?專題12 數(shù)列
1．【2021·北京高考真題】和是兩個等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知條件求出的值，利用等差中項的性質(zhì)可求得的值.
【詳解】由已知條件可得，則，因此，.
故選：B.
2．【2021·北京高考真題】數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，，則的最大值為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式即可得解.
【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，
不妨設(shè)數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，
則，，，
所以n的最大值為11.
故選：C.
3．【2021·浙江高考真題】已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因為，所以，．
由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，
由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．
4．【2021·全國高考真題（理）】等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】當(dāng)時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，
但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．
【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．
5．【2020年高考全國II卷理數(shù)】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)

A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊
【答案】C
【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，
設(shè)為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因為下層比中層多729塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
故選：C
【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關(guān)的計算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.
6．【2020年高考北京】在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
【答案】B
【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，
則其通項公式為：，
注意到，
且由可知，
由可知數(shù)列不存在最小項，
由于，
故數(shù)列中的正項只有有限項：，.
故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.
故選：B．
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題.
7．【2020年高考浙江】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；
對于B，由題意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；
對于C，，
當(dāng)時，，C正確；
對于D，，，
．
當(dāng)時，，∴即；
當(dāng)時，，∴即，所以，D不正確．
故選：D.
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．【2019年高考全國I卷理數(shù)】記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題知，，解得，∴，,故選A．
【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，再適當(dāng)計算即可做了判斷．
9．【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，
解得，，故選C．
【名師點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.
10．【2019年高考浙江卷】設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=an2+b，，則
A． 當(dāng) B． 當(dāng)
C． 當(dāng) D． 當(dāng)
【答案】A
【解析】①當(dāng)b=0時，取a=0，則.
②當(dāng)時，令，即.
則該方程，即必存在，使得，
則一定存在，使得對任意成立，
解方程，得，
當(dāng)時，即時，總存在，使得，
故C、D兩項均不正確.
③當(dāng)時，，
則，
.
（?。┊?dāng)時，，
則，
，
，
則，
，
故A項正確.
（ⅱ）當(dāng)時，令，則，
所以，以此類推，
所以，
故B項不正確.
故本題正確答案為A.
【名師點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進(jìn)一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.
11．【2021·全國高考真題】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.
【答案】5
【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.
【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設(shè)，
則，
兩式作差得：


，
因此，.
故答案為：；.
【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；
（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；
（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.
12．【2020年高考浙江】我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的前3項和是_______．
【答案】
【解析】因為，所以．
即．
故答案為：.
【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列中的項并求和，屬于容易題．
13．【2020年高考江蘇】設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.
等差數(shù)列的前項和公式為，
等比數(shù)列的前項和公式為，
依題意，即，
通過對比系數(shù)可知，故.
故答案為：.
【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.
14．【2020年高考山東】將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．
【答案】
【解析】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項和為，
故答案為：.
【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.
15．【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=___________．
【答案】
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，
所以所以．
【名師點睛】準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式的計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．
16．【2019年高考全國III卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________．
【答案】4
【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
因，所以，即，
所以．
【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計算．滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．
17．【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為___________．
【答案】 0，.
【解析】等差數(shù)列中,,得又,所以公差,,
由等差數(shù)列的性質(zhì)得時,,時,大于0,所以的最小值為或,即為.
【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式?求和公式?等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識?基礎(chǔ)知識?基本運算能力的考查.
18．【2019年高考江蘇卷】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是___________．
【答案】16
【解析】由題意可得：，
解得：，則.
【名師點睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.
19．【2021·浙江高考真題】已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求的范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得

，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.
20．【2021·全國高考真題】記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；
(2)首先求得前n項和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數(shù)列的通項公式為：.
(2)由數(shù)列的通項公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.
【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.
21．【2021·北京高考真題】定義數(shù)列：對實數(shù)p，滿足：①，；②；③，．
（1）對于前4項2，-2，0，1的數(shù)列，可以是數(shù)列嗎？說明理由；
（2）若是數(shù)列，求的值；
（3）是否存在p，使得存在數(shù)列，對？若存在，求出所有這樣的p；若不存在，說明理由．
【答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；．
【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；
(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定的值；
(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)的值.
【詳解】(1)由性質(zhì)③結(jié)合題意可知，
矛盾，故前4項的數(shù)列，不可能是數(shù)列.
(2)性質(zhì)①，
由性質(zhì)③，因此或，或，
若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因為或，所以或.
若，則，
不滿足，舍去.
當(dāng)，則前四項為:0，0，0，1，
下面用納法證明：
當(dāng)時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，
當(dāng)時：
若，則，利用性質(zhì)③：
，此時可得：；
否則，若，取可得：，
而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因為，有
即當(dāng)時命題成立，證畢.
綜上可得：，.
(3)令，由性質(zhì)③可知：
，
由于，
因此數(shù)列為數(shù)列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此時，，滿足題意.
【點睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
22．【2021·全國高考真題】已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；
（2）求的前20項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可求的通項.
（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得的前項和為可化為，利用（1）的結(jié)果可求.
【詳解】（1）由題設(shè)可得
又，，
故，即，即
所以為等差數(shù)列，故.
（2）設(shè)的前項和為，則，
因為，
所以
.
【點睛】方法點睛：對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項的遞推關(guān)系或偶數(shù)項的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項公式、求和公式等來求解問題.
23．【2021·全國高考真題（理）】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
【答案】答案見解析
【分析】選①②作條件證明③時，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；
選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；
選②③作條件證明①時，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列.
【詳解】選①②作條件證明③：
設(shè)，則，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
因為也是等差數(shù)列，所以，解得；
所以，所以.
選①③作條件證明②：
因為，是等差數(shù)列，
所以公差，
所以，即，
因為，
所以是等差數(shù)列.
選②③作條件證明①：
設(shè)，則，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
因為，所以，解得或；
當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；
當(dāng)時，，不合題意，舍去.
綜上可知為等差數(shù)列.
【點睛】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項法.
24．【2021·全國高考真題（理）】記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得.
【詳解】（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;
（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當(dāng)n=1時，,
當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系，數(shù)列的前n項積與項的關(guān)系，其中由,得到，進(jìn)而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前n項和，積與數(shù)列的項的關(guān)系，消和（積）得到項（或項的遞推關(guān)系），或者消項得到和（積）的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法.
25．【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】
設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得 即.
所以 解得（舍去），.
故的公比為.
（2）設(shè)為的前n項和.由（1）及題設(shè)可得，.所以
，
.
可得

所以.
26．【2020年高考全國III卷理數(shù)】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．
（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；
（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．
【解析】（1） 猜想 由已知可得
，
，
……
.
因為，所以
（2）由（1）得，所以
. ①
從而
.②
得
，
所以
27．【2020年高考江蘇】已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．
（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；
（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；
（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ～3”數(shù)列，且？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．
【解析】（1）因為等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，
也即，此式對一切正整數(shù)n均成立．
若，則恒成立，故，而，
這與是等差數(shù)列矛盾．
所以．（此時，任意首項為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）
（2）因為數(shù)列是“”數(shù)列，
所以，即．
因為，所以，則．
令，則，即．
解得，即，也即，
所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列．
因為，所以．則
（3）設(shè)各項非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，
則，即．
因為，而，所以，則．
令，則，即．（*）
①若或，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個．
（此數(shù)列為1，0，0，0，…）
②若，則（*）化為，
因為，所以，則（*）只有一解為，
即符合條件的數(shù)列只有一個．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）
③若，則的兩根分別在（0，1）與（1，+∞）內(nèi)，
則方程（*）有兩個大于或等于1的解：其中一個為1，另一個大于1（記此解為t）．
所以或．
由于數(shù)列從任何一項求其后一項均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列有無數(shù)多個，則對應(yīng)的有無數(shù)多個．
綜上所述，能存在三個各項非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，的取值范圍是．
28．【2020年高考山東】
已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）設(shè)的公比為．由題設(shè)得，．
解得（舍去），．由題設(shè)得．
所以的通項公式為．
（2）由題設(shè)及（1）知，且當(dāng)時，．
所以

．
29．【2020年高考天津】
已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．
【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由，，可得，從而的通項公式為．由，又，可得，解得，從而的通項公式為．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，故，，從而，所以．
（Ⅲ）解：當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，．
對任意的正整數(shù)，有，
和． ①
由①得． ②
由①②得，從而得．
因此，．
所以，數(shù)列的前項和為．
30．【2020年高考浙江】已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足．
（Ⅰ）若{bn}為等比數(shù)列，公比，且，求q的值及數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若{bn}為等差數(shù)列，公差，證明：．
【解析】（Ⅰ）由得，解得．
由得．
由得．
（Ⅱ）由得，
所以，
由，得，因此．
31．【2020年高考北京】已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：
①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；
②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．
(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；
(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；
(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.
【解析】
(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；
(Ⅱ)具有性質(zhì)①；
具有性質(zhì)②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設(shè)恒為正數(shù)：
顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項，設(shè)，
第一種情況：若，即，
由①可知：存在，滿足，存在，滿足，
由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.
第二種情況：若，由①知存在實數(shù)，滿足，由的定義可知：，
另一方面，，由數(shù)列單調(diào)性可知：，
這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.
同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負(fù)數(shù).
綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.
其次，證明：
利用性質(zhì)②：取，此時，
由數(shù)列的單調(diào)性可知，
而，故，
此時必有，即，
最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：
假設(shè)數(shù)列的前項成等比數(shù)列，不妨設(shè)，
其中，（情況類似）
由①可得：存在整數(shù)，滿足，且 （*）
由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，
由可得： （**）
由（**）和（*）式可得：，
結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，
注意到均為整數(shù)，故，
代入（**）式，從而.
總上可得，數(shù)列的通項公式為：.
即數(shù)列為等比數(shù)列.
【解法二】假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：
首先利用性質(zhì)②：取，此時，
由數(shù)列的單調(diào)性可知，
而，故，
此時必有，即，
即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，
然后利用性質(zhì)①：取，則，
即數(shù)列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，
否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，
在性質(zhì)②中，取，則，從而，
與前面類似的可知則存在，滿足，
若，則：，與假設(shè)矛盾；
若，則：，與假設(shè)矛盾；
若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；
即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，
同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，
同理，當(dāng)數(shù)列中的項數(shù)均為負(fù)數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.
由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負(fù)，不會同時出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).
從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.
【點睛】本題主要考查數(shù)列的綜合運用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.
32．【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項公式.
【答案】（1）見解析；（2），.
【解析】（1）由題設(shè)得，即．
又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
由題設(shè)得，即．
又因為a1–b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．
【名師點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.
33．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項、第i2項、…、第im項（i1

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