許昌市2020—2021學年第二學期高中期末考試高二理科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．將條形碼粘貼在“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（    ）A．   B．    C．    D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A．     B．    C．     D．3．已知，則（    ）A．     B．     C．     D．4．下表是某產(chǎn)品1~4月份銷量（單位：百件）的一組數(shù)據(jù)，分析后可知，銷量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是，則預(yù)測5月份的銷量是（    ）月份1234銷量4.5432.5A．2     B．1.5     C．2.5     D．1.65．函數(shù)在處的切線方程為，則（    ）A．10     B．20     C．30     D．406．若，，，，則，，大小關(guān)系正確的是（    ）A．   B．   C．   D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（    ）A．4     B．2     C．1     D．8．已知雙曲線，，為雙曲線的左右焦點，在雙曲線上，若，則雙曲線的離心率為（    ）A．     B．    C．    D．9．若，，則“”的一個充分不必要條件是（    ）A．    B．    C．且   D．或10．在區(qū)間上任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之和小于的概率是（    ）A．     B．     C．     D．11．已知函數(shù)（其中，）滿足，直線為的一條對稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的最大值為（    ）A．6     B．10     C．14     D．1812．數(shù)列的首項，且，令，則（    ）A．2020     B．2021     C．2022     D．2023二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．的展開式的常數(shù)項是______．14．“華東五市游”作為中國一條精品旅游路線一直受到廣大旅游愛好者的推崇．現(xiàn)有5名高三學生準備2021年高考后到“華東五市”中的上海市、南京市、蘇州市、杭州市四地方旅游，假設(shè)每名同學均從這四個地方中任意選取一個去旅游，則恰有一個地方未被選中的概率為______．15．已知拋物線．如圖，過焦點作斜率為直線交拋物線于，兩點，交拋物線的準線于點，若，則（    ）A．     B．     C．    D．16．已知函數(shù)，在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：60分．17．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，求的值；（2）若的平分線交于，且，求的最小值．18．（12分）某機器生產(chǎn)商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修方案：方案一：交納延保金600元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費1500元；案二：交納延保金7845元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維費元．某工廠準備一次性購買兩臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了100臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，統(tǒng)計得如表：維修次數(shù)0123機器臺數(shù)10204030以這100臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率．記表示這兩臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1）求的分布列；（2）以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合算．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面底面，為的中點．（1）求證：；（2）在線段（不包括端點）上是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．20．（12分）已知橢圓，雙曲線，設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦點，點，分別為橢圓與雙曲線在第一、二象限的交點．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線與軸相交于點，過點作直線交橢圓于，兩點（不同于，），求證：直線與直線的交點在一定直線上運動，并求出該直線的方程．21．（12分）已知函數(shù)，其中，．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）當時，求證．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】（10分）在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若極坐標方程為的曲線與曲線（為參數(shù)）相交于，兩點，曲線是以為直徑的圓．（1）求曲線的極坐標方程．（2）若過點斜率為的直線與曲線相交于、兩點，求線段中點的坐標和線段的長度．23．【選修4-5：不等式選講】（10分）已知關(guān)于實數(shù)的不等式無解．（1）求實數(shù)的取值組成的集合．（2）已知且，，求的最小值．  許昌市2020—2021學年第二學期高中期末考試高二理科數(shù)學參考答案1．B 2．A 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．C11．C【解析】∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，∴，即，解得：，∵是的零點，直線為圖象的一條對稱軸，∴，即，當時，，，取，此時在上單調(diào)遞減，滿足題意；故選C．12．2022解：因為，所以，所以且，所以數(shù)列是以4為首項，公比為4的等比數(shù)列，所以，即，代入得，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，則．13．61  14． 15．16．函數(shù)的定義域為，且，令，則，且．（1）當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，，當時，，所以在處取得最小值，滿足題意．（2）當時，即，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，，當時，，所以在處取得最小值，滿足題意．（3）當時，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，所以當時，，單調(diào)遞減，不符合題意．（4）當時，即，且當時，，單調(diào)遞減，，當時，，單調(diào)遞減，，所以在處取得極大值，不符合題意．綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．17．解析：（1）由正弦定理，得，即；由余弦定理得，又，所以；所以．（2）由題意得，即，所以，即；則，當且僅當，即，時取等號；所以的最小值為9．解：（1）根據(jù)題意，隨機變量的所有取值為0，1，2，3，4，5，6，因為以這100臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率．所以，，，，，，，．所以隨機變量的分布列為：01234560．010．040．120．220．280．240．09（2）設(shè)所需延保金與維修費用之和為，若采用方案1，則隨機變量分布列為：60007500900010500120000．170．220．280．240．09則隨機變量的期望為：元．若采用方案2，則隨機變量的分布列為：78450．670．240．09所以隨機變量的期望為：元．令，得元，①若，則方案1的費用高，應(yīng)選擇方案2．②若，則兩種方案費用一樣多，可以任選一個方案．③若，則方案2的費用高，應(yīng)選擇方案1．19．解：（1）取的中點連，，∵，∴，又面面，面面，面，∴面，法一：面，則，在正方形內(nèi)，，分別為，的中點，∴，則有，又，∴，∴，，∴平面，又平面，∴．法二：取的中點，連，則，，兩兩垂直，∴分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標系．設(shè)，則，，，，∴，，則有，∴．（2）由（1）中法二，所得空間直角坐標系，易知，，，，設(shè)，則，．設(shè)面的法向量為，則，即，令，則．設(shè)直線與平面所成的角為，，∴整理得：，即．∴在上存在點，使得直線與平面成角的正弦值為，此時點為靠近點的三等份點，即．20．解：（1）因為橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以，……①將點代入橢圓方程得，……②聯(lián)立①②解得，，，所以橢圓的標準方程為：．（2）由條件知直線與直線不重合，故直線的斜率不為0，且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，，，則，，由，，共線得：，即：，……③同理，由，，共線得：，……④由④﹣③消去并整理得，，所以，解得，綜上所述，直線與直線的交點在定直線上運動．21．解（1）設(shè)，則，當時，，所以單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，此時，即，滿足題意．②當時，在內(nèi)必然存在一個，使得．即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，不滿足題意．所以實數(shù)的取值范圍為．（2）當時，，所以要證，只需證．由（1）可知時，，即，所以要證，只需證，即證．設(shè)，則．所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．所以當時 ．22．解：（1）化為直角坐標方程為①，化為普通方程為②，①②聯(lián)立得，，所以曲線的普通方程為③．故的極坐標方程為．（2）依已知設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）并代入③式整理得，由于，所以，，所以，，，故的坐標為，由的幾何意義知．23．解：（1）設(shè)，由于（當且僅當時等號成立），所以函數(shù)的最小值為，故只需，所以，．（2）由（1）知，所以（當且僅當時取等號）．

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