【主干必備】常見(jiàn)相似三角形的基本類(lèi)型
∠ADE(∠C=∠E)
【微點(diǎn)警示】1.注意“A”字型和斜交型的區(qū)別:前者有平行,后者無(wú)平行.2.注意“X”字型和蝴蝶型的區(qū)別:前者有平行,后者無(wú)平行.
3.注意雙垂型和子母型的區(qū)別:前者有垂直,后者無(wú)垂直.
【核心突破】類(lèi)型一 運(yùn)用基本類(lèi)型的相似三角形計(jì)算或證明【例1】(2019·涼山州中考)如圖,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,過(guò)點(diǎn)B作BM∥CD交AD于M.連接CM交DB于N.
(1)求證:BD2=AD·CD.(2)若CD=6,AD=8,求MN的長(zhǎng).
【思路點(diǎn)撥】(1)通過(guò)證明△ABD∽△BCD,可得 可得結(jié)論.(2)由平行線的性質(zhì)可證∠MBD=∠BDC,即可證AM=MD=MB=4,由BD2=AD·CD和勾股定理可求MC的長(zhǎng),通過(guò)證明△MNB∽△CND,可得 即可求MN的長(zhǎng).
【自主解答】(1)∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,∴△ABD∽△BCD,∴ ∴BD2=AD·CD.
(2)∵BM∥CD,∴∠MBD=∠BDC,∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°,∴BM=MD,∠MAB=∠MBA,∴BM=MD=AM=4,∵BD2=AD·CD,且CD=6,AD=8,∴BD2=48,
∴BC2=BD2-CD2=12,∴MC2=MB2+BC2=28,∴MC=2 ∵BM∥CD,∴△MNB∽△CND,∴ 且MC=2 ∴MN=
類(lèi)型二 作輔助線構(gòu)造基本類(lèi)型的相似三角形【例2】(2018·桂林中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,M,N,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (3,1),(3,0),點(diǎn)A為線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AC,過(guò)點(diǎn)A作AB⊥AC交y軸于點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)A從M運(yùn)動(dòng)到N時(shí),點(diǎn)B隨之運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),則b的取值范圍是(　 　)
A.- ≤b≤1B.- ≤b≤1C.- ≤b≤ D.- ≤b≤1
類(lèi)型三 基本類(lèi)型的相似三角形與四邊形綜合【例3】(2018·上海中考)已知:如圖,正方形ABCD中,P是邊BC上一點(diǎn),BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分別是點(diǎn)E,F.
(1)求證:EF=AE-BE.(2)連接BF,如果 求證:EF=EP.
【思路點(diǎn)撥】(1)利用正方形的性質(zhì)得AB=AD,∠BAD=90°,根據(jù)等角的余角相等得到∠BAE=∠ADF,則可判斷△ABE≌△DAF,則BE=AF,然后利用等線段代換可得到結(jié)論.
(2)利用 和AF=BE得到 則可判定Rt△BEF∽R(shí)t△DFA,所以∠EBF=∠ADF,再證明∠EBF=∠EBP,即可判斷EF=EP.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD為正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠BEA=∠AFD=90°,∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,
在△ABE和△DAF中∴△ABE≌△DAF,∴BE=AF,∴EF=AE-AF=AE-BE.
(2)如圖,∵ 而AF=BE,∴ ∴Rt△BEF∽R(shí)t△DFA,∴∠4=∠3,而∠1=∠3,
∴∠4=∠1,∵∠5=∠1,∴∠4=∠5,即BE平分∠FBP,而B(niǎo)E⊥EP,∴EF=EP.
類(lèi)型四 基本類(lèi)型的相似三角形與圓形綜合 【例4】(2019·武漢中考)已知AB是☉O的直徑,AM和BN是☉O的兩條切線,DC與☉O相切于點(diǎn)E,分別交AM,BN于D,C兩點(diǎn).(1)如圖1,求證:AB2=4AD·BC.
(2)如圖2,連接OE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F,連接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求圖中陰影部分的面積.
【思路點(diǎn)撥】(1)連接OC,OD,證明△AOD∽△BCO,得出 即可得出結(jié)論.(2)連接OD,OC,證明△COD≌△CFD得出∠CDO=∠CDF,求出∠BOE=120°,由直角三角形的性質(zhì)得出BC=3,OB= 圖中陰影部分的面積=2S△O BC-S扇形O BE,即可得出結(jié)果.
【明·技法】從復(fù)雜圖形中分解(構(gòu)造)出基本相似三角形的技巧:(1)見(jiàn)到線段比,一般需要作輔助線構(gòu)造“A”字型或“X”字型相似三角形.(2)見(jiàn)到平行四邊形中,其中蘊(yùn)藏著“A”字型或“X”字型相似三角形.
(3)見(jiàn)到圓肯定用到相等的圓周角,能構(gòu)造多種類(lèi)型的相似三角形.(4)見(jiàn)到旋轉(zhuǎn),對(duì)應(yīng)邊成比例自然形成旋轉(zhuǎn)型相似三角形.(5)見(jiàn)到平面直角坐標(biāo)系,通過(guò)作垂線往往形成“K”字型相似三角形.
【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·杭州蕭山區(qū)模擬)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,AD∥BC, CD=16,則DE的長(zhǎng)為(　 　)
A.3B.6C. D.10
2.(易錯(cuò)警示題)在圖(1)、(2)所示的△ABC中,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi),裁剪辦法已在圖上標(biāo)注,對(duì)于各圖中剪下的兩個(gè)陰影三角形而言,下列說(shuō)法正確的是(　 　)
A.只有(1)中的與△ABC相似B.只有(2)中的與△ABC相似C.都與△ABC相似D.都與△ABC不相似
3.(2019·日照莒縣質(zhì)檢)如圖,☉O中弦AB,CD相交于點(diǎn)P,已知AP=3,BP=2,CP=1,則DP=______.?
4.(2019·隨州隨縣模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1,作正方形A1B1C1C;延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2,作正方形A2B2C2C1,…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,第2 018個(gè)正方形的面積為_(kāi)________.?

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