF，
∵ NG∩GF=G，NG?面NGF，GF?面NGF，
∴ AM⊥面NGF．
∵ NF?面NGF，
∴ AM⊥NF．
∴ ∠NFG是二面角N?AM?B的平面角．
在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，
得NG=MN2?MG2=52?32=4，
在Rt△MGA中，AG=32，
得AM=MG2+AG2=32+(32)2=352，
GF=AG?MGAM=32×3352=355．
在Rt△NGF中，NF=NG2+GF2=42+(355)2=4455，
∴ cs∠NFG=GFNF=3554455=38989．
∴ 二面角N?AM?B的余弦值為38989．

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