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九年級上學期數(shù)學開學試卷
一、單項選擇題
以下四個實數(shù)中，最大的數(shù)是〔?? 〕
A.?﹣3?????????????????????????????????????????B.?0?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.以下計算正確的選項是〔??? 〕
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
3.十九大報告指出，我國目前經(jīng)濟保持了中高速增長，在世界主要國家中名列前茅，國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增長80萬億元，穩(wěn)居世界第二，其中80萬億用科學記數(shù)法表示為〔?? 〕
A.?8×1012?????????????????????????????B.?8×1013?????????????????????????????C.?8×1014?????????????????????????????D.?0.8×1013
4.以下調(diào)查方式，你認為最適宜的是〔?? 〕
A.?了解北京市每天的流動人口數(shù)，采用抽樣調(diào)查方式??????????B.?旅客上飛機前的安檢，采用抽樣調(diào)查方式
C.?了解北京市居民〞一帶一路〞期間的出行方式，采用全面調(diào)查方式??????????D.?日光燈管廠要檢測一批燈管的使用壽命，采用全面調(diào)查方式
5.函數(shù)y=kx﹣3與y= 〔k≠0〕在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是〔? 〕
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
6.如圖，有一個平行四邊形 和一個正方形 ，其中點 在邊 上.假設(shè) ， ,那么 的度數(shù)為〔??? 〕

A.?55o??????????????????????????????????????B.?60o??????????????????????????????????????C.?65o??????????????????????????????????????D.?75o
7.現(xiàn)有甲，乙兩種機器人都被用來搬運某體育館室內(nèi)裝潢材料甲型機器人比乙型機器人每小時少搬運30千克，甲型機器人搬運600千克所用的時間與乙型機器人搬運800千克所用的時間相同，兩種機器人每小時分別搬運多少千克？設(shè)甲型機器人每小時搬運x千克，根據(jù)題意，可列方程為(??? )
A.?＝ ???????????????B.?＝ ???????????????C.?＝ ???????????????D.?＝
8.如圖，平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A〔3，0〕，B〔﹣2，0〕，頂點D在y軸正半軸上，那么點C的坐標為〔??? 〕

A.?〔﹣3，4〕??????????????????????B.?〔﹣4，5〕??????????????????????C.?〔﹣5，5〕??????????????????????D.?〔﹣5，4〕
9.假設(shè)點A(–2， )、B( –1， )、C(1， )都在反比例函數(shù) ( 為常數(shù))的圖像上，那么 、 、 的大小關(guān)系為〔??? 〕
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
10.如圖，點 是反比例函數(shù) 在第一象限圖像上的一個動點，連接 ，以 ?為長， 為寬作矩形 ，且點 在第四象限，隨著點 的運動，點 也隨之運動，但點 始終在反比例函數(shù) 的圖像上，那么 的值為〔??? 〕

A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
二、填空題
11.因式分解： ________.
12.如果代數(shù)式 有意義，那么x的取值范圍為________．
〔﹣1，2〕，B〔2，﹣1〕，C〔m，m〕三點在同一條直線上，那么m的值等于________.
14.一個質(zhì)地均勻的小正方體，6個面分別標有數(shù)字1，1，2，4，5，5，假設(shè)隨機投擲一次小正方體，那么朝上一面的數(shù)字是5的概率為________．
15.一個多邊形的內(nèi)角和為540°，那么這個多邊形是________邊形．
16.如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點E，AF⊥BC于點F，BE、AF交于點P，假設(shè)AB=9，PF=3，那么△ABP的面積是________.

17.如圖，正方形 的邊長為5 cm， 是 邊上一點， cm.動點 由點 向點 運動，速度為2 cm/s ， 的垂直平分線交 于 ，交 于 .設(shè)運動時間為 秒，當 時， 的值為________.

18.如圖，平面直角坐標系中，點A、B分別是x、y軸上的動點，以AB為邊作邊長為2的正方形ABCD，那么OC的最大值為________.

三、解答題
19.計算：〔﹣ 〕2+ ﹣〔 〕0+|1﹣2|
20.解不等式組:
21.先化簡，再求值：〔x﹣2﹣ 〕÷ ，其中x＝2 ﹣4.
方案購進甲、乙兩種商品，購進甲商品2件和乙商品1件共需50元，購進甲商品1件和乙商品2件共需70元．
〔1〕求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元？
〔2〕商場決定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，為滿足市場需求，需購進甲、乙兩種商品共60件，假設(shè)要保證獲利不低于1000元，那么甲商品最多能購進多少件？
23.?如果想毀掉一個孩子，就給他一部 !?這是2021年微信圈一篇熱傳的文章.國際上，法國教育部宣布從2021年9月新學期起小學和初中禁止學生使用 .為了解學生 使用情況，某學校開展了“ 伴我健康行〞主題活動，他們隨機抽取局部學生進行“使用 目的〞和“每周使用 的時間〞的問卷調(diào)查，并繪制成如圖①，②的統(tǒng)計圖，“查資料〞的人數(shù)是40人.

請你根據(jù)以上信息解答以下問題：
〔1〕在扇形統(tǒng)計圖中，“玩游戲〞對應(yīng)的百分比為________，圓心角度數(shù)是________度；
〔2〕補全條形統(tǒng)計圖；
〔3〕該校共有學生2100人，估計每周使用 時間在2小時以上〔不含2小時〕的人數(shù).
24.如圖，一次函數(shù) 的圖像與反比例函數(shù) 的圖像交于點 和點 ，與 軸交于點 .

〔1〕求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式.
〔2〕假設(shè)在 軸上有一點 ，其橫坐標是1，連接 、 ,求 的面積.
25.如圖，矩形 中， 于 ， 平分 與 交于點 .

〔1〕求證： ；
〔2〕假設(shè) ， ，求 的長.
26.如圖，點 是反比例函數(shù) 的圖像上的一個動點，經(jīng)過點 的直線 交 軸負半軸于點 ，交 軸正半軸于點 .過點 作 軸的垂線，交反比例函數(shù)的圖像于點 .過點 作 軸于點 ，交 于點 ，連接 .設(shè)點 的橫坐標是 .

〔1〕假設(shè) ，求點 的坐標(用含 的代數(shù)式表示);
〔2〕假設(shè) ，當四邊形 是平行四邊形時，求 的值，并求出此時直線 對應(yīng)的函數(shù)表達式.
27.正方形 中， 是 中點，點 從點 出發(fā)沿 的路線勻速運動，到點 停止，點 從點 出發(fā)，沿 路線勻速運動， 、 兩點同時出發(fā)，點 的速度是點 速度的 倍 ，當點 停止時，點 也同時停止運動，設(shè) 秒時，正方形 與 重疊局部的面積為 ， 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，那么

〔1〕求正方形邊長 ；
〔2〕求 的值；
〔3〕求圖2中線段 所在直線的解析式.
28.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點E、F分別在AC，AB上，連接EF.

〔1〕將△ABC沿EF折疊，使點A落在AB邊上的點D處，如圖1，假設(shè)S四邊形ECBD=2S△EDF ， 求AE的長；
〔2〕將△ABC沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點M處，如圖2，假設(shè)MF⊥CB.
①求AE的長；②求四邊形AEMF的面積；
〔3〕假設(shè)點E在射線AC上，點F在邊AB上，點A關(guān)于EF所在直線的對稱點為點P，問：是否存在以PF、CB為對邊的平行四邊形，假設(shè)存在，求出AE的長；假設(shè)不存在，請說明理由.

答案解析局部
一、單項選擇題
1.【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：﹣3＜0＜ ＜ ，
那么最大的數(shù)是： ．
故答案為：C．
【分析】正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，兩個正數(shù)絕對值大的就大，根據(jù)法那么即可得出結(jié)論。
2.【解析】【解答】解：A、 ，符合題意；
B、 ，不符合題意；
C、 ，不符合題意；
D、 ，不符合題意；
故答案為：A.

【分析】A、 同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減，所以正確，符合題意；
B、 同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，所以，不符合題意；
C、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，所以 ，不符合題意；
D、合并同類項的時候，只需要把系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)都不變，所以 ，不符合題意.
3.【解析】【解答】80萬億用科學記數(shù)法表示為8×1013 ．
故答案為：B．
【分析】首先將用計數(shù)單位表示的數(shù)復原，然后根據(jù)根據(jù)科學記數(shù)法表示的數(shù)的方法：用科學記數(shù)法表示一個絕對值較大的數(shù)，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10,n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去1，根據(jù)方法即可得出答案。
4.【解析】【解答】A、了解北京市每天的流動人口數(shù)，采用抽樣調(diào)查方式，A符合題意；
B、旅客上飛機前的安檢，采用全面調(diào)查方式，B不符合題意；
C、了解北京市居民〞一帶一路〞期間的出行方式，抽樣調(diào)查方式，C不符合題意；
D、日光燈管廠要檢測一批燈管的使用壽命，采用抽樣調(diào)查方式，D不符合題意.
故答案為：A．
【分析】一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.
5.【解析】【解答】解：∵當k＞0時，y=kx-3過一、三、四象限，反比例函數(shù)y= 過一、三象限，
當k＜0時，y=kx-3過二、三、四象限，反比例函數(shù)y= 過二、四象限，
∴B不符合題意；
故答案為：B．
【分析】對k的值分兩種情況：k＞0和k＜0時，y=kx﹣3和y=〔k≠0〕經(jīng)過的象限，二者一致的即為正確答案。
6.【解析】【解答】解：根據(jù)平角的性質(zhì)可得
?
又 四邊形 為正方形
?
?
在三角形DEC中
?
?
?
?四邊形 為平行四邊形
?
故答案為：D.
【分析】根據(jù)平角的定義及正方形的性質(zhì)得出， 在△DEC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠D=75°，根據(jù)平行四邊形的對角相等得出∠B的度數(shù)。
7.【解析】【解答】解：設(shè)甲型機器人每小時搬運x千克，那么乙型機器人每小時搬運〔x+30〕千克，
依題意，得： .
故答案為：A.
【分析】設(shè)甲型機器人每小時搬運x千克，那么乙型機器人每小時搬運〔x+30〕千克，根據(jù)工作總量除以工作效率等于工作時間得出：甲 型機器人搬運600千克所用的時間為小時， 乙型機器人搬運800千克所用的時間為小時，根據(jù) 甲型機器人搬運600千克所用的時間與乙型機器人搬運800千克所用的時間相同即可列出方程。
8.【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的頂點A〔3，0〕，B〔﹣2，0〕，
∴CD＝AB＝5，
∴點C的橫坐標為﹣5，
∵頂點D在y軸正半軸上，
∴OD＜5，
∴選項A、B、C不正確；
故答案為：D.
【分析】根據(jù)兩點間的距離公式及菱形的性質(zhì)得出CD＝AB＝5，根據(jù)直角三角形三邊的大小關(guān)系判斷得出OD＜5，然后根據(jù)點的坐標與圖形的性質(zhì)即可一一判斷得出答案。
9.【解析】【解答】解：根據(jù) ，可得反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限
因此在x的范圍內(nèi)，隨著x的增大，y在減小
因為A、B兩點的橫坐標都小于0，C點的橫坐標大于0
因此可得
故答案為：C.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象、系數(shù)與性質(zhì)的關(guān)系可知：當比例系數(shù) 時，反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，而且在每一個象限內(nèi)隨著x的增大，y在減小，進而即可根據(jù)A,B,C三點所在的象限點的坐標特點及反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷得出答案。
10.【解析】【解答】解：分別過A，C作AE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，
設(shè)A〔a，b〕，
∴OE=a，AE=b，
∵在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴ab= ，
?

∵四邊形AOCB是矩形，
∴∠AOE+∠COF=90°，
∴∠OAE=∠COF=90°-∠AOE，
∴△AOE∽△OCF，
∵OC= OA，
∴ = ，
∴OF= AE= b，CF= OE= a，
∵C在反比例函數(shù)y= 的圖象上，且點C在第四象限，
∴k=-OF?CF=- b? a=-3ab=-3 ，
故答案為：A.
【分析】分別過A，C作AE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，設(shè)A〔a，b〕，那么OE=a，AE=b，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特點得出ab= ，根據(jù)同角的余角相等得出∠OAE=∠COF，進而根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得出△AOE∽△OCF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出= ， 故OF= AE= b，CF= OE= a，進而根據(jù)反比例函數(shù)k的結(jié)合意義即可得出k=-OF?CF，從而得出答案。
二、填空題
11.【解析】【解答】解：x2－xy= x(x－y).
故答案為： x(x－y).
【分析】利用提公因式法直接分解即可。
12.【解析】【解答】解：由題意得，x+2＞0，
解得，x＞﹣2，
故答案為：x＞﹣2．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．
13.【解析】【解答】解：設(shè)經(jīng)過A〔﹣1，2〕，B〔2，﹣1〕兩點的直線解析式為y＝kx+b，
把點的坐標代入解析式，得 ，解得
所以：y＝﹣x+1
把C〔m，m〕代入解析式，得m＝﹣m+1
解得 .
故答案是： .
【分析】先根據(jù)A,B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再將C〔m，m〕代入所求的解析式即可求出m的值。
14.【解析】【解答】解：∵一個質(zhì)地均勻的小正方體由6個面，其中標有數(shù)字5的有2個，
∴隨機投擲一次小正方體，那么朝上一面的數(shù)字是5的概率= = ．
故答案為： ．
【分析】先求出5的總數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論．
15.【解析】【解答】設(shè)這個多邊形是n邊形，由題意得，
(n-2) ×180°=540°,解之得，n=5.
【分析】設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n-2) ×180°及多邊形的內(nèi)角和等于540°即可建立方程，求解即可。
16.【解析】【解答】解：如圖，作PH⊥AB于H.

∵BE平分∠ABC，PH⊥AB，PF⊥BC，
∴PH=PF=3，
∴ ，
故答案為 ：.
【分析】如圖，作PH⊥AB于H，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出PH=PF=3，進而根據(jù)即可算出答案。
17.【解析】【解答】解：連接ME

根據(jù)MN垂直平分PE
可得 為等腰三角形，即ME=PM
?

?
?
?
?
故答案為：2.
【分析】連接ME，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等得出ME=PM，根據(jù)兩平行線間的平行線段相等得出BC=MP=5，在Rt△AME中，根據(jù)勾股定理算出AM的長，進而再根據(jù)兩平行線間的平行線段相等得出AM=DP，最后根據(jù)路程除以速度即可算出時間t的值。
18.【解析】【解答】解：如圖，

取AB的中點E，連接OE、CE，那么BE= ×2=1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE= ,
∵∠AOB=90°，點E是AB的中點，
∴OE=BE=1，
由兩點之間線段最短可知，當OE+CE=OC時，OC最大，
∴OC的最大值= +1.
故答案為： +1.

【分析】取AB的中點E，連接OE、CE，根據(jù)線段中點的定義求出BE，利用勾股定理求出CE，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE的長，根據(jù)兩點之間線段最短判斷出點O、E、C三點共線時OC最大，從而即可得出答案。
三、解答題
19.【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運算法那么、二次根式的性質(zhì)、0指數(shù)的意義、絕對值的意義分別化簡，再根據(jù)實數(shù)的加減法法那么算出答案。
20.【解析】【分析】分別解出不等式組中每一個不等式的解集，然后根據(jù)大小小大取中間得出該不等式組的解集。
21.【解析】【分析】先通分計算括號內(nèi)異分母分式的減法，然后將各個分式的分子、分母能分解因式的分別分解因式，將除式的分子、分母交換位置，將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?，約分化為最簡形式；最后代入x的值，按實數(shù)的加減法法那么算出結(jié)果。
22.【解析】【分析】〔1〕此題的等量關(guān)系為：2×甲商品的單價+1×乙商品的單價=50；1×甲商品的單價+2×乙商品的單價=70，設(shè)未知數(shù)，列方程組求解即可。
〔2〕等量關(guān)系為：購置甲商品的數(shù)量+購置乙商品的數(shù)量=60；不等關(guān)系為：每一件甲商品的利潤×甲商品的數(shù)量+每一件乙商品的利潤×乙商品的數(shù)量≥1000，列不等式，解不等式求出此不等式的最小正整數(shù)解即可。
23.【解析】【解答】解：(1)根據(jù)題意得：1﹣(40%+18%+7%)＝35%，
那么“玩游戲〞對應(yīng)的圓心角度數(shù)是360°×35%＝126°，
故答案為：35%，126；

【分析】〔1〕根據(jù)“打 〞、“查資料〞、“玩游戲〞及“其他〞的百分比之和為1即可求出“玩游戲〞對應(yīng)的百分比 ；利用“玩游戲〞對應(yīng)的百分比×360°即可求出“玩游戲〞對應(yīng)的圓心角度數(shù)；〔2〕 先根據(jù)查資料〞的人數(shù)及對應(yīng)的百分比求出總?cè)藬?shù)， 再用總?cè)藬?shù)分別減去除3小時以上的人數(shù)即可求出 3小時以上的人數(shù) ；〔3〕先求出每周使用 時間在2小時以上〔不含2小時〕的人數(shù)所占的百分比，再乘以該校共有的學生人數(shù)即可.
24.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標的乘積都等于比例系數(shù)即可列出關(guān)于m,n的方程組，求解得出m,n的值，從而求出了反比例函數(shù)的解析式及點A,B的坐標，將點A,B的坐標代入 一次函數(shù) 即可列出關(guān)于k,b的二元一次方程組，求解得出k,b的值，從而求出一次函數(shù)的解析式；
〔2〕 設(shè)直線y=﹣ x+4與x軸交于點E， 根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸交點的坐標特點求出點C,E的坐標，進而根據(jù) S△ACD=S△CDE﹣S△ADE =算出答案。
25.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 ∠BCD=90°， 根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出 ∠CDB+∠DBC=90° ，∠DBC+∠ECB=90° ，根據(jù)同角的余角相等得出 ∠ECB=∠CDB ，根據(jù)角平分線的定義得出 ∠DCF=∠ECF， 進而根據(jù)角的和差、三角形外角的性質(zhì)及等式的性質(zhì)得出 ∠CFB=∠BCF ，根據(jù)等角對等邊得出BF=BC；
〔2〕根據(jù)矩形的對邊相等得出 DC=AB=4〔cm〕，BC=AD=3〔cm〕， 在Rt△BCD中，由勾股定理算出BD的長，根據(jù)三角形的面積法得出 BD·CE=BC·DC 根據(jù)等積式即可算出CE的長，在△BCE中，根據(jù)勾股定理即可算出BE的長，進而根據(jù)線段的和差算出EF的長，最后在△CEF中，根據(jù)勾股定理算出CF的長。
26.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特點，用含a的式子表示出點A的坐標，進而即可表示出AE的長，然后判斷出 △BOC∽△BEA ，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 = ， 根據(jù)比例式即可求出OC的長，從而即可得出點C的縱坐標的值，根據(jù)點的坐標與圖形的性質(zhì)，點D的縱坐標也是該值，從而將點D的縱坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可算出對應(yīng)的自變量的值，從而求出點D的坐標；
〔2〕由OC=3得出點C〔0,3〕，根據(jù)點的坐標與圖形的性質(zhì)得出點D〔4,3〕，根據(jù)兩點間的距離公式得出CD的長，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等得出 BE=CD=4，且CD∥BE ，進而判斷出 △ACF∽△ABE， 根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 ， 根據(jù)比例式建立方程，求解得出a的值，從而求出點A的坐標，根據(jù)點A,C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線l的解析式。
27.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)圖象提供的信息可知：當t=0的時候，函數(shù)值y=144，即正方形ABCD的面積是144，從而根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方就可算出AB的長；
〔2〕 當0≤t≤4時 ，根據(jù) 建立出y與t的函數(shù)關(guān)系式，進而將點K的坐標代入該解析式即可算出m的值；
〔3〕 當 時， 點P在BC上，點Q在CD上，如以以下列圖2所示： 建立出y與t的函數(shù)關(guān)系式，然后將t=8代入即可算出對應(yīng)的函數(shù)值，從而求出點E的坐標； 同理可得點F的坐標，然后根據(jù)點E,F的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線EF的解析式。
28.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)折疊的性質(zhì)可知 EF⊥AB，△AEF≌△DEF， 故 S△AEF=S△DEF ， 又 S四邊形ECBD=2S△EDF ， 故 S△ABC=4S△AEF ， 在Rt△ABC中 利用勾股定理算出AB的長，然后判斷出 Rt△AEF∽△Rt△ABC， 根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方得出 從而列出方程，求解即可算出AE的長；
〔2〕 ① 根據(jù)折疊的性質(zhì)得出 AE=ME，AF=MF，∠AFE=∠MFE， 根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出 ∠AEF=∠AFE，根據(jù)等角對等邊得出AE=AF， 故 AE=EM=MF=AF， 從而得出 四邊形AEMF是菱形， 設(shè)AE=x，那么EM=x，CE=4－x；然后判斷出 △CME∽△CBA， 根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 ，根據(jù)比例式即可求出x的值，CM的長，進而即可算出AE的長； ② 根據(jù)平行線間的距離相等及菱形的面積等于底乘以高，由 即可算出答案；
〔3〕 ①如圖3，當點E在線段AC上時 ， PF與CB是平行四邊形的對邊，故 PF//CB，PF=CB，由對稱性知，PF=AF，AE=PE， 設(shè)AE=PE=a， 然后判斷出 △AOF∽△ACB， 根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 ， 根據(jù)比例式即可算出AO,OF的長， 在Rt△OPE中 ，根據(jù)勾股定理建立方程，求解算出a的值，從而求出AE的長； ②如圖4，當點E在線段AC的延長線上時，延長PF交AC于O， 同理可求AE的長，綜上所述得出答案。

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