2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
　
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個備選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，則?U（A∪B）=（　?。?br /> A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2．（5分）命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為（　　）
A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．對任意x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，都有 D．不存在x∈R，使得x2＜0
3．（5分）函數(shù)y=的定義域?yàn)椋ā　。?br /> A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）
4．（5分）設(shè)P是圓（x﹣3）2+（y+1）2=4上的動點(diǎn)，Q是直線x=﹣3上的動點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（　?。?br /> A．6 B．4 C．3 D．2
5．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（5分）如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺）的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30）內(nèi)的概率為（　　）

A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
7．（5分）關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），且：x2﹣x1=15，則a=（　?。?br /> A． B． C． D．
8．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　　）

A．180 B．200 C．220 D．240
9．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，則f（lg（lg2））=（　?。?br /> A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4
10．（5分）設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
　
二．填空題：本大題共5小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
11．（5分）已知復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|=　 ?。?br /> 12．（5分）若2、a、b、c、9成等差數(shù)列，則c﹣a=　　．
13．（5分）若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為　 ?。?br /> 14．（5分）OA為邊，OB為對角線的矩形中，，，則實(shí)數(shù)k=　　．
15．（5分）設(shè)0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0對x∈R恒成立，則α的取值范圍為　 ?。?br /> 　
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（13分）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）已知{bn}是等差數(shù)列，Tn為前n項(xiàng)和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．
17．（13分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲蓄yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得，，，．
（Ⅰ）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a；
（Ⅱ）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（Ⅲ）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄．
附：線性回歸方程y=bx+a中，，，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為．
18．（13分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）設(shè)a=，S為△ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時B的值．
19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐P﹣BDF的體積．

20．（12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．
（Ⅰ）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．
21．（12分）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn)，|AA′|=4．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

　

2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個備選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，則?U（A∪B）=（　?。?br /> A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
【分析】根據(jù)A與B求出兩集合的并集，由全集U，找出不屬于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴?U（A∪B）={4}．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．
　
2．（5分）命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為（　?。?br /> A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．對任意x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，都有 D．不存在x∈R，使得x2＜0
【分析】根據(jù)全稱命題“?x∈M，p（x）”的否定為特稱命題：“?x0∈M，￢p（x）”即可得出．
【解答】解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得：
命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為“?x0∈R，使得”．
故選：A．
【點(diǎn)評】熟練掌握全稱命題“?x∈M，p（x）”的否定為特稱命題“?x0∈M，￢p（x）”是解題的關(guān)鍵．
　
3．（5分）函數(shù)y=的定義域?yàn)椋ā　。?br /> A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）
【分析】根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，對數(shù)的真數(shù)大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．
【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則，
解得：2＜x＜3，或x＞3
所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，3）∪（3，+∞）．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法，求定義域常用的方法就是根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，屬于基礎(chǔ)題．
　
4．（5分）設(shè)P是圓（x﹣3）2+（y+1）2=4上的動點(diǎn)，Q是直線x=﹣3上的動點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】過圓心A作AQ⊥直線x=﹣3，與圓交于點(diǎn)P，此時|PQ|最小，由此能求出|PQ|的最小值．
【解答】解：過圓心A作AQ⊥直線x=﹣3，
與圓交于點(diǎn)P，此時|PQ|最小，
由圓的方程得到A（3，﹣1），半徑r=2，
則|PQ|=|AQ|﹣r=6﹣2=4．
故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查線段的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．
　
5．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，k的值，當(dāng)a=時滿足條件a＜，退出循環(huán)，輸出k的值為4．
【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得
k=0，a=3，q=
a=，k=1
不滿足條件a＜，a=，k=2
不滿足條件a＜，a=，k=3
不滿足條件a＜，a=，k=4
滿足條件a＜，退出循環(huán)，輸出k的值為4．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．
　
6．（5分）如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺）的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30）內(nèi)的概率為（　　）

A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【分析】由莖葉圖10個原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)，數(shù)出落在區(qū)間[22，30）內(nèi)的個數(shù)，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：由莖葉圖10個原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30）內(nèi)的共有4個，包括2個22，1個27，1個29，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30）內(nèi)的概率為=0.4．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查古典概型及其概率公式，涉及莖葉圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
　
7．（5分）關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），且：x2﹣x1=15，則a=（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用不等式的解集以及韋達(dá)定理得到兩根關(guān)系式，然后與已知條件化簡求解a的值即可．
【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），
所以x1+x2=2a…①，
x1?x2=﹣8a2…②，
又x2﹣x1=15…③，
①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，
因?yàn)閍＞0，所以a=．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查二次不等式的解法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計算能力．
　
8．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　?。?br />
A．180 B．200 C．220 D．240
【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個橫放的直四棱柱，高為10；其底面是一個等腰梯形，上下邊分別為2，8，高為4；據(jù)此可求出該幾何體的表面積．
【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個橫放的直四棱柱，高為10；
其底面是一個等腰梯形，上下邊分別為2，8，高為4．
∴S表面積=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．
故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查由三視圖還原直觀圖，由三視圖求面積、體積，由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解決問題的關(guān)鍵．
　
9．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，則f（lg（lg2））=（　?。?br /> A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4
【分析】由題設(shè)條件可得出lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值
【解答】解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，
∴l(xiāng)g（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)
則設(shè)lg（log210）=m，那么lg（lg2）=﹣m
令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函數(shù)是一個奇函數(shù)，故g（﹣m）=﹣g（m），
∴f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1
∴f（﹣m）=g（﹣m）+4=﹣g（m）+4=3．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用及求函數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是觀察驗(yàn)證出lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)，審題時找準(zhǔn)處理?xiàng)l件的方向?qū)?zhǔn)確快速做題很重要
　
10．（5分）設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【分析】不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對稱，由滿足條件的直線只有一對，得，由此能求出雙曲線的離心率的范圍．
【解答】解：不妨令雙曲線的方程為，
由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對稱，如圖，
又∵滿足條件的直線只有一對，
當(dāng)直線與x軸夾角為30°時，雙曲線的漸近線與x軸夾角大于30°，
雙曲線與直線才能有交點(diǎn)A1，A2，B1，B2，
若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于30°，則無交點(diǎn)，
則不可能存在|A1B1|=|A2B2|，
當(dāng)直線與x軸夾角為60°時，雙曲線漸近線與x軸夾角大于60°，
雙曲線與直線有一對交點(diǎn)A1，A2，B1，B2，
若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于60°，也滿足題中有一對直線，
但是如果大于60°，則有兩對直線．不符合題意，
∴tan30°，即，
∴，
∵b2=c2﹣a2，∴，∴，
∴，
∴雙曲線的離心率的范圍是．
故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意挖掘隱含條件．
　
二．填空題：本大題共5小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
11．（5分）已知復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|=　　．
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的模的求法公式，求解即可．
【解答】解：復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|==．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，考查計算能力．
　
12．（5分）若2、a、b、c、9成等差數(shù)列，則c﹣a=　　．
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中項(xiàng)可得a，c的值，作差即可得答案．
【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b=2+9，解得b=，
又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，
同理可得2c=9+=，解得c=，
故c﹣a=﹣==
故答案為：
【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．
　
13．（5分）若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為　?。?br /> 【分析】甲、乙兩人相鄰，可以把兩個元素看做一個元素同其他元素進(jìn)行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解
【解答】解：記甲、乙兩人相鄰而站為事件A
甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排的所有排法有=6，
則甲、乙兩人相鄰而站，把甲和乙當(dāng)做一個整體，甲和乙的排列有種，然后把甲乙整體和丙進(jìn)行排列，有種，因此共有=4種站法
∴=
故答案為：
【點(diǎn)評】本題考查排列組合及簡單的計數(shù)問題及古典概率的求解，本題解題的關(guān)鍵是把相鄰的問題作為一個元素同其他的元素進(jìn)行排列，本題是一個基礎(chǔ)題．
　
14．（5分）OA為邊，OB為對角線的矩形中，，，則實(shí)數(shù)k=　4?。?br /> 【分析】由題意可得OA⊥AB，故有 =0，即 ==0，解方程求得k的值．
【解答】解：由于OA為邊，OB為對角線的矩形中，OA⊥AB，∴=0，
即 ==（﹣3，1）?（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0，
解得k=4，
故答案為 4．
【點(diǎn)評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的加減法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
　
15．（5分）設(shè)0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0對x∈R恒成立，則α的取值范圍為　[0，]∪[，π]　．
【分析】由題意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0即2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0，解不等式結(jié)合0≤α≤π可求α的取值范圍．
【解答】解：由題意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0，
得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0
∴sin2α≤，
﹣≤sinα≤，
∵0≤α≤π
∴α∈[0，]∪[，π]．
故答案為：[0，]∪[，π]．
【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．
　
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（13分）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）已知{bn}是等差數(shù)列，Tn為前n項(xiàng)和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．
【分析】（Ⅰ）由題意可得數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，則其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和可求；
（Ⅱ）由b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，可得等差數(shù)列{bn}的公差，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得T20．
【解答】解：（Ⅰ）由an+1=3an，得，
又a1=1，∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
則，
；
（Ⅱ）∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，
∴b3﹣b1=10=2d，則d=5．
故．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．
　
17．（13分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲蓄yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得，，，．
（Ⅰ）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a；
（Ⅱ）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（Ⅲ）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄．
附：線性回歸方程y=bx+a中，，，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為．
【分析】（Ⅰ）由題意可知n，，，進(jìn)而可得，，代入可得b值，進(jìn)而可得a值，可得方程；
（Ⅱ）由回歸方程x的系數(shù)b的正負(fù)可判；
（Ⅲ）把x=7代入回歸方程求其函數(shù)值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由題意可知n=10，===8，===2，
故lxx==720﹣10×82=80，lxy==184﹣10×8×2=24，
故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，
故所求的回歸方程為：y=0.3x﹣0.4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即變量y隨x的增加而增加，故x與y之間是正相關(guān)；

（Ⅲ）把x=7代入回歸方程可預(yù)測該家庭的月儲蓄為y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．
【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程的求解及應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
　
18．（13分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）設(shè)a=，S為△ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時B的值．
【分析】（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，將依照等式變形后代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sinA的值，由三角形的面積公式及正弦定理列出關(guān)系式，表示出S，代入已知等式中提取3變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此時B的值．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosA===﹣，
∵A為三角形的內(nèi)角，∴A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=，由正弦定理得：b=，csinA=asinC及a=得：
S=bcsinA=??asinC=3sinBsinC，
則S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B﹣C），
則當(dāng)B﹣C=0，即B=C==時，S+3cosBcosC取最大值3．
【點(diǎn)評】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
　
19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐P﹣BDF的體積．

【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直線和平面垂直的判定定理證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，可得三棱錐F﹣BCD的高是三棱錐P﹣BCD的高的．求出△BCD的面積S△BCD，再根據(jù)三棱錐P﹣BDF的體積 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣，運(yùn)算求得結(jié)果．
【解答】解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD為等腰三角形，再由，∴BD⊥AC．
再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．
而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，
∴三棱錐F﹣BCD的高是三棱錐P﹣BCD的高的．
△BCD的面積S△BCD=BC?CD?sin∠BCD==．
∴三棱錐P﹣BDF的體積 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣=×
==．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，用間接解法求棱錐的體積，屬于中檔題．
　
20．（12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．
（Ⅰ）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．
【分析】（I）由已知中側(cè)面積和底面積的單位建造成本，結(jié)合圓柱體的側(cè)面積及底面積公式，根據(jù)該蓄水池的總建造成本為12000π元，構(gòu)造方程整理后，可將V表示成r的函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)實(shí)際中半徑與高為正數(shù)，得到函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中函數(shù)的定義值及解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，可得函數(shù)的最大值點(diǎn)．
【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為200?πrh元，
底面積成本為160πr2元，
∴蓄水池的總建造成本為200?πrh+160πr2元
即200?πrh+160πr2=12000π
∴h=（300﹣4r2）
∴V（r）=πr2h=πr2?（300﹣4r2）=（300r﹣4r3）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5
故函數(shù)V（r）的定義域?yàn)椋?，5）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=（300r﹣4r3），（0＜r＜5）
可得V′（r）=（300﹣12r2），（0＜r＜5）
∵令V′（r）=（300﹣12r2）=0，則r=5
∴當(dāng)r∈（0，5）時，V′（r）＞0，函數(shù)V（r）為增函數(shù)
當(dāng)r∈（5，5）時，V′（r）＜0，函數(shù)V（r）為減函數(shù)
且當(dāng)r=5，h=8時該蓄水池的體積最大
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)模型的應(yīng)用，其中（Ⅰ）的關(guān)鍵是根據(jù)已知，求出函數(shù)的解析式及定義域，（Ⅱ）的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)的單調(diào)性及最值點(diǎn)．
　
21．（12分）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn)，|AA′|=4．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，將左焦點(diǎn)橫坐標(biāo)代入橢圓方程可得y=，則，又②，a2=b2+c2③，聯(lián)立①②③可求得a，b；
（Ⅱ）設(shè)Q（t，0）（t＞0），圓的半徑為r，直線PP′方程為：x=m（m＞t），則圓Q的方程為：（x﹣t）2+y2=r2，聯(lián)立圓與橢圓方程消掉y得x的二次方程，則△=0①，易求P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，則，變?yōu)殛P(guān)于t的函數(shù)，利用基本不等式可求其最大值及此時t值，由對稱性可得圓心Q在y軸左側(cè)的情況；
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，
左焦點(diǎn)F1（﹣c，0），將橫坐標(biāo)﹣c代入橢圓方程，得y=，
所以①，②，a2=b2+c2③，聯(lián)立①②③解得a=4，，
所以橢圓方程為：；
（Ⅱ）設(shè)Q（t，0）（t＞0），圓的半徑為r，直線PP′方程為：x=m（m＞t），
則圓Q的方程為：（x﹣t）2+y2=r2，
由得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0，
由△=0，即16t2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8，①
把x=m代入，得，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，），代入（x﹣t）2+y2=r2，得，②
由①②消掉r2得4t2﹣4mt+m2=0，即m=2t，
=×（m﹣t）=×t=≤×=2，
當(dāng)且僅當(dāng)4﹣t2=t2即t=時取等號，
此時t+r=+＜4，橢圓上除P、P′外的點(diǎn)在圓Q外，
所以△PP'Q的面積S的最大值為，圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
當(dāng)圓心Q、直線PP′在y軸左側(cè)時，由對稱性可得圓Q的方程為，△PP'Q的面積S的最大值仍為為．
【點(diǎn)評】本題考查圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查方程組的解法，考查學(xué)生的計算能力，難度較大．
　

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