專題六　數(shù)列【真題典例】6.1　數(shù)列的概念及其表示挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點數(shù)列的有關(guān)概念及性質(zhì)1.了解數(shù)列的概念,數(shù)列的通項公式2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),會用賦值法求數(shù)列的項2011天津,20,14分賦值法求數(shù)列的項、數(shù)列的通項公式不等式的證明★☆☆分析解讀　　了解數(shù)列的概念和有關(guān)的表示方法,了解數(shù)列的通項公式、遞推公式,了解數(shù)列的通項公式與前n項和公式之間的關(guān)系,了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).考查數(shù)列的有關(guān)概念和性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、抽象概括能力.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值約為5分,屬于中低檔題. 破考點【考點集訓(xùn)】考點　數(shù)列的有關(guān)概念及性質(zhì)1.在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=,則a2 016=(　　)A.2　　　　B.　　　　C.0　　　　D.-答案　D　2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=n(an+1-an)(n∈N*),則a2=　　　;an=　　　. 答案　2;n3.已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),且a1=5,則an=　　　　. 答案　(n+4)·3n-14.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=an+1-2n+2,a2=2,則an=　　　　. 答案　煉技法【方法集訓(xùn)】方法1　利用an與Sn的關(guān)系求通項1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若3Sn=2an-3n,則a2 018=(　　)A.22 018-1　　　　B.32 018-6　　　　C.-　　　　D.-答案　A　2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1,則=(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.答案　A　3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=,則a2 017=(　　)A.2 016　　　　B.2 017　　　　C.4 032　　　　D.4 034答案　B　4.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且log2(Sn+1)=n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為　　　　. 答案　an=方法2　利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項5.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn為其前n項和,則S5的值為(　　)A.57　　　　B.61　　　　C.62　　　　D.63答案　A　6.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,則數(shù)列{an}的通項an=　　　　. 答案　7.已知數(shù)列{an}的前n項之和為Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,則S10=　　　　. 答案　1 078過專題【五年高考】A組　自主命題·天津卷題組　(2011天津,20,14分)已知數(shù)列{an}與{bn}滿足bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn=,n∈N*,且a1=2,a2=4.(1)求a3,a4,a5的值;(2)設(shè)cn=a2n-1+a2n+1,n∈N*,證明{cn}是等比數(shù)列;(3)設(shè)Sk=a2+a4+…+a2k,k∈N*,證明<(n∈N*).解析　(1)由bn=,n∈N*,可得bn=又bnan+an+1+bn+1an+2=0,當(dāng)n=1時,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;當(dāng)n=2時,2a2+a3+a4=0,可得a4=-5;當(dāng)n=3時,a3+a4+2a5=0,可得a5=4.(2)證明:對任意n∈N*,a2n-1+a2n+2a2n+1=0,①2a2n+a2n+1+a2n+2=0,②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0,③②-③,得a2n=a2n+3,④將④代入①,可得a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1),即cn+1=-cn(n∈N*).又c1=a1+a3=-1,故cn≠0,因此=-1.所以{cn}是等比數(shù)列.(3)證明:由(2)可得a2k-1+a2k+1=(-1)k,于是,對任意k∈N*且k≥2,有a1+a3=-1,-(a3+a5)=-1,a5+a7=-1,(-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1.將以上各式相加,得a1+(-1)ka2k-1=-(k-1),即a2k-1=(-1)k+1(k+1),此式當(dāng)k=1時也成立.由④式得a2k=(-1)k+1·(k+3).從而S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a4k-2+a4k)=-k,S2k-1=S2k-a4k=k+3,所以,對任意n∈N*,n≥2,====++<++=+·+=+-·+<.對于n=1,不等式顯然成立.思路分析　本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和的基礎(chǔ)知識和基本計算.(1)由已知條件bn=,bnan+an+1+bn+1an+2=0,a1=2,a2=4,依次代入n=1,2,3,求出a3,a4,a5的值.(2)由bn=和bnan+an+1+bn+1an+2=0得出a2n-1,a2n,a2n+1,a2n+2,a2n+3間的關(guān)系式,此步的目的是與cn=a2n-1+a2n+1形式統(tǒng)一,從而導(dǎo)出cn+1,cn的關(guān)系式,進而證明{cn}是等比數(shù)列.(3)由(2)問有a2k-1+a2k+1=(-1)k,通過累加得a2k-1=(-1)k+1(k+1),則有a2k=(-1)k+1(k+3).通過a2k,a2k-1的通項求出S2k-1,S2k的通項,代入到,通過放縮推導(dǎo)證明.B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2018課標(biāo)Ⅰ,14,5分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=　　　　. 答案　-632.(2015課標(biāo)Ⅱ,16,5分)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=　　　　. 答案　-3.(2016浙江,13,6分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=　　　　,S5=　　　　. 答案　1;121C組　教師專用題組1.(2013課標(biāo)Ⅰ,14,5分)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+,則{an}的通項公式是an=　　　　. 答案　(-2)n-12.(2013安徽,14,5分)如圖,互不相同的點A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分別在角O的兩條邊上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等.設(shè)OAn=an.若a1=1,a2=2,則數(shù)列{an}的通項公式是　　　　　　. 答案　an=3.(2016課標(biāo)Ⅲ,17,12分)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通項公式.解析　(1)由題意得a2=,a3=.(5分)(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因為{an}的各項都為正數(shù),所以=.故{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列,因此an=.(12分)評析本題主要考查了數(shù)列的遞推公式及等比數(shù)列的定義,屬基礎(chǔ)題.4.(2014大綱全國,17,10分)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設(shè)bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}的通項公式.解析　(1)證明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1.所以{bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通項公式為an=n2-2n+2.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2018天津南開基礎(chǔ)訓(xùn)練,5)在數(shù)列{an}中,a1=3,an+an-1=4(n≥2),則a2 018=(　　)A.3　　　　B.1　　　　C.-3　　　　D.4答案　B　2.(2017天津一中3月月考,6)數(shù)列{an}滿足a1=1,且對任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,則++…+=(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.答案　C　3.(2017天津河?xùn)|二模,7)若數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=(-1)n+2 016·a,bn=2+,且對任意n∈N*,an<bn恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.　　　　B.[-1,1)　　　　C.[-2,1)　　　　D.答案　D　4.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),9)設(shè)a1=2,an+1=,bn=,n∈N*,則數(shù)列{bn}的通項公式為(　　)A.bn=2n+2　　　　B.bn=4n　　　　C.bn=2n+1　　　　D.bn=4n答案　C　二、填空題(每小題5分,共30分)5.(2019屆天津七校聯(lián)考,12)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=an-,則log3a100=　　　　. 答案　996.(2019屆天津新華中學(xué)期中,11)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an+2n+n,則數(shù)列{an}的通項公式為an=　　　　. 答案　2n+7.(2019屆天津耀華中學(xué)第二次月考,11)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2an+n(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為an=　　　　. 答案　1-2n8.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),13)數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n+1,bn=(-1)nan(n∈N*),則數(shù)列{bn}的前50項的和為　　　　. 答案　499.(2019屆天津一中1月月考,10)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2=4,S4=30,n≥2時,an+1+an-1=2(an+1),則{an}的通項公式為an=　　　　. 答案　n210.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),15)已知數(shù)列{an},a1=1,?n∈N*,an+1=an+,則{an}的通項公式為　　　　. 答案　an=2-三、解答題(共35分)11.(2017天津和平期末,18)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+3·2n-1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若=n,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解析　(1)∵a1=1,an+1-an=3·2n-1,∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3×20+3×21+…+3×2n-2=1+3(20+21+…+2n-2)=1+3·=3·2n-1-2(n≥2),∵當(dāng)n=1時,3×21-1-2=1=a1成立,∴數(shù)列{an}的通項公式為an=3×2n-1-2(n∈N*).(2)∵bn=nan=3n·2n-1-2n,∴b1=3×1×20-2,b2=3×2×21-4,b3=3×3×22-6,……,bn=3n·2n-1-2n,∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=3(1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1)-(2+4+6+…+2n).設(shè)Tn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1,①則2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,②①-②,得-Tn=(20+21+22+…+2n-1)-n·2n=(2n-1)-n·2n,∴Tn=(n-1)·2n+1,∴Sn=3(n-1)·2n+3-2(1+2+3+…+n)=3(n-1)·2n-n(n+1)+3.12.(2018天津薊州一中模擬,18)在數(shù)列{an}中,an>0,其前n項和Sn滿足-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0.(1)求{an}的通項公式;(2)若bn=,求b2+b4+…+b2n.解析　(1)由-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,得[Sn-(n2+2n)](Sn+1)=0,由an>0,可知Sn>0,故Sn=n2+2n.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1;當(dāng)n=1時,a1=S1=3,符合上式,則數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1(n∈N*).(2)依題意,得bn==,則b2n==(n-1)·,n∈N*,設(shè)Tn=b2+b4+…+b2n,故Tn=0++++…+,①而4Tn=1+++…+.②②-①得3Tn=1+++…+-=-=,故Tn=.思路分析　本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意錯位相減法的合理運用.(1)由-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,得Sn=n2+2n,再由an=Sn-Sn-1,能求出數(shù)列{an}的通項公式;(2)由(1)知bn==,利用錯位相減法求出Tn.13.(2018天津河北一模,18)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an=2-2Sn(n∈N*),數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且b5=14,b7=20.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;(2)若cn=an·bn,n∈N*,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.解析　(1)∵an=2-2Sn(n∈N*),∴an-1=2-2Sn-1(n≥2),∴an-an-1=-2an,即an=an-1,當(dāng)n=1時,a1=2-2S1,解得a1=,∴數(shù)列{an}是以為首項,為公比的等比數(shù)列,∴an=2×.設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,則解得b1=2,d=3,∴bn=3n-1.(2)∵cn=an·bn=2(3n-1)×,∴Tn=22×+5×+8×+…+(3n-1)×,∴Tn=22×+5×+8×+…+(3n-1)×, 兩式相減可得,Tn=2+3+++…+-(3n-1)×=2,化簡可得Tn=-. 

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