?2020年廣東省佛山市南海區(qū)桂城街道中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項）
1．（3分）﹣6的相反數(shù)是（　?。?br /> A．﹣6 B．﹣ C． D．6
2．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）在某市舉辦的主題為“英雄武漢”的網(wǎng)絡(luò)演講比賽中，七位選手的得分分別為：88，84，87，90，86，92，94，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（　　）
A．86 B．88 C．90 D．92
4．（3分）若∠α＝30°，則∠α的補角是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．（3分）如圖，將三角板的直角頂點放在兩條平行線a、b上，已知∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（3分）已知2a+3b＝4，則整式﹣4a﹣6b+1的值是（　?。?br /> A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣10
7．（3分）如圖，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數(shù)等于（　?。?br />
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．（3分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一個根，則方程的另一個根是（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點O，M、N分別為BC、OC的中點．若∠ACB＝30°，AB＝8，則MN的長為（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E為BC的中點，連接AE、DE，點P，點Q分別是AE、DE上的點，且PE＝DQ．設(shè)△EPQ的面積為y，PE的長為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（　?。?br />
A． B．
C． D．
二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）
11．（4分）||+2﹣1＝　 　．
12．（4分）正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是　 　度．
13．（4分）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則∠OAB的正弦值是　 ?。?br />
14．（4分）已知|x+2y|+（x﹣4）2＝0，則x+y＝　 ?。?br /> 15．（4分）如圖，周一某校升國旗時，甲、乙兩名同學(xué)分別站在C、D的位置時，乙的影子AD剛好在甲的影子AC里邊，已知甲身高BC為1.6米，乙身高DE為1.4米，甲的影長AC是6米，則甲、乙同學(xué)相距　 　米．

16．（4分）從一塊直徑為4m的圓形鐵皮上剪出一個如圖所示圓周角為90°的最大扇形，則陰影部分的面積為　 　m2（結(jié)果保留π）．

17．（4分）在平面坐標(biāo)系中，第1個正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），延長CB交x軸于點A1，作第2個正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2；作第3個正方形A2B2C2C1，…按這樣的規(guī)律進行下去，若點D、C、C1…在直線y＝x+2上，則A2019A2020＝　 ?。?br />
三、解答題（一）（本大題共3小題，每題6分，共18分）
18．（6分）解不等式組，并在數(shù)軸上表示它的解集．

19．（6分）化簡：（）．
20．（6分）如圖，△ABC是直角三角形，∠C是直角，AC＝3，BC＝4．
（1）過C點作CD垂直于AB，垂足為D；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求AD的長度．

四、解答題（二）（本大題共3小題，每題8分，共24分）
21．（8分）某物流公司承接A、B兩種抗疫物資的運輸業(yè)務(wù)，已知2月份A貨物運費單價為70元/噸，B貨物運費單價為40元/噸，共收取運費130000元；3月份由于油價下調(diào)，運費單價下降為：A貨物50元/噸，B貨物30元/噸；該物流公司3月承接的A種貨物和B種數(shù)量與2月份相同，3月份共收取運費95000元．
（1）該物流公司2月份運輸兩種貨物各多少噸？
（2）該物流公司預(yù)計4月份運輸這兩種貨物3300噸，且A貨物的數(shù)量不大于B貨物的2倍，在運費單價與3月份相同的情況下，該物流公司4月份最多將收到多少運費？
22．（8分）黨的十九大指出，脫貧攻堅戰(zhàn)成為我國全面建設(shè)小康社會的重中之重．為了調(diào)查學(xué)生對脫貧攻堅知識的了解程度，南海區(qū)某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組通過網(wǎng)上調(diào)查的方式在本校學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個等級：A．非常了解；B．比較了解；C．基本了解；D．不了解．
根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖的統(tǒng)計圖，結(jié)合統(tǒng)計圖，回答下列問題．
（1）本次抽樣調(diào)查的人數(shù)是　 　人；
（2）若該校有學(xué)生2000人，請根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計這些學(xué)生中“比較了解”脫貧攻堅知識的人數(shù)約為多少？
（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于脫貧攻堅知識競賽，某班要從“非常了解”的小明和小剛中選一人參加，現(xiàn)設(shè)計了如下游戲來確定，具體規(guī)則是：在一個不透明的袋中裝有2個紅球和2個白球，它們除了顏色外無其它差別，從中隨機摸出兩個球，若摸出的兩個球顏色相同，則小明去；否則小剛?cè)ィ堄脴錉顖D或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平．

23．（8分）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
求證：（1）AC＝EF；
（2）四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）AC⊥DF．

四、解答題（三）（本大題共2小題，每題10分，共20分）
24．（10分）如圖，AB是⊙〇的直徑，點C是⊙O上異于A、B的一點，點D是∠ABC角平分線上一點，連接AD、BD，其中BD交AC于點E，交⊙O于點F，且點F是DE的中點．
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若點E是BF的中點，求sin∠CAB的值；
（3）若AB＝13，BC＝5，求BE的長．

25．（10分）如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足∠DBA＝∠CAO（O是坐標(biāo)原點），求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點P是直線BC上方拋物線上的一點，過點P作PE⊥BC于點E，作PF∥y軸交BC于點F，求△PEF周長的最大值．


2020年廣東省佛山市南海區(qū)桂城街道中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項）
1．（3分）﹣6的相反數(shù)是（　　）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
【分析】相反數(shù)就是只有符號不同的兩個數(shù)．
【解答】解：根據(jù)概念，與﹣6只有符號不同的數(shù)是6．即﹣6的相反數(shù)是6．
故選：D．
2．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不合題意；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意．
故選：C．
3．（3分）在某市舉辦的主題為“英雄武漢”的網(wǎng)絡(luò)演講比賽中，七位選手的得分分別為：88，84，87，90，86，92，94，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（　　）
A．86 B．88 C．90 D．92
【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．
【解答】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為：84，86，87，88，90，92，94，處于中間位置的是88，
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是88．
故選：B．
4．（3分）若∠α＝30°，則∠α的補角是（　?。?br /> A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】相加等于180°的兩角稱作互為補角，也作兩角互補，即一個角是另一個角的補角．因而，求這個角的補角，就可以用180°減去這個角的度數(shù)．
【解答】解：180°﹣30°＝150°．
故選：D．
5．（3分）如圖，將三角板的直角頂點放在兩條平行線a、b上，已知∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為（　?。?br />
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根據(jù)∠4＝90°，∠2＝35°求出∠3的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠3，代入即可得出答案．
【解答】解：如圖：

∵∠4＝90°，∠2＝35°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝55°．
故選：C．
6．（3分）已知2a+3b＝4，則整式﹣4a﹣6b+1的值是（　?。?br /> A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣10
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義得：﹣2a﹣3b＝﹣4，首先化簡﹣4a﹣6b+1，然后把﹣2a﹣3b＝﹣4代入化簡后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵2a+3b＝4，
∴﹣2a﹣3b＝﹣4，
∴﹣4a﹣6b+1＝2（﹣2a﹣3b）+1＝﹣8+1＝﹣7，
故選：C．
7．（3分）如圖，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數(shù)等于（　?。?br />
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】首先利用線段垂直平分線的性質(zhì)推出∠DAC＝∠DCA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠ABC＝∠ACB，易求∠BCD的度數(shù)．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．
∴∠A＝50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°．
故選：B．
8．（3分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一個根，則方程的另一個根是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】把x＝4代入方程求出k，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣24+k＝0，
解得：k＝8，
即方程為x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
故選：A．
9．（3分）如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點O，M、N分別為BC、OC的中點．若∠ACB＝30°，AB＝8，則MN的長為（　?。?br />
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)得出AC＝BD＝16，進而求出BD＝2BO，再依據(jù)中位線的性質(zhì)推知MN＝BO．
【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，AC，BD交于點O，∠ACB＝30°，AB＝8，
∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，
∴BD＝2BO，即2BO＝16．
∴BO＝8．
又∵M、N分別為BC、OC的中點，
∴MN是△CBO的中位線，
∴MN＝BO＝4．
故選：B．

10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E為BC的中點，連接AE、DE，點P，點Q分別是AE、DE上的點，且PE＝DQ．設(shè)△EPQ的面積為y，PE的長為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】證明△ADE為等邊三角形，利用y＝×PH×EQ＝×x×（2﹣x）＝﹣x2+x，即可求解．
【解答】解：∵BC＝2，E為BC的中點，則BE＝1，
在Rt△ABE中，AE＝，BE＝1，則AE＝2，
同理可得ED＝2＝AE＝AD，
故△ADE為等邊三角形，則∠AED＝60°，
∵PE＝QD＝x，則QE＝2﹣x，
在△PQE中，過點P作PH⊥ED于點H，

則PH＝PEsin∠AED＝x?sin60°＝x，
則y＝×PH×EQ＝×x×（2﹣x）＝﹣x2+x，
該函數(shù)為開口向下的拋物線，x＝1時，y的最大值為，
故選：A．
二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）
11．（4分）||+2﹣1＝　1?。?br /> 【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．
【解答】解：||+2﹣1
＝+
＝1．
故答案為：1．
12．（4分）正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是　120　度．
【分析】利用多邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°求出正六邊形的內(nèi)角和，再結(jié)合其邊數(shù)即可求解．
【解答】解：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可得：
正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．
13．（4分）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則∠OAB的正弦值是　?。?br />
【分析】過點O作OC⊥AB的延長線于點C，構(gòu)建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜邊OA的長，即可解答．
【解答】解：如圖，過點O作OC⊥AB的延長線于點C，

則AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO＝，
∴sin∠OAB＝．
故答案為：．
14．（4分）已知|x+2y|+（x﹣4）2＝0，則x+y＝　2?。?br /> 【分析】利用絕對值的定義以及偶次方的性質(zhì)得出x，y的值進而代入求出即可．
【解答】解：∵|x+2y|+（x﹣4）2＝0，
∴x﹣4＝0，x+2y＝0，
解得：x＝4，y＝﹣2，
則x+y＝4﹣2＝2．
故答案為：2．
15．（4分）如圖，周一某校升國旗時，甲、乙兩名同學(xué)分別站在C、D的位置時，乙的影子AD剛好在甲的影子AC里邊，已知甲身高BC為1.6米，乙身高DE為1.4米，甲的影長AC是6米，則甲、乙同學(xué)相距　0.75　米．

【分析】根據(jù)甲的身高與影長構(gòu)成的三角形與乙的身高和影長構(gòu)成的三角形相似，列出比例式解答．
【解答】解：設(shè)兩個同學(xué)相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：CD＝0.75．
故答案為0.75．
16．（4分）從一塊直徑為4m的圓形鐵皮上剪出一個如圖所示圓周角為90°的最大扇形，則陰影部分的面積為　2π　m2（結(jié)果保留π）．

【分析】根據(jù)圓周角定理由∠ABC＝90°得AC為⊙O的直徑，即AC＝4，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB＝2，然后用圓的面積減去扇形的面積即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴AC為⊙O的直徑，即AC＝4m，
∴AB＝AC＝2m；
∴S陰影＝S圓﹣S扇形＝π×22﹣＝2π；
故答案為2π．
17．（4分）在平面坐標(biāo)系中，第1個正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），延長CB交x軸于點A1，作第2個正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2；作第3個正方形A2B2C2C1，…按這樣的規(guī)律進行下去，若點D、C、C1…在直線y＝x+2上，則A2019A2020＝　?。?br />
【分析】先利用一次函數(shù)求出AB＝BC＝AD，再用三角形相似得出A1B＝，A2B2＝（）2，找出規(guī)律A2019B2019＝（）2019，即可求A2019A2020．
【解答】解：∵點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，BC＝AB＝AD＝，
∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，
∴∠OAD+∠A1AB＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠A1AB＝∠ADO，
∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴，
∴A1B＝，
∴A1B1＝A1C＝A1B+BC＝，
同理可得，A2B2＝（）2，
同理可得，A3B3＝（）3，
同理可得，A2019B2019＝（）2019，
∴A2019A2020＝（）2019×＝．
故答案為：．
三、解答題（一）（本大題共3小題，每題6分，共18分）
18．（6分）解不等式組，并在數(shù)軸上表示它的解集．

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式組的解集為﹣3≤x＜3，
在數(shù)軸上表示如下：
．
19．（6分）化簡：（）．
【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再利用乘法對加法的分配律．
【解答】解：原式＝（）×
＝×﹣×
＝a（a+2）﹣2（a﹣2）
＝a2+2a﹣2a+4
＝a2+4．
20．（6分）如圖，△ABC是直角三角形，∠C是直角，AC＝3，BC＝4．
（1）過C點作CD垂直于AB，垂足為D；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求AD的長度．

【分析】（1）利用尺規(guī)過點C作CD⊥AB于D即可．
（2）利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CD，利用勾股定理求出AD，即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖，線段CD即為所求．


（2）∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CD，
∴CD＝，
∴AD＝＝＝．
四、解答題（二）（本大題共3小題，每題8分，共24分）
21．（8分）某物流公司承接A、B兩種抗疫物資的運輸業(yè)務(wù)，已知2月份A貨物運費單價為70元/噸，B貨物運費單價為40元/噸，共收取運費130000元；3月份由于油價下調(diào)，運費單價下降為：A貨物50元/噸，B貨物30元/噸；該物流公司3月承接的A種貨物和B種數(shù)量與2月份相同，3月份共收取運費95000元．
（1）該物流公司2月份運輸兩種貨物各多少噸？
（2）該物流公司預(yù)計4月份運輸這兩種貨物3300噸，且A貨物的數(shù)量不大于B貨物的2倍，在運費單價與3月份相同的情況下，該物流公司4月份最多將收到多少運費？
【分析】（1）設(shè)該物流公司2月份運輸A貨物x噸，運輸B貨物y噸，根據(jù)“該物流公司2月份共收取運費130000元，3月份共收取運費95000元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該物流公司預(yù)計4月份運輸B貨物m噸，則運輸A貨物（3300﹣m）噸，根據(jù)A貨物的數(shù)量不大于B貨物的2倍，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)該物流公司4月份共收到w元運費，根據(jù)總運費＝每噸的運費×運輸貨物的重量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)該物流公司2月份運輸A貨物x噸，運輸B貨物y噸，
依題意，得：，
解得：．
答：該物流公司2月份運輸A貨物1000噸，運輸B貨物1500噸．
（2）設(shè)該物流公司預(yù)計4月份運輸B貨物m噸，則運輸A貨物（3300﹣m）噸，
依題意，得：3300﹣m≤2m，
解得：m≥1100．
設(shè)該物流公司4月份共收到w元運費，則w＝50（3300﹣m）+30m＝﹣20m+165000，
∵﹣20＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m＝1100時，w取得最大值，最大值＝﹣20×1100+165000＝143000．
答：該物流公司4月份最多將收到143000元運費．
22．（8分）黨的十九大指出，脫貧攻堅戰(zhàn)成為我國全面建設(shè)小康社會的重中之重．為了調(diào)查學(xué)生對脫貧攻堅知識的了解程度，南海區(qū)某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組通過網(wǎng)上調(diào)查的方式在本校學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個等級：A．非常了解；B．比較了解；C．基本了解；D．不了解．
根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖的統(tǒng)計圖，結(jié)合統(tǒng)計圖，回答下列問題．
（1）本次抽樣調(diào)查的人數(shù)是　400　人；
（2）若該校有學(xué)生2000人，請根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計這些學(xué)生中“比較了解”脫貧攻堅知識的人數(shù)約為多少？
（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于脫貧攻堅知識競賽，某班要從“非常了解”的小明和小剛中選一人參加，現(xiàn)設(shè)計了如下游戲來確定，具體規(guī)則是：在一個不透明的袋中裝有2個紅球和2個白球，它們除了顏色外無其它差別，從中隨機摸出兩個球，若摸出的兩個球顏色相同，則小明去；否則小剛?cè)ィ堄脴錉顖D或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平．

【分析】（1）把條形統(tǒng)計圖給出的數(shù)據(jù)相加即可得出答案；
（2）用總?cè)藬?shù)乘以“比較了解”所占的百分比即可；
（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與摸出的兩個球顏色相同與不同的情況，再利用概率公式求得其概率，比較概率的大小，即可知這個游戲規(guī)則是否公平．
【解答】解：（1）本次抽樣調(diào)查的人數(shù)是：20+60+180+140＝400（人），
故答案為：400；

（2）這些學(xué)生中“比較了解”脫貧攻堅知識的人數(shù)有：2000×＝300（人）；

（3）畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結(jié)果，兩個球顏色相同的有4種情況，兩個球顏色不同的有8種情況，
∴P（顏色相同）＝＝，P（顏色不同）＝＝，
∴游戲規(guī)則不公平．
23．（8分）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
求證：（1）AC＝EF；
（2）四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）AC⊥DF．

【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又因為△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC＝EF；
（2）根據(jù)（1）知道EF＝AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）先求∠EAC＝90°，由?ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD＝90°，則AC⊥DF．
【解答】證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，AB＝AE，
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）∵∠EAC＝∠EAF+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC＝∠AGD＝90°，
∴AC⊥DF．

四、解答題（三）（本大題共2小題，每題10分，共20分）
24．（10分）如圖，AB是⊙〇的直徑，點C是⊙O上異于A、B的一點，點D是∠ABC角平分線上一點，連接AD、BD，其中BD交AC于點E，交⊙O于點F，且點F是DE的中點．
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若點E是BF的中點，求sin∠CAB的值；
（3）若AB＝13，BC＝5，求BE的長．

【分析】（1）連接AF，利用垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝AE，再由等腰三角形的三線合一得到∠DAF＝∠FAC；利用角平分線的定義和圓周角定理可得∠FBA＝∠FAC，從而∠FAD＝∠FBA；利用直徑所對的圓周角為直角可得∠FAB+∠FBA＝90°，利用等量代換可得∠FAD+∠FAB＝90°，即∠DAB＝90°，結(jié)論可得；
（2）由已知可得：DF＝EF＝BE＝x，則BF＝2x，利用△AFB∽△DFA，得出比例式可求線段AF，利用勾股定理可求AB，AE，再利用△AEF∽△BEC求得線段BC，在Rt△ABC中，利用正弦的意義可求結(jié)論；
（3）連接OF，則OF垂直平分AC，利用已知和勾股定理可求AC＝12，利用三角形的中位線定理可得OG＝BC＝2.5，進而可得GF＝OF﹣OG＝4；利用△AGF∽△BCE，結(jié)論可得．
【解答】（1）證明：連接AF，如圖，

∵AB是⊙〇的直徑，
∴AF⊥BF．
∵DF＝FE，
∴AF是DE的垂直平分線．
∴AD＝AE，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF＝∠FAC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBA＝∠FBC，
∵∠FBC＝∠FAC，
∴∠FBA＝∠FAC＝∠DAF．
∵∠FAB+∠FBA＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
即∠DAB＝90°，
∴BA⊥AD，
∴直線AD是⊙O的切線．
（2）解：∵點E是BF的中點，點F是DE的中點，
∴DF＝EF＝BE．
設(shè)DF＝EF＝BE＝x，則BF＝2x，
∵DA⊥AB，AF⊥BD，
∴△AFB∽△DFA．
∴．
∴AF＝．
∴AB＝x，
AE＝x．
∵∠FAE＝∠CBE，∠FEA＝∠CEB，
∴△AFE∽△BCE，
∴．
∴BC＝x．
在Rt△ABC中，
sin∠ABC＝．
（3）連接OF，OF交AC于點G，如圖，

∵∠ABF＝∠CBF
∴．
∴OF垂直平分AC．
∴AG＝GC＝AC，OG⊥AC．
∵OA＝OB，
∴OG＝BC＝2.5．
∵AB是⊙〇的直徑，
∴AC⊥BC．
∴AC＝＝12．
∴AG＝GC＝6．
∵GF＝OF﹣OG＝6.5﹣2.5＝4，
∴tan∠FAG＝．
∵∠CBE＝∠CAF，
∴tan∠CBE＝tan∠FAG＝．
∵tan∠CBE＝，
∴．
∴CE＝，
∴BE＝．
25．（10分）如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足∠DBA＝∠CAO（O是坐標(biāo)原點），求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點P是直線BC上方拋物線上的一點，過點P作PE⊥BC于點E，作PF∥y軸交BC于點F，求△PEF周長的最大值．

【分析】（1）由A、B、C三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）當(dāng)點D在x軸上方時，則可知當(dāng)CD∥AB時，滿足條件，由對稱性可求得D點坐標(biāo)；當(dāng)點D在x軸下方時，可證得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直線BD的解析式，再聯(lián)立直線BD和拋物線的解析式可求得D點坐標(biāo)；
（3）可設(shè)出P點坐標(biāo)，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AFO﹣S△BOC可表示成關(guān)于P點坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．
【解答】解：（1）由題意可得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2；
（2）當(dāng)點D在x軸上方時，過C作CD∥AB交拋物線于點D，如圖1，

∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，C、D關(guān)于對稱軸對稱，
∴四邊形ABDC為等腰梯形，
∴∠CAO＝∠DBA，即點D滿足條件，
∴D（3，2）；
當(dāng)點D在x軸下方時，
∵∠DBA＝∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可設(shè)直線AC解析式為y＝kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k＝2，
∴直線AC解析式為y＝2x+2，
∴可設(shè)直線BD解析式為y＝2x+m，把B（4，0）代入可求得m＝﹣8，
∴直線BD解析式為y＝2x﹣8，
聯(lián)立直線BD和拋物線解析式可得，
解得 或，
∴D（﹣5，﹣18）；
綜上可知滿足條件的點D的坐標(biāo)為（3，2）或（﹣5，﹣18）；
（3）△PEF的周長＝PE+PF+EF＝PF+PF?sin∠PFE+PF?cos∠PFE＝PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE），
∵∠PFE是定值，
∴當(dāng)PF最大時，△PEF的周長最大，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，
設(shè)P（t，﹣t2+t+2），F(xiàn)（t，﹣t+2）
∴PF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）
＝﹣t2+2t
＝﹣（t﹣2）2+2，
∴當(dāng)t＝2時，PF最大值為2，

∵B（4，0），C（0，2），
∴OB＝4，OC＝2，BC＝＝2，
∵PF∥y軸，
∴∠PFE＝∠OCB，
∴sin∠PFE＝，cos∠PFE＝，
∴△PEF的周長最大值為 PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE）＝2×（1++）＝2+．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/11 12:00:05；用戶：節(jié)節(jié)高5；郵箱：5jiejg@xyh.com；學(xué)號：37675298

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