?2013年江西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
　
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）復(fù)數(shù)z=i（﹣2﹣i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一個元素，則a=（　?。?br /> A．4 B．2 C．0 D．0或4
3．（5分）若sin=，則cosα=（　?。?br /> A．﹣ B．﹣ C． D．
4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各取任意一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
5．（5分）總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（　?。?br /> 7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08 B．07 C．02 D．01
6．（5分）下列選項(xiàng)中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范圍是（　?。?br /> A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
7．（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出i=4，那么空白的判斷框中應(yīng)填入的條件是（　　）

A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11
8．（5分）一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　　）

A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π
9．（5分）已知點(diǎn)A（2，0），拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|：|MN|=（　?。?br /> A．2： B．1：2 C．1： D．1：3
10．（5分）如圖．已知l1⊥l2，圓心在l1上、半徑為1m的圓O在t=0時與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l1以1m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y=cosx，則y與時間t（0≤t≤1，單位：s）的函數(shù)y=f（t）的圖象大致為（　?。?br />
A． B． C． D．
　
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．（5分）若曲線y=xa+1（a∈R）在點(diǎn)（1，2）處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則a=　 ?。?br /> 12．（5分）某班植樹小組今年春天計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植樹2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n（n∈N*）等于　 ?。?br /> 13．（5分）設(shè)f（x）=sin3x+cos3x，若對任意實(shí)數(shù)x都有|f（x）|≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　 ?。?br /> 14．（5分）若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（4，0），且與直線y=1相切，則圓C的方程是　 ?。?br /> 15．（5分）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為　 　．

　
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（12分）正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）令bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．
（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；
（2）若C=，求的值．
18．（12分）小波已游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋．游戲規(guī)則為以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6（如圖）這6個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個向量，記住這兩個向量的數(shù)量積為X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋
（1）寫出數(shù)量積X的所有可能取值
（2）分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

19．（12分）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E為CD上一點(diǎn)，DE=1，EC=3
（1）證明：BE⊥平面BB1C1C；
（2）求點(diǎn)B1到平面EA1C1 的距離．

20．（13分）橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率，a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m﹣k為定值．

21．（14分）設(shè)函數(shù)常數(shù)且a∈（0，1）．
（1）當(dāng)a=時，求f（f（））；
（2）若x0滿足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，則稱x0為f（x）的二階周期點(diǎn)，試確定函數(shù)有且僅有兩個二階周期點(diǎn)，并求二階周期點(diǎn)x1，x2；
（3）對于（2）中x1，x2，設(shè)A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），記△ABC的面積為s（a），求s（a）在區(qū)間[，]上的最大值和最小值．
　

2013年江西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）復(fù)數(shù)z=i（﹣2﹣i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】化簡可得復(fù)數(shù)z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案．
【解答】解：化簡可得復(fù)數(shù)z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2）在第四象限，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬基礎(chǔ)題．
　
2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一個元素，則a=（　　）
A．4 B．2 C．0 D．0或4
【分析】當(dāng)a為零時，方程不成立，不符合題意，當(dāng)a不等于零時，方程是一元二次方程只需判別式為零即可．
【解答】解：當(dāng)a=0時，方程為1=0不成立，不滿足條件
當(dāng)a≠0時，△=a2﹣4a=0，解得a=4
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了元素與集合關(guān)系的判定，以及根的個數(shù)與判別式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
　
3．（5分）若sin=，則cosα=（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化簡即可．
【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2
=1﹣2×=1﹣=
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．
　
4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各取任意一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】由分步計(jì)數(shù)原理可得總的方法種數(shù)為2×3=6，由列舉法可得符合條件的有2種，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：從A，B中各取任意一個數(shù)共有2×3=6種分法，
而兩數(shù)之和為4的有：（2，2），（3，1）兩種方法，
故所求的概率為：=．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查古典概型及其概率公式，屬基礎(chǔ)題．
　
5．（5分）總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（　　）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08 B．07 C．02 D．01
【分析】從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字開始向右讀，依次為65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合條件，故可得結(jié)論．
【解答】解：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字開始向右讀，
第一個數(shù)為65，不符合條件，第二個數(shù)為72，不符合條件，
第三個數(shù)為08，符合條件，
以下符合條件依次為：08，02，14，07，01，
故第5個數(shù)為01．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查簡單隨機(jī)抽樣．在隨機(jī)數(shù)表中每個數(shù)出現(xiàn)在每個位置的概率是一樣的，所以每個數(shù)被抽到的概率是一樣的．
　
6．（5分）下列選項(xiàng)中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
【分析】通過x=，，2驗(yàn)證不等式是否成立，排除選項(xiàng)B、C、D．即可得到正確選項(xiàng)．
【解答】解：利用特殊值排除選項(xiàng)，不妨令x=時，代入x＜＜x2，得到＜，顯然不成立，選項(xiàng)B不正確；
當(dāng)x=時，代入x＜＜x2，得到，顯然不正確，排除C；
當(dāng)x=2時，代入x＜＜x2，得到，顯然不正確，排除D．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查分式不等式的解法，由于本題是選擇題，利用特殊值驗(yàn)證法是快速解答選擇題的一種技巧．當(dāng)然可以直接解答，過程比較復(fù)雜．
　
7．（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出i=4，那么空白的判斷框中應(yīng)填入的條件是（　?。?br />
A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11
【分析】由框圖給出的賦值，先執(zhí)行一次運(yùn)算i=i+1，然后判斷得到的i的奇偶性，是奇數(shù)執(zhí)行S=2*i+2，是偶數(shù)執(zhí)行S=2*i+1，然后判斷S的值是否滿足判斷框中的條件，滿足繼續(xù)從i=i+1執(zhí)行，不滿足跳出循環(huán)，輸出i的值．
【解答】解：框圖首先給變量S和i賦值S=0，i=1，執(zhí)行i=1+1=2，判斷2是奇數(shù)不成立，執(zhí)行S=2×2+1=5；
判斷框內(nèi)條件成立，執(zhí)行i=2+1=3，判斷3是奇數(shù)成立，執(zhí)行S=2×3+2=8；
判斷框內(nèi)條件成立，執(zhí)行i=3+1=4，判斷4是奇數(shù)不成立，執(zhí)行S=2×4+1=9；
此時在判斷時判斷框中的條件應(yīng)該不成立，輸出i=4．而此時的S的值是9，故判斷框中的條件應(yīng)S＜9．
若是S＜8，輸出的i值等于3，與題意不符．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了程序框圖，考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，內(nèi)含條件結(jié)構(gòu)，整體屬于當(dāng)型循環(huán)，解答此題的關(guān)鍵是思路清晰，分清路徑，屬基礎(chǔ)題．
　
8．（5分）一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。?br />
A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π
【分析】根據(jù)題意，該幾何體是下部是長方體、上部是半圓柱所組成．根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)可求出體積．
【解答】解：根據(jù)圖中三視圖可得出其體積=長方體的體積與半圓柱體積的和
長方體的三度為：10、4、5；
圓柱的底面半徑為3，高為2，
所以幾何體的體積=10×4×5+32π×2=200+9π．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查三視圖的相關(guān)知識：主視圖主要確定物體的長和高，左視圖確定物體的寬和高，俯視圖確定物體的長和寬．
　
9．（5分）已知點(diǎn)A（2，0），拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|：|MN|=（　　）
A．2： B．1：2 C．1： D．1：3
【分析】求出拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到AF的斜率k=﹣．過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根據(jù)tan∠MNP=，從而得到|PN|=2|PM|，進(jìn)而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．
【解答】解：∵拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0）
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為l：y=﹣1，直線AF的斜率為k==﹣，
過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|
∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，
∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|
因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：
故選：C．

【點(diǎn)評】本題給出拋物線方程和射線FA，求線段的比值．著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
　
10．（5分）如圖．已知l1⊥l2，圓心在l1上、半徑為1m的圓O在t=0時與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l1以1m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y=cosx，則y與時間t（0≤t≤1，單位：s）的函數(shù)y=f（t）的圖象大致為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】通過t的增加，排除選項(xiàng)A、D，利用x的增加的變化率，說明余弦函數(shù)的變化率，得到選項(xiàng)即可．
【解答】解：因?yàn)楫?dāng)t=0時，x=0，對應(yīng)y=1，所以選項(xiàng)A，D不合題意，
當(dāng)t由0增加時，x的變化率由大變小，又y=cosx是減函數(shù)，所以函數(shù)y=f（t）的圖象變化先快后慢，
所以選項(xiàng)B滿足題意，C正好相反．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)圖象的變換快慢，考查學(xué)生理解題意以及視圖能力．
　
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．（5分）若曲線y=xa+1（a∈R）在點(diǎn)（1，2）處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則a=　2?。?br /> 【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出x=1時的導(dǎo)數(shù)值，寫出曲線y=xa+1（a∈R）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解得α的值．
【解答】解：由y=xa+1，得y′=axa﹣1．
所以y′|x=1=a，則曲線y=xa+1（α∈R）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為：
y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2．
把（0，0）代入切線方程得，a=2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，考查了直線方程點(diǎn)斜式，是基礎(chǔ)題．
　
12．（5分）某班植樹小組今年春天計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植樹2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n（n∈N*）等于　6?。?br /> 【分析】由題意可得，第n天種樹的棵數(shù)an是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出n天中種樹的棵數(shù)滿足sn≥100，解不等式可求
【解答】解：由題意可得，第n天種樹的棵數(shù)an是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列
sn==2n+1﹣2≥100
∴2n+1≥102
∵n∈N*
∴n+1≥7
∴n≥6，即n的最小值為6
故答案為：6
【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是等比數(shù)列模型的確定
　
13．（5分）設(shè)f（x）=sin3x+cos3x，若對任意實(shí)數(shù)x都有|f（x）|≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　a≥2?。?br /> 【分析】構(gòu)造函數(shù)F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函數(shù)的特點(diǎn)求出F（x）max，從而可得答案．
【解答】解：∵不等式|f（x）|≤a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，
令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，
則a≥F（x）max．
∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+）
∴﹣2≤f（x）≤2
∴0≤F（x）≤2
F（x）max=2
∴a≥2．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2
故答案為：a≥2．
【點(diǎn)評】本題考查兩角和與差公式及構(gòu)造函數(shù)的思想，考查恒成立問題，屬于中檔題．
　
14．（5分）若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（4，0），且與直線y=1相切，則圓C的方程是　?。?br /> 【分析】設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，利用已知條件列出方程組，求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，即可得到圓的方程．
【解答】解：設(shè)圓的圓心坐標(biāo)（a，b），半徑為r，
因?yàn)閳AC經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（4，0），且與直線y=1相切，
所以，
解得，
所求圓的方程為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，列出方程組是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．
　
15．（5分）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為　4　．

【分析】判斷EF與正方體表面的關(guān)系，即可推出正方體的六個面所在的平面與直線EF相交的平面?zhèn)€數(shù)即可．
【解答】解：由題意可知直線EF與正方體的左右兩個側(cè)面平行，與正方體的上下底面相交，前后側(cè)面相交，
所以直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4．
故答案為：4．

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，基本知識的應(yīng)用，考查空間想象能力．
　
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（12分）正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）令bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【分析】（1）通過分解因式，利用正項(xiàng)數(shù)列{an}，直接求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡bn=，利用裂項(xiàng)法直接求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【解答】解：（1）由正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，
可得（an﹣2n）（an+1）=0
所以an=2n．
（2）因?yàn)閍n=2n，bn=，
所以bn=
=
=，
Tn=
=
=．
數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn為．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和的基本方法，考查計(jì)算能力．
　
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．
（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；
（2）若C=，求的值．
【分析】（1）由條件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差數(shù)列．
（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得 （2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab?cosC，化簡可得 5ab=3b2，由此可得 的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差數(shù)列．
（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得 （2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab?cosC=a2+b2+ab．
化簡可得 5ab=3b2，∴=．
【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，二倍角公式、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
　
18．（12分）小波已游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋．游戲規(guī)則為以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6（如圖）這6個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個向量，記住這兩個向量的數(shù)量積為X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋
（1）寫出數(shù)量積X的所有可能取值
（2）分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

【分析】（1）由題意可得：X的所有可能取值為：﹣2，﹣1，0，1，
（2）列舉分別可得數(shù)量積為﹣2，﹣1，0，1時的情形種數(shù)，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：（1）由題意可得：X的所有可能取值為：﹣2，﹣1，0，1，
（2）數(shù)量積為﹣2的有，共1種，
數(shù)量積為﹣1的有，，，，
，共6種，
數(shù)量積為0的有，，，共4種，
數(shù)量積為1的有，，，共4種，
故所有的可能共15種，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，
故不去唱歌的概率為：P=1﹣P2=1﹣=
【點(diǎn)評】本題考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．
　
19．（12分）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E為CD上一點(diǎn)，DE=1，EC=3
（1）證明：BE⊥平面BB1C1C；
（2）求點(diǎn)B1到平面EA1C1 的距離．

【分析】（1）過點(diǎn)B作BF⊥CD于F點(diǎn)，算出BF、EF、FC的長，從而在△BCE中算出BE、BC、CE的長，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，結(jié)合BE⊥BB1利用線面垂直的判定定理，可證出BE⊥平面BB1C1C；
（2）根據(jù)AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱錐E﹣A1B1C1的體積V=．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，從而得到等腰△A1EC1的面積=3，設(shè)B1到平面EA1C1 的距離為d，可得三棱錐B1﹣A1C1E的體積V=××d=d，從而得到=d，由此即可解出點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離．
【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BF⊥CD于F點(diǎn)，則：
BF=AD=，EF=AB=DE=1，F(xiàn)C=EC﹣EF=3﹣1=2
在Rt△BEF中，BE==；
在Rt△BCF中，BC==
因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2
∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，
∵BB1⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴BE⊥BB1，
又∵BC、BB1是平面BB1C1C內(nèi)的相交直線，
∴BE⊥平面BB1C1C；

（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱錐E﹣A1B1C1的高線
∴三棱錐E﹣A1B1C1的體積V=×AA1×=
在Rt△A1D1C1中，A1C1==3
同理可得EC1==3，A1E==2
∴等腰△A1EC1的底邊A1C1上的中線等于=，
可得=×2×=3
設(shè)點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為d，則三棱錐B1﹣A1C1E的體積為V=××d=d，
可得=d，解之得d=
即點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為．

【點(diǎn)評】本題在直四棱柱中求證線面垂直，并求點(diǎn)到平面的距離．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與其逆定理和利用等積轉(zhuǎn)換的方法求點(diǎn)到平面的距離等知識，屬于中檔題．
　
20．（13分）橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率，a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m﹣k為定值．

【分析】（1）由題目給出的離心率及a+b=3，結(jié)合條件a2=b2+c2列式求出a，b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后解出P點(diǎn)坐標(biāo)，兩直線方程聯(lián)立解出M點(diǎn)坐標(biāo)，由D，P，N三點(diǎn)共線解出N點(diǎn)坐標(biāo)，
由兩點(diǎn)求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化簡整理即可得到2m﹣k為定值．
【解答】（1）解：因?yàn)?，所以，即a2=4b2，a=2b．
又a+b=3，得a=2，b=1．
所以橢圓C的方程為；
（2）證明：因?yàn)锽（2，0），P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)直線BP的方程為．
聯(lián)立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．
所以，．
則．
所以P（）．
又直線AD的方程為．
聯(lián)立，解得M（）．
由三點(diǎn)D（0，1），P（），N（x，0）共線，
得，所以N（）．
所以MN的斜率為=．
則．
所以2m﹣k為定值．
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了二次方程中根與系數(shù)關(guān)系，考查了由兩點(diǎn)求斜率的公式，是中高檔題．
　
21．（14分）設(shè)函數(shù)常數(shù)且a∈（0，1）．
（1）當(dāng)a=時，求f（f（））；
（2）若x0滿足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，則稱x0為f（x）的二階周期點(diǎn)，試確定函數(shù)有且僅有兩個二階周期點(diǎn)，并求二階周期點(diǎn)x1，x2；
（3）對于（2）中x1，x2，設(shè)A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），記△ABC的面積為s（a），求s（a）在區(qū)間[，]上的最大值和最小值．
【分析】（1）當(dāng)a=時，根據(jù)所給的函數(shù)解析式直接求值即可得出答案；
（2）根據(jù)二階周期點(diǎn)的定義，分段進(jìn)行求解，找出符號定義的根即為所求；
（3）由題意，先表示出s（a）的表達(dá)式，再借助導(dǎo)數(shù)工具研究s（a）在區(qū)間[，]上的單調(diào)性，確定出最值，即可求解出最值．
【解答】解：（1）當(dāng)a=時，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1﹣）=
（2）f（f（x））=
當(dāng)0≤x≤a2時，由=x，解得x=0，因?yàn)閒（0）=0，故x=0不是函數(shù)的二階周期點(diǎn)；
當(dāng)a2＜x≤a時，由=x，解得x=
因?yàn)閒（）==≠，
故x=是函數(shù)的二階周期點(diǎn)；
當(dāng)a＜x≤a2﹣a+1時，由=x，解得x=∈（a，a2﹣a+1），因?yàn)閒（）=，故得x=不是函數(shù)的二階周期點(diǎn)；
當(dāng)a2﹣a+1＜x≤1時，由，解得x=∈（a2﹣a+1，1），因?yàn)閒（）=≠，故x=是函數(shù)的二階周期點(diǎn)；
因此函數(shù)有兩個二階周期點(diǎn)，x1=，x2=
（3）由（2）得A（，），B（，）
則s（a）=S△OCB﹣S△OCA=×，所以s′（a）=×，
因?yàn)閍∈（），有a2+a＜1，所以s′（a）=×=＞0（或令g（a）=a3﹣2a2﹣2a+2利用導(dǎo)數(shù)證明其符號為正亦可）
s（a）在區(qū)間[，]上是增函數(shù)，
故s（a）在區(qū)間[，]上的最小值為s（）=，最大值為s（）=
【點(diǎn)評】本題考查求函數(shù)的值，新定義的理解，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，第二題解答的關(guān)鍵是理解定義，第三題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)工具判斷函數(shù)的單調(diào)性，本題考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化化歸的思想及符號運(yùn)算的能力，難度較大，綜合性強(qiáng)，解答時要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真方可避免會而作不對現(xiàn)象的出現(xiàn)．
　

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