?2020-2021學(xué)年河北省唐山市灤南縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題含16個小題；每小題2分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（2分）下列式子中，是分式的是（　?。?br /> A． B． C．﹣ D．
2．（2分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠F＝85°，則∠B的度數(shù)是（　?。?br /> A．30° B．85° C．65° D．55°
3．（2分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．＝±7 B．＝﹣7 C．＝1 D．＝
4．（2分）在以下”綠色食品、響應(yīng)環(huán)保、可回收物、節(jié)水“四個標(biāo)志圖案中，是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
5．（2分）若分式的值為0，則x的值為（　　）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．±2
6．（2分）如圖，已知AC＝DB，下列四個條件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（2分）下列二次根式中，能與合并的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2分）如圖，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點E、F；②分別以點E、F為圓心，大于EF長為半徑畫弧，兩弧交于點G；③作射線AG，交BC邊于點D，則∠ADC的度數(shù)為（　?。?br />
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．（2分）把分式（a，b，c均為正）中的b、c的值都擴大為原來的3倍，則分式的值（　　）
A．不變 B．變?yōu)樵瓉淼?倍
C．變?yōu)樵瓉淼?D．變?yōu)樵瓉淼?br /> 10．（2分）如圖，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，若△BCE的周長等于22cm，則AC的長度等于（　?。?br />
A．10cm B．12cm C．22cm D．32cm
11．（2分）下列計算正確的是（　　）
A．÷＝ B．﹣＝ C．+＝ D．×＝
12．（2分）如圖，將三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周長是10cm，那么四邊形ABFD的周長是（　?。?br />
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
13．（2分）數(shù)軸上表示下列各數(shù)的點，能落在A、B兩個點之間的是（　?。?br />
A．﹣ B． C． D．
14．（2分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，A，B是格點，則以A，B，C為等腰三角形頂點的所有格點C的位置有（　?。?br />
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
15．（2分）老師出了一道題：計算+，對于下面這三名同學(xué)的做法，你的判斷是（　?。?br /> 樂樂的做法是：原式＝﹣＝＝；
淇淇的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
嘉嘉的做法是：原式＝﹣＝﹣＝＝1．
A．嘉嘉的做法是正確的
B．淇淇的做法是正確的
C．樂樂的做法是正確的
D．三名同學(xué)的做法均不正確
16．（2分）如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，則平板車的長最多為（　?。?br />
A．2 B．2 C．4 D．4
二、填空題（本大題含3個小題：17、18小題每題3分，19小題每空2分，共10分）
17．（3分）已知，．則代數(shù)式x2+y2﹣2xy的值為　 ?。?br /> 18．（3分）關(guān)于x的方程﹣＝2有增根，則m的值為　 ?。?br /> 19．（4分）如圖，長方體盒子的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B距離C點5cm，一只螞蟻如果要沿著盒子的表面從點A到點B．
（1）螞蟻爬行的最短距離是　 　cm；
（2）若從C處想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管應(yīng)不少于　 　cm．

三、解答題（本大題含7小題，共計58分，解答題要求寫出必要的解題過程）
20．（7分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
21．（7分）閱讀下列文字，回答問題．
題目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
證明：假設(shè)AC＝BC，因為∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，這與假設(shè)矛盾，所以AC≠BC．
上面的證明有沒有錯誤？若沒有錯誤，指出其證明的方法；若有錯誤，請予以糾正．
22．（8分）先化簡（﹣）÷，然后從0，1，2中選取一個合適的x值代入求值．
23．（8分）求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半．
（1）在圖中按照下面“已知”的要求，畫出符合題意的圖形，并根據(jù)題設(shè)和結(jié)論，結(jié)合圖形，用符號語言補充寫出“已知”和“求證”．
已知：在△ABC中，AB＝AC，　 ?。?br /> 求證：　 ?。?br /> （2）證明上述命題．

24．（9分）受新冠肺炎疫情影響，口罩、體溫計、消毒液等一度緊缺，某藥店用3200元采購一批耳溫計（測量體溫的），上市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，很快銷售完了，該藥店又去采購第二批同樣的耳溫計，進貨價比第一批貴了5元，該店用了9900元，所購數(shù)量是第一批的3倍．
（1）求第一批采購的耳溫計單價是多少元？
（2）若該藥店按每個耳溫計的售價為210元，銷售光這兩批耳溫計，總共獲利多少元？
25．（9分）在三角形紙片ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝4，點E在AC上，AE＝3．將三角形紙片ABC按圖中方式折疊，使點A的對應(yīng)點A′落在AB的延長線上，折痕為ED，A'E交BC于點F．
（1）求∠CFE的度數(shù)；
（2）求BF的長度．

26．（10分）我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，兩邊交點為勾股頂點．

●特例感知
①等腰直角三角形　 　勾股高三角形（請?zhí)顚憽笆恰被蛘摺安皇恰保?br /> ②如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點，CD是AB邊上的高．若BD＝2AD＝2，試求線段CD的長度．
●深入探究
如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點且CA＞CB，CD是AB邊上的高．試探究線段AD與CB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
●推廣應(yīng)用
如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD為AB邊上的高，過點D向BC邊引平行線與AC邊交于點E．若CE＝a，試求線段DE的長度．

2020-2021學(xué)年河北省唐山市灤南縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題含16個小題；每小題2分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（2分）下列式子中，是分式的是（　?。?br /> A． B． C．﹣ D．
【分析】利用分式定義可得答案．
【解答】解：A、是分式，故此選項符合題意；
B、不是分式，是整式，故此選項不合題意；
C、﹣不是分式，是整式，故此選項不合題意；
D、+y不是分式，是整式，故此選項不合題意；
故選：A．
2．（2分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠F＝85°，則∠B的度數(shù)是（　?。?br /> A．30° B．85° C．65° D．55°
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F＝85°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝65°，
故選：C．
3．（2分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．＝±7 B．＝﹣7 C．＝1 D．＝
【分析】根據(jù)二次根根式的運算法則即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝|﹣7|＝7，故A錯誤．
（B）原式＝|﹣7|＝7，故B錯誤．
（C）原式＝＝，故C錯誤．
（D）原式＝＝，故D正確．
故選：D．
4．（2分）在以下”綠色食品、響應(yīng)環(huán)保、可回收物、節(jié)水“四個標(biāo)志圖案中，是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念解答即可．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形．故錯誤；
B、是中心對稱圖形．故正確；
C、不是中心對稱圖形．故錯誤；
D、不是中心對稱圖形．故錯誤．
故選：B．
5．（2分）若分式的值為0，則x的值為（　　）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．±2
【分析】直接利用分式的值為零則分子為零分母不為零進而得出答案．
【解答】解：分式的值為0，
則x2﹣1＝0且x2﹣2x+1≠0，
解得：x＝﹣1．
故選：B．
6．（2分）如圖，已知AC＝DB，下列四個條件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．
【解答】解：根據(jù)SAS，條件③，可以使得△ABC≌△DCB，
故選：A．
7．（2分）下列二次根式中，能與合并的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】先化簡選項中各二次根式，然后找出被開方數(shù)為3的二次根式即可．
【解答】解：A、＝3，故與不能合并，故A錯誤；
B、＝4與能合并，故B正確；
C、與，故不能合并，故C錯誤；
D、＝4，故與不能合并，故D錯誤．
故選：B．
8．（2分）如圖，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點E、F；②分別以點E、F為圓心，大于EF長為半徑畫弧，兩弧交于點G；③作射線AG，交BC邊于點D，則∠ADC的度數(shù)為（　?。?br />
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根據(jù)作圖過程可得AD是∠CAB的平分線，進而可得結(jié)果．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，
根據(jù)作圖過程可知：
AD是∠CAB的平分線，
∴∠DAC＝∠DAB＝CAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝60°．
故選：C．
9．（2分）把分式（a，b，c均為正）中的b、c的值都擴大為原來的3倍，則分式的值（　　）
A．不變 B．變?yōu)樵瓉淼?倍
C．變?yōu)樵瓉淼?D．變?yōu)樵瓉淼?br /> 【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：＝，
故選：C．
10．（2分）如圖，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，若△BCE的周長等于22cm，則AC的長度等于（　　）

A．10cm B．12cm C．22cm D．32cm
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．
【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周長等于22cm，
∴BC+CE+BE＝22（cm），
∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm），
∵BC＝10cm，
∴AC＝12（cm），
故選：B．
11．（2分）下列計算正確的是（　　）
A．÷＝ B．﹣＝ C．+＝ D．×＝
【分析】根據(jù)二次根式的除法法則對A進行判斷；根據(jù)二次根式的加減法對B、C進行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對D進行判斷．
【解答】解：A、原式＝＝，所以A選項錯誤；
B、與不能合并，所以B選項錯誤；
C、與不能合并，所以C選項錯誤；
D、原式＝＝，所以D選項正確．
故選：D．
12．（2分）如圖，將三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周長是10cm，那么四邊形ABFD的周長是（　?。?br />
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
【分析】利用平移變換的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：∵△ABE的周長＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性質(zhì)可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，
∴四邊形ABFD的周長＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．
故選：A．
13．（2分）數(shù)軸上表示下列各數(shù)的點，能落在A、B兩個點之間的是（　?。?br />
A．﹣ B． C． D．
【分析】根據(jù)平方根的定義，估算各個數(shù)近似值即可得到答案．
【解答】解：A表示1，B表示3，能落在A、B兩個點之間的點表示的數(shù)大于1小于3，
A、﹣在原點左側(cè)，故A不符合題意，
B、22＜（）2＜32，則2＜＜3，故B符合題意，
C、32＜＜42，則3＜＜4，故C不符合題意，
D、32＜＜42，則3＜＜4，故D不符合題意，
故選：B．
14．（2分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，A，B是格點，則以A，B，C為等腰三角形頂點的所有格點C的位置有（　　）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】由勾股定理求出AB＝＝，分三種情況討論：①當(dāng)A為頂角頂點時；②當(dāng)B為頂角頂點時；③當(dāng)C為頂角頂點時；即可得出結(jié)果．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，
分三種情況：如圖所示：
①當(dāng)A為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的C點有1個；
②當(dāng)B為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的C點有2個；
③當(dāng)C為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的C點有1個；
綜上所述：以A，B，C為等腰三角形頂點的所有格點C的位置有1+2+1＝4（個）；
故選：C．

15．（2分）老師出了一道題：計算+，對于下面這三名同學(xué)的做法，你的判斷是（　?。?br /> 樂樂的做法是：原式＝﹣＝＝；
淇淇的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
嘉嘉的做法是：原式＝﹣＝﹣＝＝1．
A．嘉嘉的做法是正確的
B．淇淇的做法是正確的
C．樂樂的做法是正確的
D．三名同學(xué)的做法均不正確
【分析】按步驟求解，然后對比其他三人做法找出正確答案．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
＝1．
∴嘉嘉的做法正確，
故選：A．
16．（2分）如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，則平板車的長最多為（　?。?br />
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】如圖，先設(shè)平板手推車的長度為x米，則得出x為最大值時，平板手推車所形成的△CBP為等腰直角三角形．連接PO，與BC交于點N，利用△CBP為等腰直角三角形即可求得平板手推車的長度不能超過多少米．
【解答】解：設(shè)平板手推車的長度為x米，
當(dāng)x為最大值，且此時平板手推車所形成的△CBP為等腰直角三角形．
連接PO，與BC交于點N．
∵直角通道的寬為2m，
∴PO＝4m，
∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．
又∵△CBP為等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．
故選：C．

二、填空題（本大題含3個小題：17、18小題每題3分，19小題每空2分，共10分）
17．（3分）已知，．則代數(shù)式x2+y2﹣2xy的值為　12?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式的減法法則求出x﹣y，利用完全平方公式把原式化簡，代入計算即可．
【解答】解：∵x＝2﹣，y＝2+，
∴x﹣y＝﹣2，
則x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（﹣2）2＝12，
故答案為：12．
18．（3分）關(guān)于x的方程﹣＝2有增根，則m的值為　﹣5?。?br /> 【分析】先解出分式方程的解x＝m+4，然后根據(jù)方程有增根得到增根為x＝﹣1，所以m+4＝﹣1，求出m的值．
【解答】解：方程兩邊都乘以（x+1）得：3x﹣2﹣m＝2（x+1），
解得：x＝m+4，
∵方程有增根，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴m+4＝﹣1，
∴m＝﹣5．
故答案為：﹣5．
19．（4分）如圖，長方體盒子的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B距離C點5cm，一只螞蟻如果要沿著盒子的表面從點A到點B．
（1）螞蟻爬行的最短距離是　25　cm；
（2）若從C處想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管應(yīng)不少于　5　cm．

【分析】（1）要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點之間線段最短解答；
（2）當(dāng)吸管、長方體的高及底面對角線的長正好構(gòu)成直角三角形時，插入盒子內(nèi)的吸管長度最大，用勾股定理即可解答．
【解答】解：（1）只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：
∵長方體的寬為10cm，高為20cm，點B離點C的距離是5cm，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20（cm），
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：
∴AB＝＝＝25（cm）；
只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：
∵長方體的寬為10cm，高為20cm，點B離點C的距離是5cm，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25（cm），AD＝10cm，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：
∵長方體的寬為10cm，高為20cm，點B離點C的距離是5cm，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30（cm），
在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
∵25＜5＜5，
∴螞蟻爬行的最短距離是25（cm）．
故答案為：25；
（2）盒子底面對角長為＝，
當(dāng)吸管、長方體的高及底面對角線的長正好構(gòu)成直角三角形時，插入盒子內(nèi)的吸管長度最長，
則吸管長度為：＝5（cm），
∴吸管應(yīng)不少于5cm．
故答案為：5．



三、解答題（本大題含7小題，共計58分，解答題要求寫出必要的解題過程）
20．（7分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無理數(shù)的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）將a、b、c的值代入代數(shù)式求出值后，進一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2；
∵，c是的整數(shù)部分，∴c＝3；

（2）3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16，16的平方根是±4．
21．（7分）閱讀下列文字，回答問題．
題目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
證明：假設(shè)AC＝BC，因為∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，這與假設(shè)矛盾，所以AC≠BC．
上面的證明有沒有錯誤？若沒有錯誤，指出其證明的方法；若有錯誤，請予以糾正．
【分析】反證法的步驟是（1）假設(shè)結(jié)論不成立（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．運用反證法證題時，應(yīng)從假設(shè)出發(fā)，把假設(shè)當(dāng)做已知條件，經(jīng)過推理論證，得出與定義、公理、定理或已知相矛盾，從而判定假設(shè)不成立，肯定結(jié)論，而非推出結(jié)論與假設(shè)相矛盾．
【解答】解：有錯誤．改正：
假設(shè)AC＝BC，則∠A＝∠B，又∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°，這與∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC．
22．（8分）先化簡（﹣）÷，然后從0，1，2中選取一個合適的x值代入求值．
【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再選取使分式有意義的x的值代入計算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）?
＝?
＝，
當(dāng)x＝2時，
原式＝＝3．
23．（8分）求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半．
（1）在圖中按照下面“已知”的要求，畫出符合題意的圖形，并根據(jù)題設(shè)和結(jié)論，結(jié)合圖形，用符號語言補充寫出“已知”和“求證”．
已知：在△ABC中，AB＝AC，　CD⊥AB于D?。?br /> 求證：　∠BCD＝∠A　．
（2）證明上述命題．

【分析】（1）根據(jù)題意寫出已知和求證；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)用∠A表示出∠B＝∠ACB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算，證明結(jié)論．
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，
求證：∠BCD＝∠A．
故答案為：CD⊥AB于D；∠BCD＝∠A；
（2）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣∠A，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝（90°﹣∠A）﹣（90°﹣∠A）＝∠A．

24．（9分）受新冠肺炎疫情影響，口罩、體溫計、消毒液等一度緊缺，某藥店用3200元采購一批耳溫計（測量體溫的），上市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，很快銷售完了，該藥店又去采購第二批同樣的耳溫計，進貨價比第一批貴了5元，該店用了9900元，所購數(shù)量是第一批的3倍．
（1）求第一批采購的耳溫計單價是多少元？
（2）若該藥店按每個耳溫計的售價為210元，銷售光這兩批耳溫計，總共獲利多少元？
【分析】（1）設(shè)第一批采購的耳溫計的單價為x元，則第二批采購的耳溫計的單價是（x+5）元，由題意列出分式方程，解方程即可；
（2）求出第一批采購的耳溫計的數(shù)量為20（個），第二批采購的耳溫計數(shù)量為60（個），再由銷售額減去兩批進貨的費用即可．
【解答】解：（1）設(shè)第一批采購的耳溫計的單價為x元，則第二批采購的耳溫計的單價是（x+5）元，
依題意，得：，
解得：x＝160，
經(jīng)檢驗，x＝160是原方程的解，且符合題意，
答：第一批采購的耳溫計的單價是160元；
（2）第一批采購的耳溫計的數(shù)量為3200÷160＝20（個），第二批采購的耳溫計數(shù)量為20×3＝60（個），
∴銷售完這兩批耳溫計共獲利210×（20+60）﹣3200﹣9900＝3700元．
答：銷售光這兩批耳溫計，總共獲利3700元．
25．（9分）在三角形紙片ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝4，點E在AC上，AE＝3．將三角形紙片ABC按圖中方式折疊，使點A的對應(yīng)點A′落在AB的延長線上，折痕為ED，A'E交BC于點F．
（1）求∠CFE的度數(shù)；
（2）求BF的長度．

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)的：∠A′＝∠A＝30°，在Rt△A'BF中，即可求解；
（2）由∠C＝90°﹣∠A＝60°，∠CFE＝60°，易證△CEF是等邊三角形，得EF＝CE＝1，由折疊的性質(zhì)得：A′E＝AE＝3，∠A′＝∠A＝30°，即可得出BF＝A′F＝×2＝1．
【解答】解：（1）由折疊的性質(zhì)的：∠A′＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝90°，點A′落在AB的延長線上，
∴∠A′BF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠A′FB＝90°﹣∠A′＝60°，
由對頂角相等得：∠CFE＝∠A′FB＝60°；
（2）∵AC＝4，AE＝3，∴CE＝AC﹣AE＝1，
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝60°，
由（1）知，∠CFE＝60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF＝CE＝1，
由折疊的性質(zhì)得：A′E＝AE＝3，∠A′＝∠A＝30°，
∴A′F＝A′E﹣EF＝2，
則在Rt△A′BF中，BF＝A′F＝×2＝1．
26．（10分）我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，兩邊交點為勾股頂點．

●特例感知
①等腰直角三角形　是　勾股高三角形（請?zhí)顚憽笆恰被蛘摺安皇恰保?br /> ②如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點，CD是AB邊上的高．若BD＝2AD＝2，試求線段CD的長度．
●深入探究
如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點且CA＞CB，CD是AB邊上的高．試探究線段AD與CB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
●推廣應(yīng)用
如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD為AB邊上的高，過點D向BC邊引平行線與AC邊交于點E．若CE＝a，試求線段DE的長度．
【分析】●特例感知：①根據(jù)勾股高三角形的定義即可判斷；
②如圖1，根據(jù)勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，即可解決問題；
●深入探究：由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，即可推出AD2＝CB2；
●推廣應(yīng)用：過點A向ED引垂線，垂足為G，只要證明△AGD≌△CDB（AAS），即可解決問題；
【解答】解：●特例感知：
① 等腰直角三角形是勾股高三角形．
故答案為是．
②如圖1中，根據(jù)勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
∴CD＝．

●深入探究：
如圖2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
即AD＝CB；

●推廣應(yīng)用：
過點A向ED引垂線，垂足為G，
∵“勾股高三角形”△ABC為等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上問可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE與△ABC均為等腰三角形，
根據(jù)三線合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．

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日期：2021/8/10 22:52:30；用戶：節(jié)節(jié)高5；郵箱：5jiejg@xyh.com；學(xué)號：37675298

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