? 中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座五：數(shù)學(xué)思想方法（一）
一、中考專題詮釋
數(shù)學(xué)思想方法是指對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略。數(shù)學(xué)思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)知識(shí)與能力的橋梁，是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。
抓住數(shù)學(xué)思想方法，善于迅速調(diào)用數(shù)學(xué)思想方法，更是提高解題能力根本之所在．因此，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意體會(huì)教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識(shí)．
二、解題策略和解法精講
數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是讀書由厚到薄的升華，在復(fù)習(xí)中一定要注重培養(yǎng)在解題中提煉數(shù)學(xué)思想的習(xí)慣，中考常用到的數(shù)學(xué)思想方法有：整體思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等．在中考復(fù)習(xí)備考階段，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)總結(jié)這些數(shù)學(xué)思想與方法，掌握了它的實(shí)質(zhì)，就可以把所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，解題時(shí)可以舉一反三。
三、中考考點(diǎn)精講
考點(diǎn)一：整體思想
整體思想是指把研究對(duì)象的某一部分（或全部）看成一個(gè)整體,通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。
整體是與局部對(duì)應(yīng)的，按常規(guī)不容易求某一個(gè)（或多個(gè)）未知量時(shí)，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，從而使問題得到解決。
例1 10．（德州）已知，則a+b等于（　?。?br /> 　 A．3 B． C． 2 D． 1
考點(diǎn)： 解二元一次方程組。810360
專題： 計(jì)算題。
分析： ①+②得出4a+4b=12，方程的兩邊都除以4即可得出答案．
解答： 解：，
∵①+②得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是檢查學(xué)生能否運(yùn)用整體思想求出答案，題目比較典型，是一道比較好的題目．
運(yùn)用整體思想方法解題，要有強(qiáng)烈的整體意識(shí)，要認(rèn)真分析問題的條件或結(jié)論的表達(dá)形式、內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征，不拘泥于常規(guī)，不著眼于問題的各個(gè)組成部分，從整體上觀察，從整體上分析。運(yùn)用整體思想方法，往往能起到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的效果。
考點(diǎn)二：轉(zhuǎn)化思想
轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵非常豐富，已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過轉(zhuǎn)化來獲得解決問題的轉(zhuǎn)機(jī)。
例2 （內(nèi)江）已知A（1，5），B（3，﹣1）兩點(diǎn)，在x軸上取一點(diǎn)M，使AM﹣BM取得最大值時(shí)，則M的坐標(biāo)為　 ?。?br /> 考點(diǎn)： 一次函數(shù)綜合題；三角形三邊關(guān)系；關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。810360
分析： 作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長(zhǎng)與x軸的交點(diǎn)，即為所求的M點(diǎn)．利用待定系數(shù)法求出直線AB′的解析式，然后求出其與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，即M點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答： 解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長(zhǎng)與x軸的交點(diǎn)，即為所求的M點(diǎn)．此時(shí)AM﹣BM=AM﹣B′M=AB′．
不妨在x軸上任取一個(gè)另一點(diǎn)M′，連接M′A、M′B、M′B．
則M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形兩邊之差小于第三邊）．
∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此時(shí)AM﹣BM最大．
∵B′是B（3，﹣1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴B′（3，1）．
設(shè)直線AB′解析式為y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：
，解得，
∴直線AB′解析式為y=﹣2x+7．
令y=0，解得x=，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．
故答案為：（，0）．

點(diǎn)評(píng)： 本題可能感覺無從下手，主要原因是平時(shí)習(xí)慣了線段之和最小的問題，突然碰到線段之差最大的問題感覺一籌莫展．其實(shí)兩類問題本質(zhì)上是相通的，前者是通過對(duì)稱轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”問題，而后者（本題）是通過對(duì)稱轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之差小于第三邊”問題．可見學(xué)習(xí)知識(shí)要活學(xué)活用，靈活變通．
　

考點(diǎn)三：分類討論思想
在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行．正確的分類必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏．　
例3 （黔東南州）我州某教育行政部門計(jì)劃今年暑假組織部分教師到外地進(jìn)行學(xué)習(xí)，預(yù)訂賓館住宿時(shí)，有住宿條件一樣的甲、乙兩家賓館供選擇，其收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)均為每人每天120元，并且各自推出不同的優(yōu)惠方案．甲家是35人（含35人）以內(nèi)的按標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，超過35人的，超出部分按九折收費(fèi)；乙家是45人（含45人）以內(nèi)的按標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，超過45人的，超出部分按八折收費(fèi)．如果你是這個(gè)部門的負(fù)責(zé)人，你應(yīng)選哪家賓館更實(shí)惠些？

考點(diǎn)： 一次函數(shù)的應(yīng)用。810360
分析： 當(dāng)x≤35時(shí)，選擇兩個(gè)，賓館是一樣的；當(dāng)35＜x≤45時(shí)，選擇甲賓館比較便宜，當(dāng)x＞35時(shí)，兩個(gè)賓館的收費(fèi)可以表示成人數(shù)x的函數(shù)，比較兩個(gè)函數(shù)值的大小即可．
解答： 解：設(shè)總?cè)藬?shù)是x，
當(dāng)x≤35時(shí)，選擇兩個(gè)，賓館是一樣的；
當(dāng)35＜x≤45時(shí)，選擇甲賓館比較便宜；
當(dāng)x＞45時(shí)，甲賓館的收費(fèi)是：y甲=35×120+0.9×120×（x﹣35），即y甲=108x+420；
y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080，
當(dāng)y甲=y乙時(shí)，108x+420=96x+1080，解得：x=55；
當(dāng)y甲＞y乙時(shí)，即108x+420＞96x+1080，解得：x＞55；
當(dāng)y甲＜y乙時(shí)，即108x+420＜96x+1080，解得：x＜55；
總之，當(dāng)x≤35或x=55時(shí)，選擇兩個(gè)，賓館是一樣的；
當(dāng)35＜x＜55時(shí)，選擇甲賓館比較便宜；
當(dāng)x＞55時(shí)，選乙賓館比較便宜．
點(diǎn)評(píng)： 此題的關(guān)鍵是用代數(shù)式列出在甲、乙兩賓館的費(fèi)用，用了分類討論的方法，是解決此類問題常用的方法．
例4 （麗水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB=14，OC=，AC與y軸交于點(diǎn)E．

（1）求AC所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；
（3）已知點(diǎn)F（10，0），在△ABC的邊上取兩點(diǎn)P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OFP全等，且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

考點(diǎn)： 一次函數(shù)綜合題。810360
分析： （1）根據(jù)三角函數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求解；
（2）在Rt△OGE中，運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理求EG，OG的長(zhǎng)度，再計(jì)算面積；
（3）分兩種情況討論求解：①點(diǎn)Q在AC上；②點(diǎn)Q在AB上．求直線OP與直線AC的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答： 解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE==，∴點(diǎn)E（0，2）．
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+，有，解得：k=．
∴直線AC的函數(shù)解析式為y=．
（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE==，
設(shè)EG=3t，OG=5t，OE==t，∴，得t=2，
故EG=6，OG=10，
∴S△OEG=．
（3）存在．
①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，點(diǎn)Q即為點(diǎn)G，
如圖1，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P1，

由△OP1F≌△OP1Q，則有P1F⊥x軸，由于點(diǎn)P1在直線AC上，當(dāng)x=10時(shí)，
y=﹣=，
∴點(diǎn)P1（10，）．
②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，
如圖2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P2，

過點(diǎn)Q作QH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)OH=a，
則BH=QH=14﹣a，
在Rt△OQH中，a2+（14﹣a）2=100，
解得：a1=6，a2=8，
∴Q（﹣6，8）或Q（﹣8，6）．
連接QF交OP2于點(diǎn)M．
當(dāng)Q（﹣6，8）時(shí)，則點(diǎn)M（2，4）．
當(dāng)Q（﹣8，6）時(shí)，則點(diǎn)M（1，3）．
設(shè)直線OP2的解析式為y=kx，則
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程組，得．
∴P2（）；
當(dāng)Q（﹣8，6）時(shí)，則點(diǎn)M（1，3），
同理可求P2′（），P3（）；
如圖，有QP4∥OF，QP4=OF=10，點(diǎn)P4在E點(diǎn)，
設(shè)P4的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x﹣10，
∵yQ=yP，直線AB的函數(shù)解析式為y=x+14，
∴（x﹣10）+14=﹣x+2，
解得：x=，可得：y=，
∴點(diǎn)P4（，），

當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，如圖，OQ=OF=10，點(diǎn)P5在E點(diǎn)，
∴P5（0，2），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（10，）或（）或（）或（，）或（0，2）．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性強(qiáng)，難度大．

四、中考真題演練
一、選擇題
1．（東營(yíng)）若3x=4，9y=7，則3x﹣2y的值為（　?。?br /> 　 A． B． C． ﹣3 D．

考點(diǎn)： 同底數(shù)冪的除法；冪的乘方與積的乘方。810360
分析： 由3x=4，9y=7與3x﹣2y=3x÷32y=3x÷（32）y，代入即可求得答案．
解答： 解：∵3x=4，9y=7，
∴3x﹣2y=3x÷32y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7=．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了同底數(shù)冪的除法與冪的乘方的應(yīng)用．此題難度適中，注意將3x﹣2y變形為3x÷（32）y是解此題的關(guān)鍵．
2．（南京）計(jì)算（a2）3÷（a2）2的結(jié)果是（　?。?br /> 　 A．a(chǎn) B． a2 C． a3 D． a4
考點(diǎn)： 整式的除法。810360
分析： 根據(jù)冪的乘方首先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則計(jì)算后直接選取答案．
解答： 解：（a2）3÷（a2）2
=a6÷a4
=a2．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
　
3．（南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，則m2+n2=（　?。?br /> 　 A．10 B． 6 C． 5 D． 3
考點(diǎn)： 完全平方公式。810360
專題： 計(jì)算題。
分析： 根據(jù)完全平方公式由（m﹣n）2=8得到m2﹣2mn+n2=8①，由（m+n）2=2得到m2+2mn+n2=2②，然后①+②得，2m2+2n2=10，變形即可得到m2+n2的值．
解答： 解：∵（m﹣n）2=8，
∴m2﹣2mn+n2=8①，
∵（m+n）2=2，
∴m2+2mn+n2=2②，
①+②得，2m2+2n2=10，
∴m2+n2=5．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
4．（本溪）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的兩個(gè)解恰好分別是等腰△ABC的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，則△ABC的周長(zhǎng)為（　?。?br /> 　 A．13 B． 11或13 C． 11 D． 12
考點(diǎn)： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)。810360
分析： 由一元二次方程x2﹣8x+15=0的兩個(gè)解恰好分別是等腰△ABC的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，然后分別從當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)和腰長(zhǎng)分別為3和5時(shí)與當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)和腰長(zhǎng)分別為5和3時(shí)去分析，即可求得答案．
解答： 解：∵x2﹣8x+15=0，
∴（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
即x1=3，x2=5，
∵一元二次方程x2﹣8x+15=0的兩個(gè)解恰好分別是等腰△ABC的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，
∴當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)和腰長(zhǎng)分別為3和5時(shí)，3+3＞5，
∴△ABC的周長(zhǎng)為：3+3+5=11；
∴當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)和腰長(zhǎng)分別為5和3時(shí)，3+5＞5，
∴△ABC的周長(zhǎng)為：3+5+5=13；
∴△ABC的周長(zhǎng)為：11或13．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．此題難度不大，注意分類討論思想的應(yīng)用．
5．（萊蕪）已知m、n是方程x2+2x+1=0的兩根，則代數(shù)式的值為（　?。?br /> 　 A．9 B． ±3 C． 3 D． 5

考點(diǎn)： 根與系數(shù)的關(guān)系；二次根式的化簡(jiǎn)求值。810360
專題： 整體思想。
分析： 根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=﹣2，mn=1，再變形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整體代入計(jì)算即可．
解答： 解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的兩根，
∴m+n=﹣2，mn=1，
∴====3．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩根分別為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值．
6．（廣元）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　?。?br />
　 A．（0，0） B．
C． D．

考點(diǎn)： 一次函數(shù)的性質(zhì)；正數(shù)和負(fù)數(shù)；垂線段最短。810360
專題： 計(jì)算題。
分析： 先過點(diǎn)A作AB′⊥OB，垂足為點(diǎn)B′，由于點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，所以△AOB′是等腰直角三角形，由勾股定理求出OB′的長(zhǎng)即可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)．
解答： 解：先過點(diǎn)A作AB′⊥OB，垂足為點(diǎn)B′，由垂線段最短可知，當(dāng)B′與點(diǎn)B重合時(shí)AB最短，
∵點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
過B′作B′C⊥x軸，垂足為C，
∴△B′CO為等腰直角三角形，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴OC=CB′=OA=×1=，
∴B′坐標(biāo)為（﹣，﹣），
即當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，﹣），
故選B．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)，找到表示B′點(diǎn)坐標(biāo)的等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
　


7． （黔西南州）如圖，拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0），點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，m的值是（　?。?br />
　 A． B． C． D．

考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問題；二次函數(shù)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。810360
分析： 首先可求得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求得C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是m的值．
解答： 解：∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線y=x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2=0，
∴b=﹣，
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣），
作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2
連接C′D交x軸于點(diǎn)M，
根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最?。?
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．
∵ED∥y軸，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴=，
即=，
∴m=．
故選B．

點(diǎn)評(píng)： 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求出函數(shù)表達(dá)式，作出輔助線，找對(duì)相似三角形．

8．（黃石）如圖所示，已知A（，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　?。?br />
　 A．（，0） B． （1，0） C． （，0） D． （，0）

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；三角形三邊關(guān)系。810360
專題： 計(jì)算題。
分析： 求出AB的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB=AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答： 解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y=得：y1=2，y2=，
∴A（，2），B（2，），
∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB=AB，
即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
把A、B的坐標(biāo)代入得：，
解得：k=﹣1，b=，
∴直線AB的解析式是y=﹣x+，
當(dāng)y=0時(shí)，x=，
即P（，0），
故選D．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，題目比較好，但有一定的難度．
9．（蘭州）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（　?。?br />
　 A．130° B． 120° C． 110° D． 100°

考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問題。810360
分析： 根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
解答： 解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．作DA延長(zhǎng)線AH，
∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．
　
10．（威海）向一個(gè)圖案如圖所示的正六邊形靶子上隨意拋一枚飛鏢，則飛鏢插在陰影區(qū)域的概率為（　?。?br />
　 A． B． C． 1﹣ D．

考點(diǎn)： 幾何概率；正多邊形和圓；扇形面積的計(jì)算。810360
分析： 根據(jù)已知假設(shè)出六邊形邊長(zhǎng)為1，進(jìn)而求出正六邊形面積和S扇形FAB，S扇形BCD，S扇形DEF，再利用三個(gè)扇形面積減去正六邊形面積等于陰影部分面積，進(jìn)而得出飛鏢插在陰影區(qū)域的概率．
解答： 解：根據(jù)圖象可以得出，O為正六邊形中心，過點(diǎn)O作OM⊥BC，
設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為1，根據(jù)正六邊形每個(gè)內(nèi)角為120°，
則S扇形FAB==，故S扇形BCD==，S扇形DEF==，
∵OC=BC=BO=1，OM⊥BC，
∴OM==
∴S△OBC=×OM×BC=××1=，
∴S正六邊形面積=×6=，
∴S陰影=﹣，
∴飛鏢插在陰影區(qū)域的概率為：=﹣1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了概率公式以及正六邊形面積求法和扇形面積公式等知識(shí)，根據(jù)已知得出三個(gè)扇形面積減去正六邊形面積等于陰影部分面積是解題關(guān)鍵．
　
11．（鐵嶺）在如圖所示的正方形紙片上做隨機(jī)扎針實(shí)驗(yàn)，則針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（　?。?br />
　 A． B． C． D．

考點(diǎn)： 幾何概率。810360
分析： 先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出矩形對(duì)角線所分的四個(gè)三角形面積相等，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出陰影區(qū)域的面積即可．
解答： 解：根據(jù)矩形的性質(zhì)易證矩形的對(duì)角線把矩形分成的四個(gè)三角形均為同底等高的三角形，故其面積相等，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證陰影區(qū)域的面積=正方形面積4份中的一份，
故針頭扎在陰影區(qū)域的概率為；
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了幾何概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．
　
12．（連云港）向如圖所示的正三角形區(qū)域扔沙包（區(qū)域中每一個(gè)小正三角形除顏色外完全相同），假設(shè)沙包擊中每一個(gè)小三角形是等可能的，扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于（　?。?br />
　 A． B． C． D．

考點(diǎn)： 幾何概率。810360
分析： 求出陰影部分的面積與三角形的面積的比值即可解答．
解答： 解：因?yàn)殛幱安糠值拿娣e與三角形的面積的比值是=，
所以扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．


二、填空題
13．（揚(yáng)州）已知2a﹣3b2=5，則10﹣2a+3b2的值是　 ?。?br />
考點(diǎn)： 代數(shù)式求值。810360
專題： 計(jì)算題。
分析： 先將10﹣2a+3b2進(jìn)行變形，然后將2a﹣3b2=5整體代入即可得出答案．
解答： 解：10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2），
又∵2a﹣3b2=5，
∴10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2）=10﹣5=5．
故答案為：5．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了代數(shù)式求值的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握整體思想的運(yùn)用．


14．（黔西南州）已知﹣2xm﹣1y3和xnym+n是同類項(xiàng)，則（n﹣m）2012=　 ?。?br />
考點(diǎn)： 同類項(xiàng)。
專題： 計(jì)算題。
分析： 根據(jù)同類項(xiàng)的定義（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同）列出方程求出m，n的值，再代入代數(shù)式計(jì)算即可．
解答： 解：∵﹣2xm﹣1y3和xnym+n是同類項(xiàng)，
∴m﹣1=n，3=m+n，
解得m=2，n=1，
所以（n﹣m）2012=（1﹣2）2012=1．
故答案為：1．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了同類項(xiàng)的定義，注意同類項(xiàng)定義中的兩個(gè)“相同”：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指數(shù)相同，是易混點(diǎn)，因此成了中考的?？键c(diǎn)．解題時(shí)注意運(yùn)用二元一次方程組求字母的值．
　
15．（常州）已知x=y+4，則代數(shù)式x2﹣2xy+y2﹣25的值為　 ?。?br />
考點(diǎn)： 完全平方公式。810360
分析： 根據(jù)已知條件“x=y+4”可知“x﹣y=4”；然后將所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為含有x﹣y的形式，將x﹣y的值代入求值即可．
解答： 解：∵x=y+4，
∴x﹣y=4，
∴x2﹣2xy+y2﹣25=（x﹣y）2﹣25=16﹣25=﹣9，
故答案是：﹣9．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查完全平方公式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
　
17．（黃岡）已知實(shí)數(shù)x滿足x+=3，則x2+的值為　 ?。?br />
考點(diǎn)： 完全平方公式。810360
專題： 計(jì)算題。
分析： 將x+=3兩邊平方，然后移項(xiàng)即可得出答案．
解答： 解：由題意得，x+=3，
兩邊平方得：x2+2+=9，
故x2+=7．
故答案為：7．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了完全平方公式的知識(shí)，掌握完全平方公式的展開式的形式是解答此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

18．（鄂州）在銳角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是　 ?。?br />

考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問題。810360
專題： 探究型。
分析： 過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義即可求出CE的長(zhǎng)．
解答： 解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC，則CE即為CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC?cos45°=4×=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．

　



三、解答題
16．（麗水）已知A=2x+y，B=2x﹣y，計(jì)算A2﹣B2．

考點(diǎn)： 完全平方公式。810360
分析： 把A、B兩式代入，再計(jì)算完全平方公式，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．
解答： 解：A2﹣B2=（2x+y）2﹣（2x﹣y）2
=（4x2+4xy+y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）
=4x2+4xy+y2﹣4x2+4xy﹣y2
=8xy．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了完全平方公式，關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．

20．（攀枝花）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x滿足方程：x2+x﹣6=0．

考點(diǎn)： 分式的化簡(jiǎn)求值；一元二次方程的解。810360
專題： 計(jì)算題。
分析： 將原式括號(hào)中通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，分子合并后利用平方差公式分解因式，然后將除式的分子利用完全平方公式分解因式，并利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)化為乘法運(yùn)算，約分后得到最簡(jiǎn)結(jié)果，然后求出x滿足方程的解，將滿足題意的x的值代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到原式的值．
解答： 解：（x+1﹣）÷
=÷
=?
=，
∵x滿足方程x2+x﹣6=0，
∴（x﹣2）（x+3）=0，
解得：x1=2，x2=﹣3，
當(dāng)x=2時(shí)，原式的分母為0，故舍去；
當(dāng)x=﹣3時(shí)，原式==．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先將多項(xiàng)式分解因式后再約分，此外分式的化簡(jiǎn)求值題，要先將原式化為最簡(jiǎn)再代值．本題注意根據(jù)分式的分母不為0，將x=2舍去．
　


23．（襄陽）根據(jù)國(guó)家發(fā)改委實(shí)施“階梯電價(jià)”的有關(guān)文件要求，某市結(jié)合地方實(shí)際，決定從2012年5月1日起對(duì)居民生活用電試行“階梯電價(jià)”收費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)見下表：
一戶居民一個(gè)月用電量的范圍
電費(fèi)價(jià)格（單位：元/千瓦時(shí)）
不超過150千瓦時(shí)
a
超過150千瓦時(shí)但不超過300千瓦時(shí)的部分
b
超過300千瓦時(shí)的部分
a+0.3
2012年5月份，該市居民甲用電100千瓦時(shí)，交電費(fèi)60元；居民乙用電200千瓦時(shí)，交電費(fèi)122.5元．該市一戶居民在2012年5月以后，某月用電x千瓦時(shí)，當(dāng)月交電費(fèi)y元．
（1）上表中，a=　 ??；b=　 ??；
（2）請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試行“階梯電價(jià)”收費(fèi)以后，該市一戶居民月用電多少千瓦時(shí)時(shí)，其當(dāng)月的平均電價(jià)每千瓦時(shí)不超過0.62元？

考點(diǎn)： 一次函數(shù)的應(yīng)用。810360
分析： （1）利用居民甲用電100千瓦時(shí)，交電費(fèi)60元，可以求出a的值，進(jìn)而利用居民乙用電200千瓦時(shí)，交電費(fèi)122.5元，求出b的值即可；
（2）利用當(dāng)x≤150時(shí)，當(dāng)150＜x≤300時(shí)，當(dāng)x＞300時(shí)分別求出即可；
（3）根據(jù)當(dāng)居民月用電量x≤150時(shí)，0.6x≤0.62x，當(dāng)居民月用電量x滿足150＜x≤300時(shí)，0.65x﹣75≤0.62x，當(dāng)居民月用電量x滿足x＞300時(shí)，0.9x﹣82.5≤0.62x，分別得出即可．
解答： 解：（1）根據(jù)2012年5月份，該市居民甲用電100千瓦時(shí)，交電費(fèi)60元；
得出：a=60÷100=0.6，
居民乙用電200千瓦時(shí)，交電費(fèi)122.5元．
則（122.5﹣0.6×150）÷（200﹣150）=0.65，
故：a=0.6；b=0.65．

（2）當(dāng)x≤150時(shí)，y=0.6x．
當(dāng)150＜x≤300時(shí)，y=0.65（x﹣150）+0.6×150=0.65x﹣7.5，
當(dāng)x＞300時(shí)，y=0.9（x﹣300）+0.6×150+0.65×150=0.9x﹣82.5；

（3）當(dāng)居民月用電量x≤150時(shí)，
0.6x≤0.62x，故x≥0，
當(dāng)居民月用電量x滿足150＜x≤300時(shí)，
0.65x﹣75≤0.62x，
解得：x≤250，
當(dāng)居民月用電量x滿足x＞300時(shí)，
0.9x﹣82.5≤0.62x，
解得：x≤294，
綜上所述，試行“階梯電價(jià)”后，該市一戶居民月用電量不超過250千瓦時(shí)時(shí)，其月平均電價(jià)每千瓦時(shí)不超過0.62元．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)自變量取值范圍不同得出x的取值是解題關(guān)鍵．
24．（天門）張勤同學(xué)的父母在外打工，家中只有年邁多病的奶奶．星期天早上，李老師從家中出發(fā)步行前往張勤家家訪．6分鐘后，張勤從家出發(fā)騎車到相距1200米的藥店給奶奶買藥，停留14分鐘后以相同的速度按原路返回，結(jié)果與李老師同時(shí)到家．張勤家、李老師家、藥店都在東西方向筆直大路上，且藥店在張勤家與李老師家之間．在此過程中設(shè)李老師出發(fā)t（0≤t≤32）分鐘后師生二人離張勤家的距離分別為S1、S2．S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)你解答下列問題：
（1）李老師步行的速度為　 　；
（2）求S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出其函數(shù)圖象；
（3）張勤出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后在途中與李老師相遇？


考點(diǎn)： 一次函數(shù)的應(yīng)用。810360
分析： （1）根據(jù)速度=，再結(jié)合圖形，即可求出李老師步行的速度；
（2）根據(jù)題意分0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32四種情況進(jìn)行討論，即可得出S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，然后求出t的值即可；
解答： 解：（1）李老師步行的速度為1600÷32=50米/分；
故答案為：50米/分．

（2）根據(jù)題意得：
當(dāng)0≤t≤6時(shí)，S2=0，
當(dāng)6＜t≤12時(shí)，S2=200t﹣1200，
當(dāng)12＜t≤26時(shí)，S2=1200，
當(dāng)26＜t≤32時(shí)，S2=﹣200t+6400，


（3）S1=﹣50t+1600，
由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，
解得t=11.2，
可得t﹣6=11.2﹣6=5.2（分）
則張勤出發(fā)5.2分鐘后在途中與李老師相遇．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，此類題是近年中考中的熱點(diǎn)問題，在此題中作圖的關(guān)鍵是聯(lián)系實(shí)際的變化，確定拐點(diǎn)．
25．（綏化）如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）．
（1）求G點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線EF解析式；
（3）點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．


考點(diǎn)： 一次函數(shù)綜合題。810360
分析： （1）根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=2，而FG=AB﹣AF=1，則在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，從而得到CG的長(zhǎng)，從而得到G點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由題意，可知△AEF為含30度角的直角三角形，從而可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；又F點(diǎn)坐標(biāo)已知，所以可利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式；
（3）本問關(guān)鍵是確定平行四邊形的位置與形狀．因?yàn)镸、N均為動(dòng)點(diǎn)，只有FG已經(jīng)確定，所以可從此入手，按照FG為一邊、FG為對(duì)角線的思路，順序探究可能的平行四邊形的形狀．確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用全等三角形求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用直線解析式求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答： 解：（1）由已知得，F(xiàn)G=AF=2，F(xiàn)B=1
∵四邊形ABCD為矩形
∴∠B=90°
BG===
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4﹣）；

（2）設(shè)直線EF的解析式是y=kx+b
在Rt△BFG中，cos∠BFG==
∴∠BFG=60°
∴∠AFE=∠EFG=60°
∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4﹣2）
又F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）
∴
解得k=，b=4﹣2；
∴直線EF的解析式為y=x+4﹣2；
注：
求E點(diǎn)坐標(biāo)方法二：過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）；
求E點(diǎn)坐標(biāo)方法三：在Rt△GEP中，由勾股定理得EG2=GP2+EP2，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）；
求E點(diǎn)坐標(biāo)方法四：連接AG，證△AEG是等邊三角形，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）．

（3）若以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：
①FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸正半軸上，如圖1所示．
過M1點(diǎn)作M1H⊥x軸于點(diǎn)H，易證△M1HN1≌△GBF，
∴M1H=GB=，即yM1=．
由直線EF解析式y(tǒng)=x+4﹣2，求出xM1=3﹣．
∴M1（3﹣，）；
②FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，如圖2所示．
仿照與①相同的辦法，可求得M2（1﹣，﹣）；
③FG為平行四邊形的對(duì)角線，如圖3所示．
過M3作FB延長(zhǎng)線的垂線，垂足為H．易證△M3FH≌△GN3C，則有M3H=CG=4﹣，所以M3的縱坐標(biāo)為8﹣；
代入直線EF解析式，得到M3的橫坐標(biāo)為1+．
∴M3（1+，8﹣）．
綜上所述，存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（3﹣，），M2（1﹣，﹣），M3（1+，8﹣）．



點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)與平面圖形的性質(zhì)，涉及到的考點(diǎn)包括待定系數(shù)法求一次函數(shù)（直線）解析式、矩形、平行四邊形、直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，對(duì)解題能力要求較高．難點(diǎn)在于第（3）問，這是一個(gè)存在性問題，注意平行四邊形有三種可能的情形，需要一一分析并求解，避免遺漏．
　
　






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